馮敬海， 劉 茹菲， 黃玉潔，2

（1.大連理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，遼寧大連 116024；2.鞍山師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，遼寧鞍山 114005）

0 引 言

廣義線性模型在形式上是常見的正態(tài)線性模型的直接推廣.它可適用于連續(xù)數(shù)據(jù)和離散數(shù)據(jù)，特別是后者，如屬性數(shù)據(jù)、計數(shù)數(shù)據(jù).這在實(shí)用上，尤其是生物、醫(yī)學(xué)和經(jīng)濟(jì)、社會數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析上，有重要的意義.廣義線性模型的個別特例起源很早.Fisher在1919年曾用過它.最重要的Logistic模型，在20世紀(jì)四五十年代Berkson、Dyke和Patterson等曾使用過.1972年Nelder等［1］引進(jìn)廣義線性模型一詞，此后研究工作逐漸增加.1982年McCullagh等［2］出版了系統(tǒng)論述此專題的專著并于1989年再版.關(guān)于廣義線性回歸似然或擬似然方程解的存在與唯一和解的大樣本性質(zhì)，在文獻(xiàn)［3～6］中已有很多討論.

在廣義線性模型問題的研究中參數(shù)估計一直是大家關(guān)注的焦點(diǎn)問題之一.文獻(xiàn)［7、8］用極大似然方法來估計廣義線性模型的參數(shù)，文獻(xiàn)［9］說明了用極大似然法估計未知參數(shù)時具有非穩(wěn)健性，擬似然法也是如此.在統(tǒng)計實(shí)際應(yīng)用中，估計的穩(wěn)健性又是必須要考慮的.由于M－估計有較好的穩(wěn)健性［10］，于是本文采用M－估計來估計所提出的廣義線性模型的參數(shù)，在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下，研究模型參數(shù)估計的強(qiáng)相合性與漸近正態(tài)特性.

1 概念及假設(shè)

考慮廣義線性模型（generalized linear model）

參數(shù)空間H是有界閉集，β0為取值于H上的p維未知參數(shù)真值，且β0為H的內(nèi)點(diǎn).｛X i，i∈N｝為平穩(wěn)遍歷序列［11］，εi為ε的樣本，｛εi｝是獨(dú)立同分布的誤差，且｛εi｝與｛Xs，s≤i｝獨(dú)立.F（·）為已知單調(diào)函數(shù)，F(xiàn)′（·）有界，v（·）為已知非負(fù)連續(xù)有界函數(shù)，并設(shè)上界為M0.

首先，給出如下假設(shè)：

（1）本文中所討論積分和極限均可換序；

（2）設(shè)ρ（u）為已知的對稱凸函數(shù)，ρ（0）＝0，ρ（u）在正半軸上單調(diào)遞增（可以增至＋∞），且ρ″（u）有界，設(shè)上界為C1，由ρ（u）為凸函數(shù)知0≤ρ″（u）≤C1.令Mb（a）＝E（ρ（a＋bε）），并設(shè)對于任意b＞0，Mb（a）在a＝0時達(dá)到最小.由假設(shè)（1）知

令L（b）＝E（（ρ′（bε））2），并設(shè)L（b）連續(xù)；

2 主要結(jié)論及證明

2.1 準(zhǔn)備知識及證明

在證明定理之前，先來證明下面的命題.

2.2 得到的定理及其證明

3 固定設(shè)計時的M－估計

在固定設(shè)計中，建立模型如下：

其中參數(shù)空間H、函數(shù)F（·）與v（·）的定義如前.此模型中，｛x ni，i＝1，2，…，n｝為固定的p維向量組，且一致有界，x ni代表第n批第i次試驗結(jié)果.｛εni，i＝1，2，…，n，n≥1｝為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量組.記

4 數(shù)值模擬

在模型中，設(shè)X服從二元泊松分布，參數(shù)真值為β0＝（β01β02）T，誤差變量ε服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.用蒙特卡羅方法產(chǎn)生n個服從二元泊松分布的X與一元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的ε，得到相應(yīng)響應(yīng)變量的值.再將該操作重復(fù)m次，算出平均誤差作為模型誤差.仿真結(jié)果見表1、2.

表1 仿真結(jié)果1（β0＝（0.8 1）T，樣本容量為100）

Tab.1 Simulation result 1（β0＝（0.8 1）T，sample size is 100）

mn β01 β02MSE1MSE2 10 20 0.847 1 1.083 9 0.044 4 0.102 4 30 50 0.873 2 1.070 1 0.043 3 0.067 1 50 50 0.876 8 1.075 6 0.038 7 0.080 6

表2 仿真結(jié)果2（β0＝（1 2）T，樣本容量為100）Tab.2 Simulation result 2（β0＝（1 2）T，sample size is 100）

由上表可以看出，模型的M－估計具有良好的性能，不失為一個好的估計方法.

5 結(jié) 語

本文針對廣義線性模型提出了對參數(shù)的M－估計方法，在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)條件下證明了這種估計的強(qiáng)相合性與漸近正態(tài)性.最后通過數(shù)值模擬結(jié)果可以看出這種估計的優(yōu)良性.本文提出的這一模型與估計方法在實(shí)用上，尤其是生物、醫(yī)學(xué)和經(jīng)濟(jì)、社會數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析上有重要的意義.

［1］NELDER J A，WDDERBURN R W M.Generalized linear models［J］.Journal of the Royal Statistical Society，1972，135（3）：370－384

［2］MCCULLAGH P，NELDER J A.Generalized Linear Models［M］.2nd ed.London：Chapman and Hill，1982

［3］HABERMAN S J.Maximum likelihood estimates in exponential response models［J］.Annals of Statistics，1977，5（5）：1148－1169

［4］高啟兵，吳耀華.廣義線性回歸擬似然估計的漸近正態(tài)性［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2005，25（6）：738－745

［5］尹長明，趙林城.廣義線性模型中極大擬似然估計的漸近正態(tài)性與強(qiáng)相合性［J］.中國科學(xué)A輯：數(shù)學(xué)，2005，35（11）：1236－1250

［6］FAHRMEIR F，KAUFMANN H.Consistency and asymptotic normality of the maximum likelihood estimator in generalized linear models［J］.Annals of Statistics，1985，13（1）：324－368

［7］岳 麗，陳希孺.廣義線性模型中擬極大似然估計的強(qiáng)相合性及收斂速度［J］.中國科學(xué)A輯：數(shù)學(xué)，2004，34（2）：203－214

［8］尹長明，趙林城.廣義線性模型極大似然估計的強(qiáng)相合性與漸近正態(tài)性［J］.應(yīng)用概率統(tǒng)計，2005，21（3）：249－260

［9］HUBER P J.Robust Statistical Procedures［M］.Philadelphia：Society for Industrial Mathematics，1989

［10］茆詩松，王靜龍，濮曉龍.高等數(shù)理統(tǒng)計［M］.北京：高等教育出版社，2006

［11］何書元.應(yīng)用時間序列分析［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2003：35－36

［12］POLLARD D.Convergence of Stochastic Process［M］.New York：Springer－Verlag，1984：170－171