亥仁古力·麥麥提

(喀什師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,新疆喀什844008)

好的開頭是上好一節(jié)課的基礎(chǔ),學(xué)生往往認(rèn)為數(shù)學(xué)課枯燥乏味,若老師課堂開頭平平而起,必然不能引起學(xué)生聽課的興趣.就培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力而言,前人數(shù)學(xué)思維發(fā)展中的經(jīng)驗教訓(xùn)是最有借鑒意義的,是因為數(shù)學(xué)知識不會離開數(shù)學(xué)史而憑空產(chǎn)生.為此,數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)努力還原,再現(xiàn)這一發(fā)展過程,從數(shù)學(xué)家的廢紙簍里尋找知識的源泉.因此,數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容,也是培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力和實施數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的關(guān)鍵所在.《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) (試驗稿)》的一個特色就是明確的將“數(shù)學(xué)思考、解決問題、情感與態(tài)度”列為課程目標(biāo),學(xué)生通過數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí),了解人類社會發(fā)展與數(shù)學(xué)發(fā)展的相互作用,認(rèn)識數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的必然規(guī)律;了解人類從數(shù)學(xué)角度認(rèn)識客觀世界的過程;發(fā)展求知、求實、勇于探索的情感和態(tài)度;體現(xiàn)數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性、嚴(yán)密性、應(yīng)用的廣泛性,了解數(shù)學(xué)真理的相對性,以此來提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.數(shù)學(xué)史對實現(xiàn)新課程的整體目標(biāo)將發(fā)揮重要的、不可替代的作用.所以,不管是中學(xué)教師還是大學(xué)教師都要在教學(xué)中注意發(fā)揮數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的價值.

1 數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中可以開闊學(xué)生視野,培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣

數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教學(xué)息息相關(guān),在課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)知識,可以開闊視野,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣,展現(xiàn)人格魅力.就大多數(shù)學(xué)生而言,與其他學(xué)科相比,數(shù)學(xué)是較抽象、枯燥和乏味的,他們可能不知數(shù)學(xué)是一門歷史性或者說積累性很強的學(xué)科.重大的數(shù)學(xué)理論總是在繼承和發(fā)展原有理論的基礎(chǔ)上建立起來的,它們不僅不會推翻原有的理論,而且總是包容原來的理論.比如,小學(xué)時學(xué)了整數(shù),到初中階段就先后發(fā)展到有理數(shù)和實數(shù),最后在高中又發(fā)展到復(fù)數(shù),而數(shù)的每一次擴展都不會推翻原來的數(shù)的運算法則,而是包含了原來的法則,這就是“數(shù)的擴張的一致性”.而其他自然科學(xué)都不乏后來的理論推翻以前理論的例子.由此可以看出,數(shù)學(xué)有不同于其他學(xué)科發(fā)展的獨到之處,這也許是數(shù)學(xué)被稱為基礎(chǔ)科學(xué)而不是自然科學(xué)的一個原因.鑒于數(shù)學(xué)的這一特點,一百多年前,德國的數(shù)學(xué)史家漢克爾 (H.hankel,1839-1873)形象地指出數(shù)學(xué)與其他自然科學(xué)的顯著差異：“在大多數(shù)的學(xué)科里,一代人的建筑為下一代人所摧毀,一個人的創(chuàng)造被另一個人所破壞.惟獨數(shù)學(xué),每一代人都在古老的數(shù)學(xué)大廈上添加一層樓.”盡管漢克爾的話有些絕對,但還是形象地指出了數(shù)學(xué)這門學(xué)科的積累特性.從這個意義上說,不了解數(shù)學(xué)史就不可能全面了解數(shù)學(xué)科學(xué).

為了全面了解數(shù)學(xué)科學(xué)、探索數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律、數(shù)學(xué)教育的目的,都應(yīng)該開展數(shù)學(xué)史的教學(xué)與研究.研究與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史,可以弄清數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的基本史實,再現(xiàn)其本來面貌,同時透過這些歷史現(xiàn)象對數(shù)學(xué)成就、理論體系與發(fā)展模式做出科學(xué)合理的理解、說明與評價,進而探究數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的規(guī)律與文化本質(zhì),幫助我們掌握數(shù)學(xué)的概念、思想、方法和理論,認(rèn)識數(shù)學(xué)科學(xué)與人類社會的互動關(guān)系,以及研究數(shù)學(xué)思想的傳播與交流史.

2 中學(xué)生對數(shù)學(xué)史認(rèn)識水平的素養(yǎng)調(diào)查與分析

數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一.隨著新課程在全國的推進,數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化教育正日益受到教育部門的重視.但是,從當(dāng)前的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀來看,數(shù)學(xué)史教育并沒有得到很好的推廣.很多數(shù)學(xué)老師在進行數(shù)學(xué)教學(xué)時,經(jīng)常把有關(guān)的數(shù)學(xué)史知識一帶而過,或干脆不講,這就大大忽視了數(shù)學(xué)史對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的促進作用;雖然有些教師能夠經(jīng)常性地進行數(shù)學(xué)史教育,但他們也僅僅停留在介紹數(shù)學(xué)家的故事這個教育層面上,很少從文化價值的角度去挖掘數(shù)學(xué)史的教育價值.為了了解中學(xué)生對“數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)史”的興趣,筆者曾在喀什第一、第三、第六中學(xué)112名學(xué)生中作了一次問卷調(diào)查.對這次調(diào)查的結(jié)果和問題分析如下.

(1)你們數(shù)學(xué)老師在課堂中是否講過關(guān)于數(shù)學(xué)史方面的知識、數(shù)學(xué)家的故事對你學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有促進作用嗎?

A.經(jīng)常講 14.2%;B.有時講 66.1%;C.沒有講過 19.7%

(2)如果數(shù)學(xué)老師給你講關(guān)于數(shù)學(xué)家的故事,你喜歡聽嗎?

A.喜歡 74.4%;B.不喜歡 12.5%;C.認(rèn)為浪費時間 13.1%

(3)你喜歡讀課本上關(guān)于數(shù)學(xué)家的故事嗎?

A.喜歡 61.7%;B.不喜歡 13.3%;C.認(rèn)為浪費時間 7.2%;D.沒讀過 17.8%

圖1 學(xué)生對“數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)史”興趣調(diào)查統(tǒng)計圖

上述調(diào)查結(jié)果表明：很多數(shù)學(xué)老師在課堂上偶爾把數(shù)學(xué)史內(nèi)容穿插在課堂上講解,而大部分學(xué)生比較喜歡傾聽和閱讀關(guān)于數(shù)學(xué)家的故事.通過訪談記錄,學(xué)生們認(rèn)為,如果老師能在數(shù)學(xué)課程中對學(xué)生介紹有關(guān)數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家的故事能促進他們對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并希望老師在課堂上能多介紹一些數(shù)學(xué)史知識、數(shù)學(xué)家的故事.通過挖掘數(shù)學(xué)史的文化價值進行教學(xué),讓數(shù)學(xué)文化的魅力真正滲入教材、到達課堂、溶入教學(xué)時,數(shù)學(xué)就會更加平易近人,數(shù)學(xué)教學(xué)就會通過文化層面讓學(xué)生進一步理解數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué).因為,數(shù)學(xué)史對于揭示數(shù)學(xué)知識的來源和背景,對于引導(dǎo)學(xué)生體會真正的數(shù)學(xué)思維過程,創(chuàng)造一種探索與研究的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)氣氛,激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣以及培養(yǎng)探索精神和審美能力都有重要意義.

3 新課標(biāo)指導(dǎo)下運用數(shù)學(xué)史進行數(shù)學(xué)教學(xué)的對策

如何運用數(shù)學(xué)史教學(xué)是國際數(shù)學(xué)教育界共同關(guān)心的問題.新課程指出：“數(shù)學(xué)文化應(yīng)盡可能有機地結(jié)合數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容,選擇介紹一些對數(shù)學(xué)發(fā)展起重要作用的歷史事件和人物,反映數(shù)學(xué)在人類社會進步,同時也反映社會發(fā)展對數(shù)學(xué)發(fā)展的促進作用.”也就是說,要求數(shù)學(xué)教學(xué)充分反映數(shù)學(xué)的文化底蘊,從課程內(nèi)容、概念形成、證明方法、習(xí)題配置等各個方面,全方位地將數(shù)學(xué)史溶入,豐富和促進數(shù)學(xué)教學(xué).

3.1 運用數(shù)學(xué)史導(dǎo)入新課

運用數(shù)學(xué)史進行教學(xué)可以采用多樣化的教學(xué)方式,例如教師可以在導(dǎo)入新課時介紹有關(guān)的文化背景;適當(dāng)?shù)慕榻B數(shù)學(xué)家的思想方法等有意識地強調(diào)數(shù)學(xué)的德育價值,貫穿思想品德教育.這樣才能達到教學(xué)效果,更好地體現(xiàn)新課程精神.運用數(shù)學(xué)史導(dǎo)入新課可以吸引學(xué)生,激發(fā)興趣,讓學(xué)生了解相關(guān)知識的來朧去脈.

案例 (1)在講等比數(shù)列的時候就可以出這樣一道題：1420年元宵節(jié)的傍晚,浙江杭州市城內(nèi)外燈火齊明,到處是一派歡樂的節(jié)日氣氛,在錢塘江的一座亭子里,幾位書生對著倒映在江水中五彩繽紛的美麗燈色,一邊開懷暢飲,一邊輪流吟詩,輪到一位少年時,他靦腆地笑了笑說：“諸位仁兄詩才橫溢,妙句連篇,小弟也就不再班門弄斧”,另吟一首詩請聽：“遠望巍巍塔七層,紅光盞盞倍加增.共燈三百八十一,試問塔頂幾盞燈?”大伙聽后,連連稱贊,并一起注目仰望前方白塔嶺上那座用燈點綴著的七層白塔,深思良久,卻無人能算出答案,這位少年詳細講解后,大家才恍然大悟,大家一起舉杯向他稱賀,祝愿他將來在數(shù)學(xué)上取得更輝煌的成就.這位少年就是吳敬,在后來的幾十年中,他果然不負眾望,成為中國歷史上一位杰出的數(shù)學(xué)家.這樣出題,既活躍了課堂氣氛,又達到了教學(xué)效果.

3.2 穿插相關(guān)的數(shù)學(xué)故事,借以發(fā)揮激勵和榜樣作用

在講授數(shù)學(xué)知識時適當(dāng)介紹數(shù)學(xué)家的思想方法;在講授過程中應(yīng)有意識地強調(diào)數(shù)學(xué)的德育價值.

如“歷盡艱辛的負數(shù)”、“無理數(shù)的誕生與第一次數(shù)學(xué)危機”等,讓學(xué)生明白這些符號或概念的產(chǎn)生是多么來之不易,從而萌發(fā)掌握好這些知識的思想.教師還可適當(dāng)介紹一些現(xiàn)在已廢棄不用但與現(xiàn)在能使用的數(shù)學(xué)符號具有聯(lián)系的古代數(shù)學(xué)符號及理論表述形式,進行比較,有助于學(xué)生理解現(xiàn)在使用的這些符號和表述形式的優(yōu)點,從而加深印象,更好地使用.

案例 (2)基本不等式——柯西和他的一個精彩的證明.

同學(xué)們,今天我們學(xué)習(xí)均值不等式：

把它推廣到n元:

當(dāng)a1,a2,L,an＞0時,有(當(dāng)且僅當(dāng) a1=a2=L=an時取等號)

18世紀(jì)法國著名數(shù)學(xué)家柯西 (Cauchy)給出了精彩的證明.柯西在代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、誤差理論以及天體力學(xué)、光學(xué)、彈性力學(xué)等方面都有出色的貢獻.他發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)立的定理和公式,往往是一些簡單,最基本的事實.柯西是第一個用不等式來刻畫極限過程的人;柯西建立了一個應(yīng)用非常廣泛的不等式——柯西不等式.

柯西還創(chuàng)立了“反向數(shù)學(xué)歸納法”.

柯西是怎樣巧妙證明多元均值不等式?先看下面的一個不等式的證明思路:

設(shè) a,b,c≥0,求證:a3+b3+c3≥3abc.

學(xué)生從這里得到了什么啟發(fā)呢?留待課后思考討論.

3.3 教師應(yīng)恰當(dāng)?shù)叵驅(qū)W生展示數(shù)學(xué)及發(fā)現(xiàn)過程、數(shù)學(xué)家的思維過程

如“勾股定理”的學(xué)習(xí),有必要向?qū)W生介紹劉徽的“出入相補”原理的證明方法,展現(xiàn)他的證明過程.這樣,學(xué)生就不單單只看到經(jīng)過嚴(yán)格論證的結(jié)果,即成功的記錄,而是看到數(shù)學(xué)家思維活動的過程,感受到了數(shù)學(xué)家敏銳的洞察力和機智,對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維具有啟發(fā)意義.因為學(xué)生解題活動中的探索性思維與數(shù)學(xué)家從事研究活動的探索性思維本質(zhì)上是相通的.從劉徽、趙爽等人都能通過不同途徑達到證明“勾股定理”的目的中,學(xué)生還可得到啟示,即一道數(shù)學(xué)的證明方法或解法有多種多樣,在學(xué)習(xí)中不應(yīng)滿足于一種證法、一種解法,而應(yīng)充分發(fā)揮自己的智慧,不斷挖掘潛能,尋求最佳解題方法.

總之,數(shù)學(xué)史滲透到數(shù)學(xué)教育中,將數(shù)學(xué)認(rèn)識為一種文化現(xiàn)象,對于教師來說是很重要的.有了這樣的觀念,教師的數(shù)學(xué)教學(xué)活動與人的個性發(fā)展聯(lián)系起來就有了思想基礎(chǔ).中國數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育有一個很大的優(yōu)勢,即注重基礎(chǔ)知識和基本技能基礎(chǔ)上進一步延伸到思想和方法、精神等文化的層次,那么中國數(shù)學(xué)教育的發(fā)展?jié)摿⑹蔷薮蟮?不過,教師在向?qū)W生介紹數(shù)學(xué)家故事時,目的應(yīng)取其最能觸動人心、最能凈化學(xué)生心靈的部分來講,而不是把“整桶水”都澆到學(xué)生頭上,導(dǎo)致一節(jié)課下來,學(xué)生倒是聽了不少有趣的故事,卻沒真正學(xué)到什么數(shù)學(xué)知識.

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[2] 周友士.數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)新課程中的教學(xué)意義 [J].數(shù)學(xué)通報,2005,44(4)：17-19

[3] 孫鈴.試論數(shù)學(xué)史對數(shù)學(xué)教育的意義 [J].遼寧教育行政學(xué)院學(xué)報,2005,22(4)：100