張利格 畢樹生

(北京航空航天大學 機械工程及自動化學院,北京 100191)

彭朝琴

(北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院,北京 100191)

空間四面體翻滾機器人運動學分析及仿真實驗

張利格 畢樹生

(北京航空航天大學 機械工程及自動化學院,北京 100191)

彭朝琴

(北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院,北京 100191)

對四面體及多面體機器人的研究現(xiàn)狀進行了分析.介紹了空間四面體翻滾機器人的結構,由 6根伸縮臂和 4個頂部節(jié)點平臺組成,通過伸縮臂的運動可以使四面體的重心失穩(wěn),實現(xiàn)翻滾運動.結合四面體翻滾機器人的運動形式,給出了翻滾的臨界條件,根據不同的運動階段對四面體翻滾機器人進行了運動學分析.利用 Adams虛擬樣機技術對四面體翻滾機器人進行了運動學仿真,并進行了樣機的實驗,驗證了方法的正確性.該分析結果可進一步用于空間四面體翻滾機器人的動力學分析和優(yōu)化設計.

空間四面體翻滾機器人;運動學分析;臨界條件;運動學仿真

空間四面體翻滾機器人的概念最初由 Ham linand和 Sanderson[1-2]等人提出,它是一種變幾何桁架機構(VGTM,Variable Geometry Truss Mechanisms),由靜定桁架中某些桿件(伸縮桿)的長度可伸縮變化來實現(xiàn)機構的運動,是多自由度多環(huán)路的新型機構.伸縮桿的運動可以使四面體的形狀發(fā)生變化,重心位置隨之而變,當超越其穩(wěn)定區(qū)域時,四面體機器人失穩(wěn),實現(xiàn)翻滾運動.通過多個四面體單元的組合及拆分可以構成四重四面體乃至十二重四面體等多面體機器人系統(tǒng).隨著機器人重數的增加,機器人的自由度會隨之增加,因而能夠實現(xiàn)的運動也更為復雜[3-4].

空間四面體翻滾機器人較常規(guī)移動機器人具有以下幾個優(yōu)點:①結構上具有對稱性和穩(wěn)定性,四面體單元是最穩(wěn)定的空間構型,不存在傾覆問題;②運動靈活,通過改變運動形式以適應不同的環(huán)境,比如越障、穿越隧道、跨過溝渠等;③結構簡單,便于模塊化,可以組成多種多樣的多面體機器人形式,在民用、軍用及太空探測領域都有廣闊的應用前景.

目前,對空間四面體翻滾機器人的研究比較少.NASA率先開展了四面體翻滾機器人樣機的研究,迄今已經有 3代樣機產生[3-5].現(xiàn)階段只有第 1代樣機實現(xiàn)了連續(xù)的翻滾運動,第 2、第 3代樣機結構復雜,運動控制方法正在研究中.文獻[6]描述了一個簡易四面體翻滾機器人的制作方法,驗證了四面體機器人翻滾的可能.國內北京交通大學的朱磊[7]等人吸取 NASA的設計靈感,提出了基于四桿機構的空間滾動步行移動機構,對該機構進行了運動學和動力學分析,具有運動學模型簡單,方便控制,抗沖擊能力強,對稱性好等特點.但此機構和四面體翻滾機器人差別較大,前者是基于四桿機構提出的過約束六桿 SU機構,后者是一種桿長可變的桁架機構,運動方式和機構分析方法都有所不同.

由于空間四面體翻滾機器人獨特的運動方式,其運動學和動力學分析方法也不同于目前傳統(tǒng)機器人的分析方法.NASA雖然成功研制了第 1代樣機,但是并未見到相關的理論分析研究.為此,本文結合四面體翻滾機器人的結構特點和運動形式,將一個翻滾周期分為 4個階段:①翻滾前變形;②翻滾;③觸地;④回復原狀.對四面體機構進行了運動學分析.最后對機器人進行了運動學仿真和數據對比,研制的樣機也成功完成了翻滾實驗,驗證了方法的正確性.

1 空間四面體機器人結構介紹

圖 1為本文研究的空間四面體翻滾機器人的結構簡圖,它由 6根伸縮臂和 4個頂部節(jié)點平臺組成,各伸縮臂的原始長度相同.4個節(jié)點平臺將6根伸縮臂以虎克鉸連接,節(jié)點和伸縮臂都可以自由運動.每個伸縮臂由一個電動機驅動,采用繩傳動機構,通過電動機的正反轉使之按照一定規(guī)律做大行程往復式伸縮運動,通過調整伸縮臂的個數和其伸縮比,產生不同的運動模式,實現(xiàn)空間四面體翻滾機器人的不同步態(tài).

圖 1 空間四面體翻滾機器人的結構圖

2 翻滾臨界條件

空間四面體翻滾機器人的運動模式有多種,本文選擇其中一種運動模式進行分析,見圖 2.DB和 DC兩臂不伸長 lDC=lDB=l0;AD臂伸長后的桿長 lAD=l1,BC臂伸長后的桿長 lBC=l2;AB,AC兩臂伸縮時以同一速度伸長,伸長后的桿長 lAB=lAC=l3.四面體將會發(fā)生以△ADM為鏡面的對稱變形(M為 BC的中點),變形到一定程度,重心偏離穩(wěn)定區(qū)域[8-9],四面體將繞 BC軸發(fā)生翻滾,運動過程見圖 2.這種情況下,△ADM各邊長為

圖 2 翻滾過程示意圖

假設組成空間四面體翻滾機器人的各構件質量均勻分布,四面體與地面接觸的△BCD就是其對應的穩(wěn)定區(qū)域,可以確定,當滿足下面條件時,四面體將發(fā)生翻滾:△ADM的中心 G(即四面體的重心)在地面上的投影 P與 M點重合或落在DM的延長線上,即 GP⊥DM.故有如下幾何關系:

根據以上條件,可以得到此時各桿長應滿足如下關系:

式(5)即為到達翻滾臨界條件時各桿長應滿足的關系.

4根伸縮臂等速同步伸長是上述運動形式的一種特殊情況,可得翻滾臨界條件:

式中,ls為伸縮臂等速伸長后的桿長.

3 翻滾前變形的運動學分析

根據空間四面體機器人的結構特點和運動方式,建立如圖 3所示的坐標系,基于頂點 D(翻滾前不動)的慣性坐標系{O0}和頂點坐標系{O1}.坐標系 O1x1y1z1的 z1軸與△ABC平面垂直,y1軸與△ABC的中線 AM重合,x1軸根據右手定則確定.由此可見,z1與 z0之間的夾角 α就是兩平面 ABC和平面 BCD之間的二面角.

圖 3 四面體翻滾機器人坐標系

從頂點坐標系 O1x1y1z1到慣性坐標系 O0x0y0z0的變換矩陣為

其中

3.1 Jacobi矩陣

假設空間四面體翻滾機器人的構件 i質心位置、姿態(tài)分別用 Ωi,Φi表示,Ωi,Φi和各伸縮臂的驅動關節(jié)變量為非線性函數,可以表示為

將其對時間求一階導數可得構件 i質心速度vi和角速度 ωi:

對時間求二階導數得到構件i質心速度 ai和角速度εi:

JT,i和 JR,i分別稱之為構件 i的平動部分 Jacobi矩陣和轉動部分 Jacobi矩陣.

3.2 頂部節(jié)點的 Jacobi矩陣

以頂部節(jié)點 A為例,首先求得 A在慣性坐標系下的質心位置和姿態(tài):[θ1,0,0,1]T,其中zA=Δz.于是有

根據式(10)、式(11),對 PA,φA分別求關于l1,l2,l3的偏導數,得到固定構件 D1和活動構件U1的平動 Jacobi矩陣 JA,v和轉動 Jacobi矩陣JA,w,即有速度

加速度

同樣方法可以求得節(jié)點平臺 B和 C的 Jacobi矩陣 JB,v,JB,w,JC,v,JC,w和相應的速度、加速度.

3.3 伸縮臂 AD,DB,DC,BC的 Jacobi矩陣

四面體翻滾機器人的伸縮臂由固定構件 Di和活動構件 Ui兩個部分構成,伸縮臂 AD的固定構件 D1和活動構件 U1的質心坐標:

構件 Di,Ui的質心姿態(tài)相同,有

其中,ld,lu分別為固定構件的長度和活動構件的長度,6根伸縮臂相同.

根據式(10)、式(11),求得 D1和 U1的 Jacobi矩陣

同樣方法可求得 DB,DC,BC伸縮臂的固定構件 Di和活動構件 Ui的 Jacobi矩陣.

3.4 伸縮臂 AB,AC的 Jacobi矩陣

伸縮臂 AB的固定構件 D5和活動構件 U5在頂點坐標系下的質心坐標:

D5和 U5的質心姿態(tài)相同,有

坐標變換到慣性坐標系下有

根據式(10)、式(11),求得 D5和 U5的 Jacobi矩陣 Jd5,v,Ju5,v,Jd5,w,Ju5,w.同樣方法求得 AC的固定構件 D6和活動構件 U6的 Jacobi矩陣.

四面體翻滾機器人回復階段的運動學分析方法可以參考翻滾前的方法,下文將不再贅述.

4 翻轉階段

圖 2給出了空間四面體翻滾機器人從伸縮臂開始伸長到實現(xiàn)翻滾的示意圖,可繞底面△BCD的任意一邊為軸進行翻轉.以繞 BC軸為例進行翻滾階段的運動學分析,設桿 BC的向量為

節(jié)點 A和 D的期望翻滾路徑可以表示如下:

其中 i=A,D.旋轉矩陣

其中,φ是翻滾時刻△ABC與水平面的夾角;γ=1-cosφ是節(jié)點 i的初始位置;是節(jié)點 i的需要位置.通過選擇不同的翻滾軸,可以規(guī)劃出四面體機器人行進的不同路徑.

圖 4 空間四面體翻滾機器人的運動軌跡

圖 4是繞不同軸翻滾時空間四面體翻滾機器人的運動軌跡,可以看出,四面體在運動過程中可以隨時改變行進方向,具有非常大的靈活性,所以說它對非結構化的環(huán)境具有很強的適應性.

5 觸地階段

將四面體翻滾機器人簡化為剛體,因此可以將整個機構的質量集中在一點,如圖 5.設觸地時地面的沖擊力為 R,列寫牛頓方程和歐拉方程:

其中,r是質心(mC)到 nA的位置矢量;mC是將四面體翻滾機器人簡化為剛體后的質量;nC是質心的位置矢量;IC,wC,αC分別是與之對應的剛體轉動慣量,轉動角速度,加速度.

圖 5 空間四面體翻滾機器人觸地時的動態(tài)模型

將四面體頂部節(jié)點觸地的過程看作是一個線性彈簧-阻尼系統(tǒng)[10-11],如圖 5,有

其中,k和 c是彈簧和阻尼矩陣;δi是落地節(jié)點與地面接觸時的微小位移;頂部節(jié)點的接觸力 R與位移 δ和對應的速度·δ成正比.

ii

6 仿真與實驗

為了驗證運動學分析方法的有效性,建立了四面體翻滾機器人的仿真模型,按照上面所述的運動模式,使模型在水平面完成翻滾的動作.仿真模型的參數如下:伸縮臂原始長度 l0=1 000mm,固定構件長度 ld=900mm,活動構件長度 lu=960mm.伸縮臂的初速度為零,四根伸縮臂等速伸長,運動規(guī)律如下:0～2 s,勻加速伸長,加速度a=150mm/s2;2～3s,勻速伸長,a=0;3～4s,勻減速伸長,a=-300mm/s2;4 s～te,自由落體.

仿真結果表明,空間四面體翻滾機器人能夠按照上述運動模式實現(xiàn)翻滾動作,如圖 6.在 t=4.0s時刻,到達翻滾臨界條件,伸縮臂的長度約為 1715mm,與幾何翻滾臨界條件基本一致.稍有差別的原因除了仿真模型和運動學模型的建模誤差外,主要是由于文中給出的翻滾臨界條件只是從幾何學的角度考慮,暫時還沒有考慮動力學的影響.現(xiàn)階段都是在伸縮臂運動速度比較小的情況下翻滾,但當在運動速度增大的情況下,動力學的影響將加大,下階段工作將對此展開深入研究.

圖 6 空間四面體翻滾機器人的運動仿真結果

圖 7 空間四面體翻滾機器人樣機實驗

圖 7是開發(fā)的空間四面體翻滾機器人原理樣機,通過實驗可以看出,機器人能夠按照預設的運動路徑實現(xiàn)翻滾動作,并且回復原狀,完成一個翻滾周期的運動.下一步動作可以根據運動需要選擇翻滾軸,并且方向、步長、高度等都可以靈活掌握.與同等大小的其他類型機器人相比,具有結構簡單、穩(wěn)定性高、運動靈活等諸多優(yōu)點,在危險場合作業(yè)、軍事偵察、太空探測等領域都有廣闊的應用前景.

7 數據分析

圖 8a為用文中方法得到的四面體翻滾機器人頂部節(jié)點 A在高度方向(z方向)的位置曲線,圖 8b為與之對應的仿真模型的位置曲線.

圖 9a為用文中方法得到的四面體翻滾機器人頂部節(jié)點 A在 z方向的速度曲線,圖 9b為與之對應的仿真模型的速度曲線.

圖8 頂部節(jié)點 A在z方向的位置曲線

圖9 頂部節(jié)點 A在z方向的速度曲線

可以看出,仿真曲線與理論曲線基本一致,仿真模型較好地反映了實際模型,證明本文提出的運動學分析方法的正確性.在某些地方,曲線有些微小差異,主要是由于仿真模型和運動學模型的建模誤差(仿真模型中在 t=4.8 s時頂點觸地).

圖 10為頂部節(jié)點撞擊地面時的受力圖.可以看出,翻滾時刻節(jié)點速度大將導致撞擊地面時的沖擊力增大,驗證了觸地階段的分析模型.據此,可以得到合理控制翻滾時刻的節(jié)點速度,頂部節(jié)點選擇彈性材料包裹,可以達到減小沖擊力的目的.本文設計的四面體翻滾機器人的頂部節(jié)點采用橡膠包裹,起到了很好的減震作用.

圖 10 頂部節(jié)點撞擊地面時的受力對比圖

8 結 論

1)介紹了空間四面體翻滾機器人的結構,結合運動特點,分階段進行了運動學分析;

2)利用 Adams虛擬樣機平臺建立了空間四面體翻滾機器人的運動學模型,通過仿真驗證了本文所提運動學分析方法的正確性,該運動學模型能準確反映空間四面體翻滾機器人的運動情況;

3)進行了空間四面體翻滾機器人的樣機實驗,也驗證了上述理論分析的正確性:

4)本文研究對此類型機構的動力學分析、優(yōu)化設計和控制具有重要的參考價值.

References)

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(編 輯:文麗芳)

Motion analysis and simulation of tetrahedral rolling robot

Zhang Lige BiShusheng

(School of Mechanical Engineering and Automation,Beijing University of Aeronautics and Astronautics,Beijing 100191,China)

Peng Zhaoqin

(School of Automation Science and Electrical Engineering,Beijing University of Aeronautics and Astronautics,Beijing 100191,China)

The research status of tetrahedral robot was analyzed.The mechanism of tetrahedral rolling robot was introduced.The robot comprises of six extension struts and four node flats.When the center of gravity(COG)of tetrahedron exceeds the stability region,the robot will roll.Kinematic model in different motion phase was analyzed according to the structure and motion characteristic of the tetrahedral robot,and the rolling critical condition was formulated.The simulation model was built by virtual flats oft ware Adams,and the effectiveness of the method was testified through simulation and experiment.The results provide important reference for the dynamic analysis,optimization design and control of the tetrahedral rolling robot.

tetrahedral rolling robot;kinematic analysis;rolling critical condition;motion simulation

TP 242

A

1001-5965(2011)04-0415-06

2010-01-21

張利格(1978-),女,北京人,博士后,zhanglige@buaa.edu.cn.