吳一全，吳加明，占必超

(1.南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，江蘇南京210016;2.南京大學(xué) 計(jì)算機(jī)軟件新技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京210093)

閾值分割是使用普遍、處理有效且實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單的圖像分割技術(shù)。其關(guān)鍵是快速選取合適的閾值以實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確分割。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了大量研究［1-2］，提出了基于最大類間方差(Otsu 法)［3］、最大熵［4］、Fisher 準(zhǔn)則［5］等多種類型閾值選取方法。最初都通過(guò)圖像的一維灰度直方圖選取閾值，雖然處理速度快，但圖像受到噪聲干擾時(shí)難以獲得滿意的分割效果。因此，最大熵法、Otsu 法和Fisher 準(zhǔn)則法分別被Abutaleb［6］和Brink［7］、劉健莊［8］、龔堅(jiān)［9］等相繼推廣到灰度級(jí)—鄰域平均灰度級(jí)二維直方圖，效果明顯改善，但同時(shí)運(yùn)算量按指數(shù)增加。故人們又提出了基于二維直方圖的閾值選取快速算法［10-12］，不同程度地提高了運(yùn)行速度。但上述二維方法都將二維直方圖分成4 個(gè)矩形區(qū)域(稱之為區(qū)域直分)，而這樣會(huì)在計(jì)算中引入近似，導(dǎo)致分割結(jié)果不夠準(zhǔn)確。因此，文獻(xiàn)［13 -15］提出了基于二維直方圖區(qū)域斜分的閾值分割方法，進(jìn)一步減小了誤差，大大縮短了運(yùn)行時(shí)間，且抗噪性更穩(wěn)健。

圖像閾值分割是紅外目標(biāo)檢測(cè)中的關(guān)鍵步驟之一。在紅外目標(biāo)探測(cè)成像平面內(nèi)，目標(biāo)與背景的大小之比通常很小，如低于1%.這就要解決目標(biāo)與背景大小之比很小的小目標(biāo)圖像閾值分割問(wèn)題。對(duì)于這一問(wèn)題，現(xiàn)有的閾值選取方法幾乎都失效，得不到理想結(jié)果。當(dāng)目標(biāo)與背景比例相差較大時(shí)，將背景的一部分劃分為目標(biāo)反而可能具有更小的類內(nèi)方差或更大的類間方差。因此，Otsu 法和Fisher 準(zhǔn)則法不能準(zhǔn)確地分割小目標(biāo)圖像; 最大熵方法對(duì)小目標(biāo)圖像也不能有效分割。

鑒于以上原因，本文提出了一種基于背景與目標(biāo)面積差和類內(nèi)方差的小目標(biāo)圖像分割閾值選取方法?？紤]到準(zhǔn)確分割時(shí)，目標(biāo)內(nèi)部和背景內(nèi)部的灰度均勻，類內(nèi)方差很小，再利用小目標(biāo)圖像中目標(biāo)與背景的面積相差很大的特點(diǎn)，構(gòu)造準(zhǔn)則函數(shù);在此基礎(chǔ)上，分別給出了基于一維直方圖和二維直方圖區(qū)域直分的閾值選取公式; 然后導(dǎo)出了二維直方圖區(qū)域斜分閾值選取公式及其快速遞推算法; 最后在實(shí)驗(yàn)結(jié)果中，給出了本文方法的閾值分割結(jié)果和運(yùn)行時(shí)間，并與基于二維斜分的Otsu、最大熵及Fisher 閾值選取快速方法進(jìn)行了比較。

1 基于一維直方圖和二維直方圖區(qū)域直分的閾值選取

1.1 基于一維直方圖的閾值選取

Otsu 法根據(jù)最大類間方差或最小類內(nèi)方差選取閾值，實(shí)質(zhì)上是基于誤差平方和最小準(zhǔn)則導(dǎo)出的。該準(zhǔn)則有一個(gè)潛在的問(wèn)題，即當(dāng)不同聚類所包含的樣本個(gè)數(shù)相差較大時(shí)，將一個(gè)大的類別分割開反而可能具有更小的誤差平方和。對(duì)于小目標(biāo)圖像，目標(biāo)與背景所占比例相差較大，將背景的一部分劃分為目標(biāo)反而可能具有更小的類內(nèi)方差或更大的類間方差，因此Otsu 法將不能準(zhǔn)確分割。

考慮到準(zhǔn)確分割時(shí)，目標(biāo)內(nèi)部和背景內(nèi)部的灰度均勻，數(shù)據(jù)點(diǎn)緊密，類內(nèi)方差很小; 如果再利用小目標(biāo)圖像的目標(biāo)與背景的面積比例很小也即目標(biāo)與背景的面積相差很大的特點(diǎn)，將其考慮為閾值選取準(zhǔn)則函數(shù)的一部分，可望提高閾值分割的準(zhǔn)確性。綜合上述2 個(gè)特點(diǎn)，本文構(gòu)造了基于背景與目標(biāo)的面積差和類內(nèi)方差的閾值選取準(zhǔn)則函數(shù)，從而可有效地分割小目標(biāo)圖像。

設(shè)圖像的尺寸為M×N，灰度級(jí)取0，1，…，L -1，p(i)為灰度級(jí)i 出現(xiàn)的概率?，F(xiàn)用閾值t 劃分為背景類和目標(biāo)類，假設(shè)圖像的亮(暗)像素屬于目標(biāo)(背景)。背景和目標(biāo)的概率分別為ω0(t)、ω1(t)，灰度級(jí)均值分別為μ0(t)/ω0(t)、μ1(t)/ω1(t)，方差分別為σ20(t)、σ21(t).該準(zhǔn)則函數(shù)的一維形式為

使準(zhǔn)則函數(shù)Φ(t)達(dá)到最大求得最佳閾值:

1.2 基于二維直方圖區(qū)域直分的閾值選取

設(shè)M×N 圖像的灰度級(jí)取0，1，…，L -1，定義像素點(diǎn)(m，n)的鄰域平均灰度級(jí)g(m，n)=，其中D 一般取像素點(diǎn)(m，n)的3 ×3鄰域，W 為D 中的像素點(diǎn)數(shù)。若用r(i，j)表示(灰度級(jí)f，鄰域平均灰度級(jí)g)對(duì)出現(xiàn)的頻數(shù)(0 ≤r(i，j)≤M×N)，定義:

則p(i，j)即為圖像的二維直方圖。圖1(a)為原始圖像，圖1(b)為其二維直方圖，閾值向量(t，s)將二維直方圖直分為圖1(c)所示的4 個(gè)區(qū)域。

圖1 圖像二維直方圖及其區(qū)域直分Fig.1 2-D histogram and vertical segmentation

設(shè)背景和目標(biāo)的概率分別為ω0(t，s)、ω1(t，s)，灰度級(jí)均值分別為μ0i(t，s)/ω0(t，s)、μ0j(t，s)/ω0(t，s)、μ1i(t，s)/ω1(t，s)、μ1j(t，s)/ω1(t，s)，方差分別為σ20i(t，s)、σ20j(t，s)、σ21i(t，s)、σ21j(t，s)，則由一維形式推廣，得到基于背景與目標(biāo)面積差和類內(nèi)方差的二維直分閾值選取準(zhǔn)則函數(shù)

使準(zhǔn)則函數(shù)Φ(t，s)達(dá)到最大求得最佳閾值:

此時(shí)，分割后的圖像類內(nèi)均勻，目標(biāo)與背景分離度最佳。

2 二維直方圖區(qū)域斜分的閾值選取公式及其快速遞推算法

2.1 二維直方圖區(qū)域斜分的閾值選取公式

分析圖1(b)所示的二維直方圖可見，像素點(diǎn)基本都分布在主對(duì)角線附近，故在圖2中，通過(guò)位于主對(duì)角線兩側(cè)且與其平行的4 條平行斜線L1、L2、L3、L4，將直方圖區(qū)域分成1 個(gè)內(nèi)點(diǎn)區(qū)、2 個(gè)邊界點(diǎn)區(qū)和2 個(gè)噪聲點(diǎn)區(qū):L1 和L2 之間的區(qū)域由于像素灰度級(jí)和鄰域平均灰度級(jí)相近，認(rèn)為是目標(biāo)和背景內(nèi)點(diǎn)區(qū);L1 和L3 之間及L2 和L4 之間的2 個(gè)區(qū)域因像素灰度級(jí)和鄰域平均灰度級(jí)有一定差別，視為目標(biāo)和背景之間過(guò)渡的邊界點(diǎn)區(qū); L3 以外和L4 以外的2 個(gè)區(qū)域由于像素灰度級(jí)和鄰域平均灰度級(jí)相差很大，定為噪聲點(diǎn)區(qū)［14-15］。

圖2 二維直方圖區(qū)域斜分Fig.2 2-D histogram oblique segmentation

斜分是采用與主對(duì)角線垂直(即與灰度級(jí)軸成135°角)的一條斜線段g=-f +2T(T 為閾值，0≤T≤L-1)，按灰度級(jí)與鄰域平均灰度級(jí)的平均值進(jìn)行閾值分割，即分割后的二值圖像b(m，n)為

其中，0＜T≤L-1.

若背景與目標(biāo)的概率分別為ω0(T)、ω1(T)，灰度均值分別為μ0i(t，s)/ω0(t，s)、μ0j(t，s)/ω0(t，s)、μ1i(t，s)/ω1(t，s)、μ1j(t，s)/ω1(t，s)，方差分別為σ2oi(T)、σ2oj(T)、σ21i(T)、σ21j(T)，則基于背景與目標(biāo)面積差和類內(nèi)方差的二維斜分閾值選取準(zhǔn)則函數(shù)為

若設(shè)總體灰度級(jí)均值為μti和μtj，總體方差σ2為σ2ti和σ2tj，由于斜分情況下總體方差為類內(nèi)方差與類間方差之和，所以(5)式的準(zhǔn)則函數(shù)可改寫為

使準(zhǔn)則函數(shù)Φ(T)達(dá)到最大求得最佳閾值:

2.2 快速遞推算法

從上述算法公式可以看出，計(jì)算Φ(T)需要計(jì)算ω0(T)和ω1(T)、μ0i(T)和μ0j(T)、μti和μtj、σ2ti和對(duì)于同一幅圖像，μti和μtj、σ2ti和σ2tj是固定的。對(duì)于每一個(gè)閾值T，如果每次計(jì)算Φ(T)都重新從i=0，j=0 開始累加計(jì)算ω0(T)、μ0i(T)、μ0j(T)，勢(shì)必造成大量的重復(fù)計(jì)算，而且計(jì)算復(fù)雜性都為o(L2)，而共有L-1 個(gè)閾值T，從而使總的計(jì)算復(fù)雜性達(dá)到o(L3).

0＜T≤L/2 -1 時(shí)，遞推公式推導(dǎo)如下:

同理可以得到L/2≤T≤L-1 時(shí)的遞推公式。

根據(jù)上述遞推公式，每計(jì)算一次Φ(T)都勿需重新計(jì)算ω0(2T)、μ0i(2T)、μ0j(2T)，只要分別利用前面得到的ω0(2T -1)、μ0i(2T -1)、μ0j(2T -1)，再加上直線段g=-f +2T 上各點(diǎn)相應(yīng)的值即可。這樣就只要分別在T =0，1，…，L -1 范圍內(nèi)搜索。計(jì)算μ0i、μ0j需要次乘法，而對(duì)于每一個(gè)T，計(jì)算準(zhǔn)則函數(shù)需要8 次乘法，所以總的計(jì)算復(fù)雜性為2L2+16L～o(L2).而發(fā)現(xiàn)對(duì)于ω0(2T)、μ0i(2T)、μ0j(2T)及ω0(2T-1)、μ0i(2T-1)、μ0j(2T -1)可以只用3 個(gè)存儲(chǔ)單元來(lái)存儲(chǔ)，而不用把對(duì)應(yīng)每個(gè)T 的值都存起來(lái)，只要在累加時(shí)往上加即可，大大減少了存儲(chǔ)空間。

上述算法流程圖如圖3所示。

圖3 算法流程圖Fig.3 Flowchart of the algorithm

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和分析

3.1 基于一維直方圖、二維直方圖區(qū)域直分以及斜分的本文方法比較

本文進(jìn)行了大量實(shí)驗(yàn)，現(xiàn)舉一例說(shuō)明。圖4分別給出了基于一維直方圖、二維直方圖區(qū)域直分以及斜分的本文方法對(duì)同一幅艦船圖像進(jìn)行閾值分割的結(jié)果。其中圖4(a)為原始艦船圖像，大小為155 像素×154 像素，圖4(b)為基于一維直方圖的分割結(jié)果，圖4(c)為基于二維直方圖區(qū)域直分的分割結(jié)果，圖4(d)為基于二維直方圖區(qū)域斜分的分割結(jié)果。可以看出，本文方法不僅能夠準(zhǔn)確地提取目標(biāo)，而且二維方法的抗噪性較好，特別是基于二維直方圖斜分方法的抗噪性更為穩(wěn)健。

圖4 本文方法的分割結(jié)果Fig.4 Segmentation results of different methods

表1 4 種方法的分割結(jié)果Tab.1 Segmentation results of four methods

3.2 與其它方法的比較

針對(duì)200 多幅各類較小目標(biāo)圖像進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)?，F(xiàn)選取其中5 幅圖像加以說(shuō)明。其中目標(biāo)都是飛行器，但其與紅外成像平面的遠(yuǎn)近距離不同。下面分別給出本文方法與基于二維直方圖區(qū)域斜分的Otsu法、最大熵方法、Fisher 準(zhǔn)則法的分割結(jié)果。如表1所示，從上到下分別為圖像1～圖像5，每一行從左到右依次為原始圖像、一維直方圖及Otsu 方法、最大熵方法、Fisher 方法、本文方法的分割結(jié)果。圖像1的大小為322 像素×221 像素，目標(biāo)與背景大小比例為6.8%，雖然4 種方法都能將目標(biāo)分割出來(lái)，但本文方法去噪性更好;圖像2、圖像3 的大小分別為323 像素×217 像素和256 像素×256 像素，目標(biāo)與背景大小比例分別為4.2% 和3.9%，Otsu 法和Fisher 方法此時(shí)已不能有效分割，最大熵方法雖然能分割出來(lái)，但仍存在噪聲;圖像4 的大小為104 像素×90 像素，目標(biāo)與背景大小比例為0.43%，此時(shí)Otsu 法和Fisher 方法已基本失效，最大熵方法分割結(jié)果的噪聲變大，失去準(zhǔn)確性，而唯有本文方法能較準(zhǔn)確地將小目標(biāo)分割出來(lái)，相對(duì)其它分割方法，其噪聲已達(dá)最小，且分割結(jié)果滿足要求; 圖像5 的大小為106 像素×94 像素，目標(biāo)與背景大小比例為0.18%，分割效果與圖像4 類似，進(jìn)一步體現(xiàn)了本文方法分割小目標(biāo)圖像的優(yōu)越性。

實(shí)驗(yàn)是在Intel Pentium 4 CPU 2.80 GHz/512 MB 內(nèi)存/Matlab 7.1 的計(jì)算機(jī)環(huán)境中進(jìn)行的。表1中4 種方法的分割閾值及運(yùn)行時(shí)間如表2所示，表2中的百分比表示目標(biāo)與背景大小比例。

表2 4 種方法的閾值及運(yùn)行時(shí)間Tab.2 Threshold and running time of four methods

從表2中可以看出，對(duì)于每幅圖像，Otsu 方法的運(yùn)行時(shí)間最短，但其在小目標(biāo)圖像分割中，效果最差;最大熵方法分割效果優(yōu)于Otsu 方法，但因涉及對(duì)數(shù)運(yùn)算其運(yùn)行時(shí)間最長(zhǎng); Fisher 方法分割效果略好于Otsu 方法，但仍然較差，而且運(yùn)行時(shí)間也比Otsu方法長(zhǎng);本文方法分割效果最佳，能準(zhǔn)確地分割出小目標(biāo)，運(yùn)行時(shí)間僅比Otsu 方法稍長(zhǎng)，少于Fisher方法和最大熵方法。

4 結(jié)論

本文提出的基于背景與目標(biāo)面積差和類內(nèi)方差的圖像分割閾值選取方法，可有效地分割目標(biāo)與背景大小之比很小的小目標(biāo)圖像。大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:該方法能使分割后圖像中的目標(biāo)和背景區(qū)域內(nèi)部均勻，邊界形狀準(zhǔn)確;基于二維斜分方法的抗噪性優(yōu)于一維和二維直分方法; 所用的二維直方圖區(qū)域斜分快速遞推算法，降低了二維空間搜索的代價(jià)，大大提高了運(yùn)行速度; 與目前性能較優(yōu)越的基于二維斜分的Otsu、最大熵及Fisher 準(zhǔn)則圖像分割閾值選取快速方法相比，本文方法在小目標(biāo)圖像分割效果上具有極為明顯的優(yōu)勢(shì)。

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