王佳穎， 竇霽虹， 童姍姍

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)系， 陜西 西安 710127)

0 引 言

隨著社會(huì)的進(jìn)步，病毒、傳染病等字眼成為人們?cè)絹?lái)越關(guān)注的話題.所以，研究傳染病模型、討論感染是否消失以及病毒和免疫是否繼續(xù)在當(dāng)今社會(huì)中顯得尤為重要.1997年Bonhoeffer等[1]以及2000年Nowak和May[2]建立并研究了基本的病毒動(dòng)力學(xué)模型：

(1)

(2)

(3)

1 平衡點(diǎn)的分析

它表示有病毒的存在但是無(wú)免疫.

表示病毒和免疫共存.

2 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

沿系統(tǒng)(3)對(duì)F1(x,y,v,z)關(guān)于t求全導(dǎo)數(shù)可得：

(4)

定理2如果R0>1且R1≤1時(shí)，則無(wú)免疫平衡點(diǎn)E1是全局漸近穩(wěn)定的.

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

沿系統(tǒng)(3)，對(duì)F2(x,y,v,z)關(guān)于t求全導(dǎo)數(shù)，得：

由于

且當(dāng)R1≤1時(shí)有

定理3如果R0>1且R1>1，正平衡點(diǎn)E2存在且是全局漸近穩(wěn)定的.

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

沿系統(tǒng)(3)，對(duì)F3(x,y,v,z)關(guān)于t求全導(dǎo)數(shù)，得：

(6)

由于

3 結(jié)束語(yǔ)

當(dāng)R≤1時(shí)，即一個(gè)病人在平均染病期內(nèi)能傳染的最大人數(shù)不大于1時(shí)，模型僅存在無(wú)病平衡點(diǎn)，它是全局漸近穩(wěn)定的,這時(shí)疾病就會(huì)自然逐步消亡；當(dāng)R0>1且R1≤1時(shí)，模型存在全局漸近穩(wěn)定的無(wú)免疫平衡點(diǎn)，所以此時(shí)機(jī)體已感染病毒但還未建立機(jī)體免疫反應(yīng).此時(shí)如果不采取任何措施，染病者將逐步趨于死亡；當(dāng)R0>1且R1>1，宿主體內(nèi)病毒和抗體共存，此時(shí)正平衡點(diǎn)存在且全局漸近穩(wěn)定即疾病將始終存在，并進(jìn)而形成地方病.

參考文獻(xiàn)

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