周 銀， 杜雪樵

(合肥工業(yè)大學數學學院，安徽合肥 230009)

根據文獻[6]中的wick積分，可得到(1)式的解為:

無風險折現(xiàn)利率為:

期權定價是金融數學中的核心問題之一，近年來，國際金融市場涌現(xiàn)出了大量的由標準期權變化、組合、派生而出的新品種，即新型期權[1]。亞式期權就是現(xiàn)代金融市場中廣泛應用的一種新型期權，它的收益取決于有效期內某段時期的金融資產價格的平均值。

自從 Black-Scholes期權定價公式被提出后[2]，這一公式便被廣泛地應用于金融市場的定價分析。但是這一傳統(tǒng)公式是建立在有效市場假設之上的，而近年來對股票市場的大量研究結果均表明股票市場價格變化并不符合正態(tài)分布。而分數布朗運動正好具備長時間相關、自相似等特征，因此它能很好地刻畫股票波動規(guī)律，文獻[3]使用傅里葉變換法推導了基于分數布朗運動條件下Black-Scholes期權定價公式。

盡管亞式期權已經在實務界得到廣泛應用，其定價公式仍沒有從理論上得到較好的解決，文獻[4]首次提出期權定價的保險精算方法，將期權定價問題轉化為等價的公平保費確定問題，由于無任何經濟條件假設，因此對有套利、非均衡、不完備的市場也有效;文獻[5]在保險精算下用矩求亞式期權。本文在分數布朗運動的條件和期權保險精算定價模型的基礎上得出了亞式期權的定價公式，僅考慮在固定敲定價格計算看漲期權，看跌類似可得。

1 預備知識

1.1 分數布朗運動

Mandelbrot和Van Ness首先研究了分數布朗運動，其定義如下:

定義1 定義的在某概率空間的隨機過程{BH(t)，t≥0}為Hurst參數H∈(0，1)的分數布朗運動，若

(1)BH(t)以概率1連續(xù)，且BH(0)=0。

(2)對任何t≥0，h≥0增量BH(t+h)-BH(t)服從均值為0，方差為h2H的正態(tài)分布。

分數布朗運動是具有平穩(wěn)增量的連續(xù)的零均值Guassian過程，滿足E[BH(t)]=0，協(xié)方差為:

BH(t)的分布函數為:

BH(t)為標準布朗運動B(t)時，H=1/2。

如果標的資產(股票)價格S(t)滿足:

則稱S(t)服從幾何分數布朗運動，μ(t)、σ(t)分別代表風險資產價格的預期收益率與波動率，為了計算方便，假設μ(t)=μ，σ(t)=σ為常數，即

1.2 幾何平均亞式期權的保險精算定價模型

考慮由2類資產組成的連續(xù)貿易金融市場，一類是在t時刻具有瞬間無風險利率為r(t)的無風險資產;另一類為風險資產(股票)，在t時刻其價格為S(t)，考慮的時間區(qū)間為[0，T]。0表示初始時間;T表示到期日;{S(t):t≥0}是在給定的完備空間(Ω，F(xiàn)，F(xiàn)(t)t≥0，P)上的隨機過程，{F(t)t≥0}是由S(t)產生的子空間，假設S(0)=S是大于零的常數，有關保險精算定價的概念沿襲文獻[4]。

定義2 隨機過程 S(t):t≥0在[0，T]區(qū)間上產生的期望收益率∫t0β(s)d s被定義為:

即有:eβt=E[S(t)]/S(0)。

其中，β(t)為t時刻S(t)的連續(xù)復利收益率。而且有:

根據文獻[6]中的wick積分，可得到(1)式的解為:

即有:eβT=E[S(T)]/S(0)=eμT。

設C(K，T)表示以股票價格S(t)為標的資產，執(zhí)行價為K，到期日為T的幾何亞式期權保險精算定價[7]，令

定義3 平均價格型亞式期權的保險精算定價為:當期權被執(zhí)行時，在[0，T]內股價平均價格A(T)的折現(xiàn)值與執(zhí)行價的折現(xiàn)值之差，在股票價格實際分布的概率測度下的數學期望[4]。資產折現(xiàn)值的計算方法如下:無風險資產(確定的)按無風險利率折現(xiàn)，風險資產(隨機的)按其期望收益率折現(xiàn)。

幾何平均亞式期權在到期日被執(zhí)行的充要條件α是:

其中，期望收益折現(xiàn)率為:

無風險折現(xiàn)利率為:

由定義3可知:

2 結 論

定理1 在分數布朗運動環(huán)境下，具有固定敲定價格的亞式看漲期權的價格為:

其中，d1=(ˉμ+ˉσ2-ln K-(μ-r)T)/ˉσ=

證明 由定義3有:

下面求出y的概率密度為:

y的期望為:

y的方差為:

又因為:

所以有:

所以有:

其中，d1=(ˉμ+ˉσ2-d)/ˉσ=(ˉμ+ˉσ2-ln K-(μ-r)T)/ˉσ。

其中，d2=(ˉμ-d)/ˉσ=(ˉμ-(μ-r)T-ln K)/ˉσ。

綜上所述，則有:

其中

推論1 當μ=r，H=1/2時，即為標準布朗運動環(huán)境下，在風險中性的條件下得出的幾何平均亞式看漲期權定價公式為:

此定價公式與文獻[8]中的結論相同。

分數布朗運動比傳統(tǒng)的Black-Scholes期權公式更能解釋資本市場中的價格變化現(xiàn)象。和推論相比，分數布朗運動下保險精算的方法模型能在更寬廣的范圍內使用，是對其在標準布朗運動下和風險中性條件下極大的推廣，表現(xiàn)出了本文的合理性，可見標的資產服從標準布朗運動下的幾何亞式期權定價是分數布朗運動下的一種特例。分數布朗運動比傳統(tǒng)的Black-Scho les期權公式更能解釋資本市場中的價格變化現(xiàn)象。在幾何分數布朗運動中，期權的價值不僅與資產價格S、時刻T和t有關，而且由于股票價格的變化具有長相關性，因此期權的價值還應與Hurst參數H有關。

[1] 約翰?赫爾.期權、期貨和衍生證券[M].張?zhí)諅?，譯.北京:華夏出版社，1997:450-463.

[2] Black F，Sholes M.The p ricing of options and corpo rate liabilities[J].Journal of Political Econom y，1973，81(4): 633-654.

[3] Necu la C.Option p ricing in a fractional B row nian motion enviroment[EB/OL].(2002-02-12)[2009-12-20].http:// ssrn.com/abstract=1286833.

[4] Bladt M，Rydbert T H.An actuarial app roach to option p ricing under the phy siclmeasu re and w ithoutmarket assum ptions[J].Insurance:Mathematics and Econom ics，1998，22 (1):65-73.

[5] 葉小青，蹇 名，吳永紅.亞式期權的保險精算定價[J].華中科技大學學報:自然科學報，2005，12(3):91-93.

[6] Hu Y，Ksendal B.Fractionalw hite noise calculusand applications to finance[J].Infinite Dimensional Analysis，Quantum Probability and Related Topics，2003，6:1-32.

[7] 姜禮尚.期權定價的數學模型和方法[M].北京:高等教育出版社，2003:277-294.

[8] 章 珂，周文彪.幾何平均亞式期權的定價方法[J].同濟大學學報:自然科學版，2001，29(8):924-927.