李 蔚, 王林艷

(西安工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院， 陜西 西安 710032)

0 前 言

線輪廓度是對(duì)曲線形狀的要求，是限制實(shí)際曲線對(duì)理想曲線變動(dòng)量的一項(xiàng)指標(biāo)，是零件形位公差國家標(biāo)準(zhǔn)和國際標(biāo)準(zhǔn)中應(yīng)用廣泛而又難以測(cè)量和評(píng)定的項(xiàng)目[1,2].線輪廓度誤差指實(shí)際輪廓線偏離理想輪廓線的程度,用距離最小的兩條與理論輪廓線處處等距的曲線包容實(shí)際輪廓線，兩條等距曲線的距離即是該輪廓線的輪廓度誤差.在工程領(lǐng)域中，對(duì)于精密傳動(dòng)零件的復(fù)雜曲面可以通過控制其一系列截面形狀即用一系列平面曲線來表征，因而線輪廓度的評(píng)定有重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值.由于在進(jìn)行線輪廓度的精密測(cè)量時(shí)必然存在一定的安裝誤差，即被測(cè)輪廓的測(cè)量基準(zhǔn)與設(shè)計(jì)基準(zhǔn)之間存在位姿誤差，會(huì)對(duì)評(píng)定結(jié)果產(chǎn)生影響，從而降低評(píng)定精度，因而在進(jìn)行精密測(cè)量時(shí)必須進(jìn)行誤差分離，分離出位姿誤差和輪廓度誤差.線輪廓度的評(píng)定方法主要有最小二乘法、最小區(qū)域法.最小區(qū)域法建立評(píng)定的數(shù)學(xué)模型比較困難,當(dāng)測(cè)量點(diǎn)密集時(shí)，利用最小二乘法所求解的誤差曲線與實(shí)際的誤差曲線非常接近，因而是最小區(qū)域法的最佳逼近，為此工程上通常采用最小二乘法進(jìn)行線輪廓度誤差評(píng)定.本文利用高斯-牛頓法進(jìn)行了線輪廓度的誤差分離，從而實(shí)現(xiàn)了位姿誤差和線輪廓度誤差的最小二乘法求解.

圖1 測(cè)頭半徑補(bǔ)償

1 測(cè)量數(shù)據(jù)的預(yù)處理

如圖1所示，在用坐標(biāo)法進(jìn)行輪廓度測(cè)量中常采用球形測(cè)頭,因此測(cè)量數(shù)據(jù)反映的是測(cè)頭球心軌跡的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值，而不是被測(cè)輪廓節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值.圖1中,τ和n為點(diǎn)Pi處的切矢與法矢.在進(jìn)行精密測(cè)量時(shí)，即使測(cè)頭半徑很小，其對(duì)評(píng)定的影響也不能忽略，因此在進(jìn)行輪廓度誤差評(píng)定以前需對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，即需要通過測(cè)頭半徑補(bǔ)償將輪廓度的測(cè)量數(shù)據(jù)變換為評(píng)定數(shù)據(jù)，進(jìn)行各觸點(diǎn)法線方向的測(cè)頭半徑補(bǔ)償[3-5].測(cè)頭中心軌跡與被測(cè)輪廓互為等距曲線,將此曲線沿各測(cè)頭中心點(diǎn)法向向輪廓表面等距平移測(cè)頭半徑值,實(shí)現(xiàn)法線方向的測(cè)頭半徑精確補(bǔ)償.假設(shè)輪廓曲線方程為f(x,y)=0，則測(cè)頭半徑的補(bǔ)償公式如下：

(1)

2 平面曲線輪廓度誤差的評(píng)定

2.1 誤差分離數(shù)學(xué)模型的建立

由于線輪廓度誤差符合“小誤差假設(shè)”，即被測(cè)線輪廓度誤差與相應(yīng)的被測(cè)曲線名義尺寸相比是微量，故可以推導(dǎo)出評(píng)定點(diǎn)Pi(xi,yi)至理論曲線的距離為di：

(2)

式中，fix和fiy分別是f(x,y)在實(shí)測(cè)點(diǎn)Pi(xi,yi)處對(duì)x和y的一階偏導(dǎo).

建立曲線輪廓度誤差最小二乘法評(píng)定模型：

(3)

式中，n為實(shí)測(cè)曲線上的測(cè)點(diǎn)數(shù)目.

由于實(shí)測(cè)曲線與理論曲線之間存在著位姿誤差u=[dx,dy,θ]T，因此要進(jìn)行坐標(biāo)變換.線輪廓度誤差測(cè)量符合“小偏差假設(shè)”[6,7]，即正確建立工件坐標(biāo)系和進(jìn)行裝夾定位后，測(cè)量基準(zhǔn)與理想基準(zhǔn)之間的偏差和相應(yīng)的曲線名義尺寸相比是微量，因而推導(dǎo)出坐標(biāo)變換公式為：

(4)

則曲線輪廓度誤差評(píng)定模型優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為：

(5)

優(yōu)化問題即求向量u=[dx,dy,θ]T，使F′為最小.

2.2 位姿誤差的求解

優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)f(x)為若干非線性函數(shù)平方和的形式，即非線性最小二乘問題，其形式可表示為

(6)

其中r(x)=(r1(x),…,rm(x))T稱為在點(diǎn)x處的殘向量[8].

結(jié)合小誤差和小偏差兩點(diǎn)假設(shè)及線輪廓度誤差的定義,可以得出ri(x),i=1,2,…,m,在最優(yōu)解u*處值為零或取較小值，屬零殘量或小殘量問題，故該優(yōu)化問題的求解可采用高斯-牛頓法.

函數(shù)ri(x),i=1,2,…,m,二次連續(xù)可微，則高斯-牛頓法的一階與二階導(dǎo)數(shù)分別為

g(x)=f(x)=A(x)r(x)

(7)

(8)

其中A(x)=[ri(x),…,rm(x)].

對(duì)一般無約束優(yōu)化問題的牛頓類算法，在迭代點(diǎn)x(k)取目標(biāo)函數(shù)f(x)的下列形式的二次近似:

(9)

此方程的最優(yōu)解作為搜索方向或修正向量.由于ri(x),i=1,2,…,m,在最優(yōu)解u*處屬零殘量或小殘量問題，G(x)中的非線性項(xiàng)S(x)或?yàn)?，或同M(x)相比相對(duì)較小，故二次模型 (9) 中的矩陣Bk為f(x)在點(diǎn)x(k)處海森矩陣的一個(gè)近似，可取為Mk=M(x(k))，而最優(yōu)解δ(k)可由方程組

(10)

確定.δ(k)為f(x)在點(diǎn)x(k)處的一個(gè)下降方向，在該搜索方向進(jìn)行線性搜索，取

x(k+1)=x(k)+αkδ(k)

(11)

其中αk為線性搜索步長(zhǎng).

只進(jìn)行一次優(yōu)化計(jì)算，一般無法取得最優(yōu)解,應(yīng)采用循環(huán)迭代的方法多次進(jìn)行坐標(biāo)平移及轉(zhuǎn)換，調(diào)整測(cè)量基準(zhǔn)逐步逼近設(shè)計(jì)基準(zhǔn)，直至找到最優(yōu)解.

2.3 線輪廓度誤差的評(píng)定

線輪廓度誤差評(píng)定的求解過程如下：

(1)將實(shí)測(cè)點(diǎn)集根據(jù)公式(1)進(jìn)行測(cè)頭半徑補(bǔ)償，做等距曲線平移，求得評(píng)定點(diǎn)集.

(2)由公式(2)求解評(píng)定點(diǎn)集至理論輪廓曲線的距離，建立曲線輪廓度誤差最小二乘法評(píng)定模型.

(3)由公式(4)建立誤差優(yōu)化模型.

(4)初始化，置初值向量u(0)、α(0)、允許誤差e.

(5)計(jì)算f(u(k)).

(6)計(jì)算線性搜索向量δ(k).

(7)計(jì)算u(k+1)，u(k+1)=u(k)+αkδ(k).

(8)計(jì)算f(u(k+1)).

(9)比較f(u(k+1))與f(u(k))，當(dāng)|f(u(k+1))-f(u(k))|>e，轉(zhuǎn)步(6)，進(jìn)入循環(huán).|f(u(k+1))-f(u(k))|

(10)將評(píng)定點(diǎn)集利用坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)換為理想計(jì)算點(diǎn)集，此時(shí)所變換的點(diǎn)集即為消除位姿誤差后與理論曲線最為匹配的點(diǎn)集.

(11)計(jì)算點(diǎn)集中每一點(diǎn)至理想曲線的距離，正負(fù)向距離的絕對(duì)值之和最大值即為線輪廓度誤差.

3 實(shí)驗(yàn)仿真

3.1 仿真數(shù)據(jù)

以測(cè)量理論曲線八分之三圓弧為例進(jìn)行驗(yàn)證.圓弧的理論曲線方程為:x2+y2-302=0.首先從該圓上等角度每隔一度采一個(gè)點(diǎn)共采135個(gè)點(diǎn)；其次在135個(gè)點(diǎn)的法向上利用隨機(jī)函數(shù)加上介于-10至+10 μm之間的隨機(jī)誤差，隨機(jī)函數(shù)值的大小仿真實(shí)際曲線與理論曲線的小誤差；在此基礎(chǔ)上預(yù)加位姿誤差[1,1,3]T，該向量仿真設(shè)計(jì)基準(zhǔn)與測(cè)量基準(zhǔn)之間的小偏差為dx、dy和θ；最后在曲線法向上等距外移0.5 mm，仿真用直徑為1 mm的測(cè)頭測(cè)量.

3.2 仿真過程

(1)采用公式(1)實(shí)現(xiàn)曲線的等距內(nèi)移，消除測(cè)頭半徑對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，結(jié)果如圖2所示.

(2)建立誤差分離數(shù)學(xué)模型：

r為圓弧半徑30，n為測(cè)量點(diǎn)數(shù)135.

(3)位姿誤差求解. 根據(jù)高斯-牛頓法推導(dǎo)出誤差分離數(shù)學(xué)模型的線性搜索方向：

令:s1=-xisinθ-yicosθ,s2=xicosθ-yisinθ,s3=xicosθ-yisinθ+dx,s4=xisinθ+yicosθ+dy.

沿下降搜索方向經(jīng)多次迭代可求出最佳調(diào)整位置向量u*=[dx,dy,θ]T，即位姿誤差，使得測(cè)量基準(zhǔn)與設(shè)計(jì)基準(zhǔn)趨于一致.

圖2 測(cè)頭半徑補(bǔ)償實(shí)例 圖3 誤差曲線圖

3.3 仿真結(jié)果

實(shí)例仿真在VC++ 6.0平臺(tái)上運(yùn)行.第一次計(jì)算時(shí)不考慮安裝誤差，直接計(jì)算測(cè)量點(diǎn)到理論曲線的距離, 正負(fù)向距離絕對(duì)值之和的最大值為1 897 μm.第二次計(jì)算采用高斯-牛頓法進(jìn)行誤差分離，求得位姿誤差u*=[dx,dy,θ]T=[0.995 68,1.003 45,2.998 76]T，將測(cè)量誤差曲線進(jìn)行坐標(biāo)變換消除位姿誤差對(duì)其的影響，從而計(jì)算得到正負(fù)向距離絕對(duì)值之和的最大值為20.14 μm.通過兩次計(jì)算對(duì)比可以看出，第一種方法由于未考慮測(cè)量基準(zhǔn)與設(shè)計(jì)基準(zhǔn)不一致，測(cè)量結(jié)果偏離設(shè)定值很大，第二種方法進(jìn)行了誤差分離，計(jì)算結(jié)果非常逼近預(yù)先設(shè)置值(f=20 μm，u*=[1,1,3]T)，是一種評(píng)定線輪廓度誤差的可行方法.

仿真程序還繪制出幾種誤差曲線綜合比較圖如圖3所示，圖中外側(cè)較深的細(xì)實(shí)線為測(cè)量誤差曲線，內(nèi)側(cè)兩條曲線中深顏色較粗的實(shí)線為消除位姿誤差后的誤差曲線，淺色較細(xì)的實(shí)線為被測(cè)實(shí)際誤差曲線.為清楚觀察誤差大小，圖中誤差單獨(dú)放大200倍.測(cè)量誤差曲線包含有位姿誤差，明顯偏離被測(cè)實(shí)際誤差曲線.消除位姿誤差后的誤差曲線是將測(cè)量誤差曲線按計(jì)算得出的位姿誤差經(jīng)過坐標(biāo)平移和旋轉(zhuǎn)得到，與被測(cè)實(shí)際曲線趨于一致，在此情況下再進(jìn)行誤差評(píng)定其結(jié)果必然會(huì)趨近真實(shí)值.

4 結(jié)束語

本文在線輪廓度誤差評(píng)定中通過測(cè)頭半徑補(bǔ)償消除測(cè)頭對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，建立了誤差分離數(shù)學(xué)模型，根據(jù)模型特點(diǎn)采用高斯-牛頓法求解出位姿誤差和線輪廓度誤差，通過計(jì)算機(jī)仿真中誤差曲線圖和計(jì)算結(jié)果的雙重對(duì)比得出在小誤差和小偏差假設(shè)前提下，采用高斯-牛頓法進(jìn)行線輪廓度誤差分離簡(jiǎn)單可行.但對(duì)于采用較低精度設(shè)備所得的測(cè)量結(jié)果，不滿足小誤差和小偏差條件，采用何種方法進(jìn)行誤差分離需進(jìn)一步探討.

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