陳小惠， 唐 爍

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽合肥 230009)

0 引 言

在科學(xué)研究或工程技術(shù)領(lǐng)域中，常常會(huì)遇到許多實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，例如非線性力學(xué)問題、電路問題、經(jīng)濟(jì)和非線性規(guī)劃問題等，它們最終都?xì)w結(jié)為非線性方程f(x)=0，x∈R的求解問題，因此研究和解決非線性方程解的存在性及尋求其有效數(shù)值解法都是非常必要的。迄今為止，解非線性方程的方法很多，通常使用的是牛頓迭代方法及其改進(jìn)方法，另外還有很多通過其它方法構(gòu)造的迭代方法[1-8]。這些方法中有些階數(shù)已經(jīng)達(dá)到8階，但是其迭代形式比較復(fù)雜，所以本文基于Chebyshev-Halley公式，給出了一個(gè)多參數(shù)迭代方法，在一定條件下該方法至少是3階收斂的，且形式簡單。實(shí)例說明了該格式的有效性與優(yōu)越性。

著名的Chebyshev-Halley公式[4]為:

其中，Tf(x)=f(x)f″(x)/[f′(x)]2;λ為一個(gè)任意的實(shí)參數(shù)。該方法是3階收斂的，λ=0時(shí)為Chebyshev方法;λ=1/2時(shí)為Halley方法;λ=1時(shí)為Super-Halley方法;λ→±∞時(shí)為經(jīng)典New ton方法。

本文在Chebyshev-Halley公式的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了一類不需要計(jì)算2階導(dǎo)數(shù)的雙參數(shù)迭代方法，且在一定條件下可以達(dá)到4階收斂。

1 迭代公式的構(gòu)造

為了減少2階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，本文引入?yún)?shù)β(β為任意非零實(shí)數(shù))，將Chebyshev-Halley公式做如下的修改，即

令y=x-βf(x)/f′(x)，β為任意非零實(shí)數(shù)，將f(y)Taylor展開為:

可得:

從而將

代入Chebyshev-Halley公式得:

(1)式是依賴于參數(shù)λ和β的，以下給出一些特殊情況的迭代格式:

(1)當(dāng)λ=0，β≠0時(shí)，

當(dāng)β=1時(shí)，

則(3)式為J.F.Traub給出的3階收斂公式，見文獻(xiàn)[9]。

當(dāng)β=-1時(shí)，

則(4)式為文獻(xiàn)[5]給出的一個(gè)迭代公式，也是3階收斂的。

當(dāng)β→±∞時(shí)，

則(5)式為經(jīng)典的New ton公式，它是2階收斂的。

(2)當(dāng)λ=β≠0時(shí)，

當(dāng)λ=β=1時(shí)，

則(7)式為T raub-Ostrow ski格式，是4階收斂的，見文獻(xiàn)[4]。

則(8)式為New ton-Secant格式[4]，也是3階收斂的。

則(9)式也是3階收斂的，證明見定理1。

2 收斂性分析

定義1 設(shè)序列{xk}收斂到α，記ek=xk-α，若存在實(shí)數(shù)p≥1及常數(shù)c＞0，使則稱序列{xk}是p階收斂的[10]。

定理1 設(shè)f:A→R，在A中連續(xù)且有足夠高階的導(dǎo)數(shù)，如果f(x)有一單根α∈A，則在α足夠近的鄰域內(nèi)，(1)式有如下收斂情況:

(1)當(dāng)(λ，β)≠(1，1)時(shí)，3階收斂;

(2)當(dāng)(λ，β)=(1，1)時(shí)，4階收斂。

則有:

所以當(dāng)(λ，β)≠(1，1)時(shí)，δ=Ο(ε3)。

令xk+1=φ(xk)，由定義1可知(1)式是3階收斂的。

當(dāng)(λ，β)=(1，1)時(shí)，δ=Ο(ε4)，令xk+1= φ(xk)，同理由定義1可知，(1)式是4階收斂的。

3 數(shù)值分析

本文采用幾個(gè)不同的函數(shù)，不同的初始值分別從迭代次數(shù)和rk=|f(xk)|絕對誤差方面來比較以上幾個(gè)方法的優(yōu)越性。

所有計(jì)算都是在M atlab7.0上實(shí)現(xiàn)的，迭代過程同時(shí)滿足|xk+1-xk|＜ε和|f(xk+1)|＜ε時(shí)停止迭代，其中ε=1.0E-30是一個(gè)M atlab常數(shù)。

例1 已知方程a:f(x)=x2-ex-3x+2，解α=0.257 5。

分別取初始值x0為-1、0、2、20，運(yùn)用Newton方法(以下簡稱NM法)、(3)式、(4)式、(7)式、(8)式、(9)式方法進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果見表1所列。

表1 方程a的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果

例2 已知方程b:f(x)=x3+4 x2-6+ cos(x-1)，解α=1。分別取初始值x0為0.5、 0.7、1.8、3.2，運(yùn)用NM法、(3)式、(4)式、(7)～(9)式方法進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果見表2所列。

表2 方程b的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果

例3 已知方程c:f(x)=x cos x+2sin x-1，解α=0.344 6，α=-4.909 5。分別取初始值x0為-0.7、0、0.5、1，運(yùn)用NM法，(3)式、(4)式、(7)～(9)式方法進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果見表3所列。

表3 方程c的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果

以上數(shù)值例子表明，本文所給方法的收斂都比較快，且形式簡單，便于計(jì)算，新方法(9)式較同階的3階迭代(3)式、(4)式及(8)式收斂快。

4 結(jié)束語

本文給出了一類多參數(shù)解非線性方程的迭代格式，證明了該格式至少3階收斂，且在一定條件下還可以達(dá)到4階收斂，并且只需計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)，通過適當(dāng)選取2個(gè)參數(shù)可以得到很多經(jīng)典的或已有的迭代格式。數(shù)值例子表明了本方法具有收斂快、形式簡單，且便于實(shí)際應(yīng)用的優(yōu)越性，還可以通過選取適當(dāng)參數(shù)得到更多的有利于實(shí)際應(yīng)用的新迭代格式。另外本文方法還可以推廣到非線性方程組。

[1] Ham Y，Chun C，Lee SG.Some higher-order modicationsof New ton'sm ethod for solving nonlinear equations[J].Jou rnal of Compu tational and App lied M athematics，2008，222: 477-486.

[2] Bi W，Ren H，W u Q.Three-step iterative method s with eight-order convergence for solving nonlinear equations[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics，2009，225:105-112.

[3] Fang L，He G.Some modifications of New ton's method w ith higher-order convergence for solving nonlinear equations[J].Journal of Com putational and Applied Mathematics，2009，228:296-303.

[4] Nedzhibov G H，H asanov V I，Petkov M G.On som e fam ilies ofmulti-point iterativem ethods fo r solving nonlinear equations[J].Num er A lgor，2005，42:127-136.

[5] Kou J，Li Y，W ang X.A modification of New ton method w ith third-order convergence[J].Applied Mathematics and Com putation，2006，181:1106-1111.

[6] Noor M A，Noor K I.Some iterative schemes for nonlinear equations[J].Applied Mathematicsand Compu tation，2006，183:774-779.

[7] Noor M A，W aseem M.Some iterative methods for solving system of nonlinear equations[J].Compu ters and Mathematics w ith Applications，2009，57:101-106.

[8] Noor M A，Shan F A.Variational iteration technique for solving nonlinear equations[J].Jou rnal of Applied Mathematics and Com puting，2009，31:247-254.

[9] 黃象鼎.非線性數(shù)值分析的理論與方法[M].武昌:武漢大學(xué)出版社，2004:6-64.

[10] 黃云清.數(shù)值計(jì)算方法[M].北京:科學(xué)出版社，2009:223.