尚振國(guó)， 王德倫

（大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧大連 116024）

0 引 言

隨著風(fēng)力發(fā)電增速器、船舶推進(jìn)器等大功率齒輪傳動(dòng)裝置向高速化、大型化、重載化和環(huán)?；较虬l(fā)展，齒輪傳動(dòng)裝置的振動(dòng)和噪聲問(wèn)題日益突出，齒輪修形技術(shù)成為解決齒輪傳動(dòng)裝置的振動(dòng)和噪聲的有效途徑.文獻(xiàn)［1］總結(jié)了直齒輪齒廓修形理論.Litvin等應(yīng)用輪齒接觸分析技術(shù)研究了齒廓和齒向采用二次曲線的雙鼓形修形斜齒輪的嚙合區(qū)域及傳動(dòng)誤差［2～4］.方宗德、常山等應(yīng)用柔度系數(shù)法，并以荷載均布和傳遞誤差最小為目標(biāo)函數(shù)，以數(shù)學(xué)規(guī)劃法確定齒輪修形參數(shù)［5～8］.Wagaj等采用有限元接觸分析技術(shù)，以修形量、修形長(zhǎng)度、齒向修鼓量等為參數(shù)，計(jì)算了不同參數(shù)下2D修形和3D修形齒輪彎曲應(yīng)力和接觸應(yīng)力的變化情況［9］.

本文在考慮制造、安裝誤差等實(shí)際嚙合條件下，分析一種保留部分漸開(kāi)線齒面的局部修形斜齒輪的嚙合軌跡及安裝誤差對(duì)嚙合軌跡的影響.

1 含誤差的齒面嚙合方程

1.1 坐標(biāo)系

圖1 實(shí)際齒面坐標(biāo)系Fig.1 Coordinate systems of real tooth surface

如圖1所示，用3個(gè)坐標(biāo)系表示被動(dòng)齒輪實(shí)際齒面.坐標(biāo)系S6（O6－x6y6z6）與理論齒面固連，坐標(biāo)系S4（O4－x4y4z4）與實(shí)際齒面固連，坐標(biāo)系S2（O2－x2y2z2）為隨被動(dòng)齒輪一起轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)坐標(biāo)系，引入固定坐標(biāo)系Sf（Of－xfyfzf）與機(jī)架固連.S6→S4的坐標(biāo)變換矩陣M46代表實(shí)際齒面與理論齒面之間的誤差，包括齒形誤差、受載變形及幾何修形，用沿接觸點(diǎn)公法線距離δ2表示，對(duì)應(yīng)的齒輪轉(zhuǎn)角誤差用Δψ2表示；S4→S2的坐標(biāo)變換矩陣M24代表實(shí)際齒輪軸線與理論齒輪軸線之間的平行度誤差及位置誤差（中心距誤差）；S2→Sf的坐標(biāo)變換矩陣Mf2代表在固定坐標(biāo)系Sf中的曲面族.

同樣引入坐標(biāo)系S1、S3、S5表示主動(dòng)齒輪實(shí)際齒面.

在初始位置，S1與Sf重合，x2與xf同向，y2與yf重合，z2與zf同向，坐標(biāo)原點(diǎn)O2、Of間的距離等于齒輪副中心距.

1.2 齒面嚙合方程

齒面Σ1和Σ2在固定坐標(biāo)系Sf中的曲面族方程為

同樣地，可以得到齒面Σ1的坐標(biāo)變換矩陣Mf1、M13、M35，這里不再贅述.

齒面Σ1和Σ2在固定坐標(biāo)系Sf中的單位法向量為

L為各坐標(biāo)系間的坐標(biāo)變換矩陣，由對(duì)應(yīng)M矩陣去掉最后1行和最后1列得到.

齒面Σ1和Σ2在固定坐標(biāo)系Sf中任意瞬時(shí)連續(xù)相切接觸的條件為

方程組（9）稱為含誤差的齒面嚙合方程［10］.

方程組（9）、（10）包括兩個(gè)矢量方程，共有6個(gè)未知數(shù)（θ1，φ1，ψ1，θ2，φ2，ψ2），但只能生成5個(gè)標(biāo)量方程，因?yàn)椤健?如果給定主動(dòng)齒輪轉(zhuǎn)角ψ1，就可以求出其他5個(gè)參數(shù)θ1（ψ1）、φ1（ψ1）、θ2（ψ1）、φ2（ψ1）、ψ2（ψ1）.

1.3 接觸跡線和傳遞誤差

接觸跡線：如圖2所示，主、被動(dòng)齒輪接觸點(diǎn)的軌跡，稱為接觸跡線（contact path），用符號(hào)Pc表示.

接觸跡線在齒面Σ1上表示如下：

傳遞誤差：如圖3所示，被動(dòng)齒輪實(shí)際嚙合位置與理論嚙合位置之差，稱為傳遞誤差（transmission error），用符號(hào)Et表示.

圖2 接觸跡線示意圖Fig.2 Schematic plan of contact path

圖3 傳遞誤差示意圖Fig.3 Schematic plan of transmission error

2 齒面方程

令直角坐標(biāo)系S1（O1－x1y1z1）的坐標(biāo)原點(diǎn)取在輪齒中間截面與齒輪軸線的交點(diǎn)上，y1軸通過(guò)節(jié)點(diǎn)p，z1軸沿齒輪軸線方向，如圖4所示.齒面Σ1的參數(shù)方程可以表示成

圖4 主動(dòng)齒輪坐標(biāo)系Fig.4 Coordinate system of driving gear

同樣地，在直角坐標(biāo)系S2（O2－x2y2z2）中齒面Σ2的參數(shù)方程可以表示成

其中S2（θ2，φ2）為齒面Σ2的修形曲線方程.

3 修形曲線方程

齒輪修形包括齒廓修形和齒向修形.齒廓修形是指沿齒高方向從齒面上去除一部分材料，從而改變齒廓形狀.齒廓修形的參數(shù)包括修形量、修形長(zhǎng)度和修形曲線.

修形量是指齒廓上任意位置沿法向去除材料的厚度.齒頂和齒根部位修形量最大，如圖5中et1、er1所示（下標(biāo)t表示齒頂，下標(biāo)r表示齒根，下同）.

修形曲線表示齒廓上任意位置與對(duì)應(yīng)修形量的關(guān)系，如圖5中γ1所示.

修形長(zhǎng)度是指修形曲線在齒廓上的起始點(diǎn)至齒頂或齒根終止點(diǎn)的距離，可以在齒輪副嚙合線上用起始點(diǎn)對(duì)應(yīng)的發(fā)生線滾動(dòng)角表示，如圖5中θt1、θr1所示.

齒向修形包括螺旋角修形和齒端修鼓兩種形式.齒向修形參數(shù)包括螺旋角修形量Δβ（在齒面方程中直接以螺旋角大小表示），齒向修形量h11、h12，齒向修形長(zhǎng)度b11、b12，齒向修形曲線ζ1，如圖5所示.

在這里，主動(dòng)齒輪的齒頂和齒根采用二次拋物線修形［12］，修形起始點(diǎn)取單雙齒嚙合轉(zhuǎn)換點(diǎn)θt1、θr1.齒的兩端也采用二次拋物線修形，修形長(zhǎng)度b11和b12用對(duì)應(yīng)的端面截形旋轉(zhuǎn)角φmin1、φ11、φ12、φmax1表示，如圖5所示.這樣，修形曲線方程可以表示成

圖5 主動(dòng)齒輪修形示意圖Fig.5 Schematic plan of driving gear modification

被動(dòng)齒輪齒廓采用直線修形，齒頂修形量et2等于零，齒根修形量er2最大.齒向采用拋物線修形，各參數(shù)在嚙合面上的表示如圖6所示.修形曲線方程可以表示成

圖6 被動(dòng)齒輪修形示意圖Fig.6 Schematic plan of driven gear modification

4 嚙合方程的求解方法

4.1 嚙合方程的等效解法

將方程組（9）、（10）的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為齒面Σ1和Σ2間距離最短及單位法向量偏差最小的優(yōu)化問(wèn)題，即

4.2 初值的確定

5 算例分析

根據(jù)前面的理論分析，計(jì)算了一對(duì)齒輪副（見(jiàn)表1）在5組修形參數(shù)組合方式下（見(jiàn)表2）的接觸跡線和傳遞誤差，如圖7和8所示，可見(jiàn)在第Ⅴ組修形參數(shù)情況下，接觸跡線較為理想.因此將修形參數(shù)固定為第Ⅴ組，在軸線偏斜Δγ（2）x、Δγ（2）y分別為3′情況下，考察了軸線平行度誤差對(duì)接觸跡線和傳遞誤差的影響，如圖9和10所示.

表1 齒輪副幾何參數(shù)Tab.1 Gear pair parameters

表2 修形參數(shù)Tab.2 Modification parameters 10－2 mm

圖7 接觸跡線Fig.7 Contact path

圖8 傳動(dòng)誤差Fig.8 Transmission error

圖9 有軸線偏差情況下的接觸跡線Fig.9 Contact path under axial error

圖10 有軸線偏差情況下的傳動(dòng)誤差Fig.10 Transmission error under axial error

6 結(jié)果討論

齒輪修形的主要目的是控制接觸軌跡、調(diào)整傳遞誤差和增強(qiáng)對(duì)制造安裝誤差的適應(yīng)性.如表2所示，修形參數(shù)組合Ⅰ表示被動(dòng)齒輪進(jìn)行螺旋角修形，而主動(dòng)齒輪不修形，在這種情況下，齒輪副沿輪齒邊緣接觸，傳遞誤差近似呈線性分布，見(jiàn)圖7、8曲線修形參數(shù)組合Ⅰ.

修形參數(shù)組合Ⅱ表示主動(dòng)齒輪進(jìn)行齒廓修形，被動(dòng)齒輪進(jìn)行螺旋角修形，在這種情況下，接觸跡線由齒頂向齒面中間轉(zhuǎn)移，可以消除齒頂邊緣接觸現(xiàn)象，但齒端仍存在邊緣接觸現(xiàn)象，見(jiàn)圖7曲線修形參數(shù)組合Ⅱ.

修形參數(shù)組合Ⅲ表示主動(dòng)齒輪進(jìn)行齒廓修形和齒向修形，被動(dòng)齒輪進(jìn)行螺旋角修形，在這種情況下，接觸跡線由齒廓方向轉(zhuǎn)向沿齒輪軸向方向，可以消除齒輪端面邊緣接觸現(xiàn)象，見(jiàn)圖7曲線修形參數(shù)組合Ⅲ.

修形參數(shù)組合Ⅳ表示在修形參數(shù)組合Ⅲ基礎(chǔ)上，被動(dòng)齒輪又進(jìn)行軸向修形，修形效果也與修形參數(shù)組合Ⅲ類似，見(jiàn)圖7曲線修形參數(shù)組合Ⅳ.

修形參數(shù)組合Ⅴ表示在修形參數(shù)組合Ⅳ基礎(chǔ)上，被動(dòng)齒輪又進(jìn)行齒廓修形，在這種情況下，接觸跡線進(jìn)一步向齒面中間轉(zhuǎn)移，接觸跡線較為理想，見(jiàn)圖7曲線修形參數(shù)組合Ⅴ.

由圖8可見(jiàn)，齒廓和（或）齒向修形以后，傳遞誤差曲線在嚙入側(cè)和嚙出側(cè)呈不對(duì)稱拋物線分布（嚙出側(cè)偏大），中間段近似呈線性分布.這樣，在受載情況下，有利于減少輪齒嚙入和嚙出幾何干涉，降低振動(dòng)和噪聲［12］.

由圖9可見(jiàn)，采用修形參數(shù)組合Ⅴ進(jìn)行齒輪修形以后，在存在軸線偏差的情況下，接觸跡線變化不大.

7 結(jié) 論

（1）主動(dòng)齒輪采用齒頂和齒根二次拋物線修形，被動(dòng)齒輪采用齒根二次拋物線修形和螺旋角修形，可以將接觸跡線調(diào)整至齒面中間區(qū)域，使傳遞誤差曲線呈拋物線分布，有利于改善輪齒嚙合狀態(tài).

（2）采用前述修形方式，可以降低輪齒嚙合對(duì)制造和安裝誤差的敏感性，提高嚙合穩(wěn)定性.

［1］HARIANTO J，HOUSER D R.A methodology for obtaining optimum gear tooth micro－topographies for noise and stress minimization over a broad operating torque range［J］.Gear Technology，2008（7）：42－55

［2］LITVIN F L，LU J，TOWNSEND D，etal.Computerized simulation of meshing of conventional helical involute gears and modification of geometry［J］.Mechanism and Machine Theory，1999，34（1）：123－147

［3］LITVIN F L，CHEN N X，LU J，etal.Computerized design and generation of low－noise helical gears with modified surface topology［J］.Journal of Mechanical Design，Transactions of the ASME，1995，117（2A）：254－261

［4］LITVIN F L，F(xiàn)ENG P H，LAGUTIN S A，etal. Helical and spur gear drive with double crowned pinion tooth surfaces and conjugated gear tooth surfaces：US，6205879［P／OL］.2001－03－27.http：／／www.freepatentsonline.com／6205879.html

［5］方宗德.斜齒輪齒面柔度矩陣與修形的有限元計(jì)算［J］.航空動(dòng)力學(xué)報(bào)，1994（9）：242－244

［6］方宗德.修形斜齒輪的承載接觸分析［J］.航空動(dòng)力學(xué)報(bào)，1997（12）：251－254

［7］常 山，徐振忠，霍肇波.斜齒圓柱齒輪瞬時(shí)嚙合剛度及齒廓修形的研究［J］.熱能動(dòng)力工程，1997（4）：270－274

［8］常 山，徐振忠，李 威，等.重載齒輪的最佳輪齒修形［J］.熱能動(dòng)力工程，1995（5）：330－333

［9］WAGAJ P，KAHRAMAN A.Influence of tooth profile modification on helical gear durability［J］.Journal of Mechanical Design，2002，124（3）：501－510

［10］王樹(shù)人.齒輪嚙合理論簡(jiǎn)明教程［M］.1版.天津：天津大學(xué)出版社，2005

［11］UMEYAMA M，KATO M，INOUE K.Effects of gear dimensions and tooth surface modifications on the loaded transmission error of a helical gear pair［J］.Journal of Mechanical Design，1998，120（1）：119－125

［12］LITVIN F L，F(xiàn)UENTES A，GONZALEZ－PEREZ I，etal.Modified involute helical gears：computerized design，simulation of meshing and stress analysis［J］.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2003，192（33－34）：3619－3655