王宏強(qiáng)， 尚春陽(yáng)， 高瑞鵬， 李子楠

（西安交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，西安 710049）

信號(hào)的去噪一直是信號(hào)處理中備受關(guān)注的一個(gè)問(wèn)題，而小波去噪是近年來(lái)興起的極為有效的去噪方法之一［1］。其中小波閾值去噪由Donoho和Johnstone提出［2－5］并證明其逼近原信號(hào)的最優(yōu)估計(jì)［1］，且在 Besov空間中，小波閾值去噪與線性去噪方法相比，收斂速度更快［1－3］。

近年來(lái)對(duì)于小波閾值去噪，學(xué)者們主要關(guān)注三個(gè)方面：閾值去噪函數(shù)的建立、閾值的確定及小波基的選擇。在閾值去噪函數(shù)的建立方面，Donoho和Johnstone等人［6，7］于1995年提出了硬閾值方法和軟閾值方法，之后有Garrote閾值函數(shù)及Gao和Bruce提出的半軟閾值方法以對(duì)上述硬閾值和軟閾值兩種去噪方法進(jìn)行了改進(jìn)。在選取最優(yōu)的去噪閾值方面，學(xué)者們提出了許多選取方法，如固定閾值（sqtwolog）、最小極大方差閾值（minimaxi）、基于Stein無(wú)偏似然估計(jì)閾值（rigrsure）及選擇啟發(fā)式閾值（heursure）等［8－10］。

小波閾值去噪基本原理是：正交小波變換具有很強(qiáng)的去數(shù)據(jù)相關(guān)性，它能夠使信號(hào)的能量在小波域集中在一些大的有限的信號(hào)的小波變換系數(shù)要大于噪聲的小波變換系數(shù)，也即可以認(rèn)為幅值比較大的小波系數(shù)一般以信號(hào)為主，而幅值較小的系數(shù)在很大概率上是噪聲。于是可以找到一個(gè)合適的閾值，小波系數(shù)大于閾值的認(rèn)為其是由信號(hào)引起的，而小于閾值的小波系數(shù)則由噪聲引起的，從而可以對(duì)由噪聲引起的小波系數(shù)進(jìn)行萎縮來(lái)去除噪聲［8］。因此小波閾值去噪的一個(gè)難點(diǎn)在于區(qū)分噪聲和信號(hào)。小波系數(shù)中原信號(hào)的一些細(xì)節(jié)與噪聲較多的區(qū)域比較接近，容易被當(dāng)作噪聲信號(hào)濾掉。

本文對(duì)傳統(tǒng)的小波閾值去噪方法進(jìn)行了較為深入的研究并予以了改進(jìn)，在小波閾值去噪的方法中加入了兩個(gè)步驟：

（1）對(duì)信號(hào)小波分解后的各層小波系數(shù)進(jìn)行變形，將中間易混淆區(qū)域的差別放大，兩端不易混淆的值域縮小，以利于去噪時(shí)對(duì)噪聲的識(shí)別；

（2）閾值去噪后，對(duì)去噪后的小波系數(shù)進(jìn)行恢復(fù)處理，將前面變形后的小波系數(shù)予以恢復(fù)。

結(jié)果表明利用本文的方法可以將細(xì)節(jié)信號(hào)與噪聲之間的差別加大，從而更好的復(fù)現(xiàn)原信號(hào)。

1 小波系數(shù)的變換

假定觀測(cè)信號(hào)向量為y=［y0，y1，y2，…，yN－1］T，有如下式子：

其中fi為函數(shù)f的抽樣，nj是分布為N（0，σ）的高斯白噪聲。去噪的目標(biāo)是使所得的估計(jì)函數(shù)的平均方差MSE 最小，MSE 可由下式求得［11］：

傳統(tǒng)的閾值去噪方法采用以下三步［12］：

（1）對(duì)向量y進(jìn)行離散小波分解［13］，得到第j層小波系數(shù)為uj，k，其中j=1，…，J；

（3）對(duì)上一步所得的小波閾值去噪后的小波系數(shù)進(jìn)行離散小波重構(gòu)，得原信號(hào)的估計(jì)函數(shù)。

在閾值去噪過(guò)程中，對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波分解后所得的小波系數(shù)中，太高的系數(shù)是原信號(hào)的細(xì)節(jié)，太低的系數(shù)一般來(lái)說(shuō)都是噪聲［8］，太高和太低的系數(shù)都不會(huì)產(chǎn)生誤判斷，而中間值域的細(xì)節(jié)可能和噪聲差別不大，甚至湮沒(méi)在噪聲信號(hào)中，最容易被當(dāng)作噪聲誤濾除掉。為減少原信號(hào)細(xì)節(jié)在去噪過(guò)程中的誤判，在小波分解后，本文通過(guò)函數(shù)變換使易混淆值域的小波系數(shù)的差別放大，在閾值判定中的權(quán)重增大，然后選取閾值進(jìn)行去噪，再通過(guò)變換函數(shù)的逆函數(shù)將小波系數(shù)恢復(fù)，最后小波重構(gòu)獲得去噪結(jié)果。

符合閾值去噪改進(jìn)方法要求的變換函數(shù)應(yīng)具有以下條件：

（1）在某一定義域［cmin，cmax］（cmin、cmax分別為小波系數(shù)中最小和最大的系數(shù)）中單調(diào)且連續(xù)，以對(duì)變換后的系數(shù)再進(jìn)行反變換，恢復(fù)原信號(hào)。

（2）在定義域［cmin，cmax］中可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)從較小逐漸增大，或者導(dǎo)數(shù)先增大再減小，這樣才能使小波系數(shù)中間區(qū)域的系數(shù)差異增大，便于識(shí)別。

（3）導(dǎo)數(shù)（尤其是中間部分的導(dǎo)數(shù)）應(yīng)大于1。

滿足以上條件的函數(shù)較為典型的有以下兩個(gè)函數(shù)

和：

其中d=cmax－cmin，α為常數(shù)且α∈［0.6，1］，本文中取α=1。

g1（x），g2（x）在定義域中單調(diào)且連續(xù)，且中間部分導(dǎo)數(shù)較大，可以使得被變換的小波系數(shù)中間部分的差別被放大，從而在隨后進(jìn)行的閾值去噪可以將原信號(hào)的細(xì)節(jié)和噪聲能夠更好的區(qū)分開(kāi)來(lái)，不至于將細(xì)節(jié)誤濾掉。

小波系數(shù)閾值去噪之后，需要對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行后變換，即將小波系數(shù)代入變換函數(shù)的反函數(shù)中。對(duì)應(yīng)于上面提到的g1（x），g2（x），其反函數(shù)分別為：

較傳統(tǒng)閾值去噪方法，改進(jìn)去噪方法主要增加了對(duì)小波系數(shù)的變換，其去噪步驟如下：

（1）對(duì)向量y進(jìn)行離散小波分解得第j層小波系數(shù)uj，k，其中j=1，…J。

（2）將小波系數(shù)uj，k代入變換函數(shù)g（x）進(jìn)行變換，得第j層小波系數(shù)uj，k’，其中j=1，…，J。

圖1 改進(jìn)函數(shù)示意圖Fig.1 The improving function

（5）對(duì)進(jìn)行離散小波重構(gòu)得信號(hào)的估計(jì)。

其中第2步和第4步是本文對(duì)原閾值去噪算法改進(jìn)后新增加的步驟。

2 仿真實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證本文中所提出的方法，我們選取Donoho提出的函數(shù)HeaviSine進(jìn)行測(cè)驗(yàn)［3］。選取信號(hào)長(zhǎng)度均為1 024，信噪比SNR=10。采用的變換小波為Symlets6，分解層數(shù)J=5，變換函數(shù)采用式（4）中的g2（x）。

目前常用的閾值去噪方法：軟閾值去噪、硬閾值去噪、Garrote閾值去噪和Semisoft閾值去噪。其函數(shù)表達(dá)式分別為：

軟閾值去噪函數(shù)：

硬閾值去噪函數(shù)：

Garrote閾值去噪函數(shù)：

Semisoft閾值去噪函數(shù)：

其中λ，λ1和λ2均為去噪閾值。

本文中閾值λ采用固定閾值（sqtwolog）的形式，方差由文獻(xiàn)［14］中所述的改進(jìn)的方差估計(jì)算法獲得，此改進(jìn)方法可以提高信噪比，同時(shí)減少運(yùn)算時(shí)間。計(jì)算公式如下：

第j層小波系數(shù)閾值去噪采用的閾值為：

表1 仿真去噪后所得結(jié)果的SNR和MSE值Tab.1 SNR and MSE of the de-noised signal in simulation

圖2 原信號(hào)HeaviSine及其加噪信號(hào)（SNR=10）Fig.2 The original signal of Heavi Sine and its noisy signal

圖3 軟閾值去噪及其改進(jìn)方法去噪效果對(duì)比圖和局部放大圖（…軟閾值方法去噪；——改進(jìn)軟閾值法去噪；－·－原信號(hào)）Fig.3 The results of de-noising by soft threshold and its improved method and their partial enlarged view（…h(huán)ard threshold；—— improved hard threshold；－·－the original signal）

圖4 硬閾值方法及其改進(jìn)方法去噪效果對(duì)比圖和局部放大圖（…硬閾值方法去噪；——改進(jìn)硬閾值法去噪；－·－原信號(hào)）Fig.4 The results of de-noising by hard threshold and its improved method and their partial enlarged view（…soft threshold；—— improved soft threshold；－·－the original signal）

其中，uj，k是第j層小波系數(shù)值，median（*）表示計(jì)算中值，C為常數(shù)，一般取 0.674 5。

Semisoft方法需要兩個(gè)閾值，本文中采用固定閾值（sqtwolog）和基于 Stein的無(wú)偏似然估計(jì)閾值（rigrsure）。

本文對(duì)同一仿真含噪信號(hào)分別使用上述四種去噪方法及相應(yīng)的改進(jìn)后的算法予以去噪，去噪結(jié)果如表1，其中SNR為信噪比，MSE為由公式（2）計(jì)算所得的平均方差。由表可見(jiàn)，從SNR，MSE兩項(xiàng)去噪指標(biāo)上來(lái)講，改進(jìn)方法對(duì)傳統(tǒng)的去噪方法都有所改進(jìn)，但對(duì)硬閾值去噪方法改進(jìn)最為明顯。另外，通過(guò)橫向比較可見(jiàn)，前三種閾值去噪方法（軟閾值方法，硬閾值方法，Garrote方法）改進(jìn)后去噪效果基本一致，只有Semisoft去噪方法改進(jìn)后與其他改進(jìn)方法結(jié)果稍有偏差（這是因?yàn)镾emisoft使用兩個(gè)去噪閾值，這一點(diǎn)與其他三種方法不同）。結(jié)果表明，前三種去噪方法，使用本文所述方法改進(jìn)后都可以改善SNR，MSE兩項(xiàng)去噪指標(biāo)。

對(duì)仿真含噪信號(hào)進(jìn)行去噪后的結(jié)果表明閾值去噪改進(jìn)方法對(duì)去噪結(jié)果均有較優(yōu)改善：

（1）軟閾值方法改進(jìn)后（如圖3），原信號(hào)中第737點(diǎn)處的突起更為明顯，更能顯示出信號(hào)的突變。

（2）硬閾值方法（如圖4）和Semisoft閾值方法改進(jìn)后，減少了原方法去噪后的Gibbs振蕩。

（3）Garrote方法改進(jìn)后去噪效果有一定的改善，但不太明顯。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證改進(jìn)去噪算法，本文對(duì)噪聲環(huán)境下伴有沖擊的旋轉(zhuǎn)電機(jī)的音頻信號(hào)進(jìn)行了采集，使用傳統(tǒng)閾值去噪方法和改進(jìn)算法對(duì)采集數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪，并比較去噪結(jié)果。選取微型電機(jī)FA130作為主要聲源，另以揚(yáng)聲器產(chǎn)生高斯噪聲，作為附加噪聲源。電機(jī)額定轉(zhuǎn)速19 400 r/min，實(shí)驗(yàn)時(shí)帶負(fù)載，實(shí)際轉(zhuǎn)速約為12 000 r/min。聲音信號(hào)采集使用電容式麥克風(fēng)isk800，AD轉(zhuǎn)換使用數(shù)據(jù)采集卡NI USB－6251。利用Labview軟件編程，控制采集過(guò)程，獲得采樣數(shù)據(jù)，然后使用基于本文所述的改進(jìn)去噪方法的matlab程序進(jìn)行分析。由于電機(jī)的工作頻率（約200 Hz）以及敲擊振動(dòng)頻率范圍較廣且大部分能量集中在低頻的特點(diǎn)［15］，根據(jù)采樣定理，實(shí)驗(yàn)中采樣率設(shè)為1 000 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為8192。音頻信號(hào)采樣過(guò)程中，在電機(jī)殼體上敲擊兩次（一強(qiáng)一弱）以得到?jīng)_擊噪聲，采集到的音頻信號(hào)數(shù)據(jù)如圖5。

分別使用傳統(tǒng)閾值去噪方法和改進(jìn)方法對(duì)音頻信號(hào)進(jìn)行去噪，結(jié)果顯示改進(jìn)去噪方法去噪效果更好。如圖6和圖7（在此以軟閾值去噪和改進(jìn)軟閾值去噪法得到的處理結(jié)果為例），較為明顯的是：兩種方法都可以顯示第一次沖擊（第1 400個(gè)點(diǎn)附近），但是傳統(tǒng)的軟閾值去噪將第二次輕微的敲擊信號(hào)誤判為噪聲予以了削弱，結(jié)果不能很好地顯示第二次沖擊（第6 000個(gè)點(diǎn)附近），而改進(jìn)后的軟閾值方法保留了沖擊信號(hào)，可以較為明顯的顯示出第二次的沖擊。對(duì)本實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分別用其他的傳統(tǒng)閾值去噪方法及改進(jìn)方法進(jìn)行去噪處理后，去噪結(jié)果均顯示改進(jìn)方法較優(yōu)。因此，本文提出的閾值去噪的改進(jìn)方法，可以增強(qiáng)對(duì)含噪信號(hào)中某些較為細(xì)微信號(hào)的識(shí)別性（如較小的突變信號(hào)），且不增加偽Gibbs振蕩。

圖5 電機(jī)音頻信號(hào)采樣結(jié)果Fig.5 The noise of the motor

圖6 音頻信號(hào)軟閾值去噪結(jié)果Fig.6 The results of de-noising by soft threshold

圖7 音頻信號(hào)軟閾值去噪改進(jìn)方法去噪結(jié)果Fig.7 The results of de-noising by the improved soft threshold

4 結(jié)論

閾值去噪改進(jìn)算法將與噪聲信號(hào)難以區(qū)分的值域中的小波系數(shù)差別放大、權(quán)重加大，以更好地確定小波去噪閾值，為解決小波閾值去噪過(guò)程中如何準(zhǔn)確估計(jì)出合適的閾值這一關(guān)鍵問(wèn)題提供了一條有效的途徑。

閾值去噪改進(jìn)方法經(jīng)仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，能夠比傳統(tǒng)閾值去噪方法更好的去除高斯白噪聲，保留原信號(hào)的細(xì)節(jié)特征，而且算法不太復(fù)雜，是比傳統(tǒng)閾值去噪方法更為優(yōu)越的去噪方法。

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