鮑曉利， 李木國(guó)

（大連理工大學(xué)海岸和近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧大連 116024）

0 引 言

近年來(lái)，粒子圖像測(cè)速（particle image velocimetry，PIV）技術(shù)得到了極大的發(fā)展，已被廣泛應(yīng)用于多個(gè)科研和工業(yè)領(lǐng)域.在2D－PIV技術(shù)中，基于相關(guān)窗口的互相關(guān)算法已被普遍采用［1］.隨著對(duì)3D－PIV技術(shù)研究的不斷深入，基于相關(guān)窗口的互相關(guān)算法也被應(yīng)用其中［2、3］.在現(xiàn)有的實(shí)時(shí)PIV系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，也多采用基于相關(guān)窗口的互相關(guān)算法［4］.同時(shí)，基本相關(guān)窗口的互相關(guān)算法也被用于相關(guān)領(lǐng)域，如三維運(yùn)動(dòng)檢測(cè)［5］.當(dāng)前對(duì)互相關(guān)算法的研究主要集中在提高算法精度方面，在提高算法運(yùn)算效率方面的研究沒(méi)有得到足夠的重視，所以對(duì)互相關(guān)算法的運(yùn)算效率進(jìn)行研究，具有重要意義.到目前為止，在所提出的互相關(guān)算法中，基于快速傅里葉變換（FFT）的互相關(guān)算法由于其不受相關(guān)窗口大小限制，簡(jiǎn)化了互相關(guān)計(jì)算，并極大地提高了互相關(guān)運(yùn)算效率，已成為互相關(guān)算法中最為典型的算法［6、7］.在粒子圖像測(cè)速中，為提高粒子速度矢量分辨率，相鄰相關(guān)窗口間須存在重疊，致使互相關(guān)運(yùn)算中存在重復(fù)運(yùn)算，降低了算法的運(yùn)算效率［8］.本文在基于FFT的互相關(guān)算法的基礎(chǔ)上，根據(jù)頻域抽取原理，對(duì)互相關(guān)算法中的二維FFT進(jìn)行改進(jìn)，以減少互相關(guān)算法中的重復(fù)FFT運(yùn)算.

1 粒子圖像測(cè)速原理

PIV技術(shù)是在流動(dòng)顯示的基礎(chǔ)上結(jié)合光學(xué)圖像處理技術(shù)對(duì)待測(cè)量的流場(chǎng)進(jìn)行非接觸的高精度測(cè)量［9］.測(cè)速系統(tǒng)對(duì)加入示蹤粒子的流場(chǎng)進(jìn)行快速拍照，通過(guò)測(cè)量流場(chǎng)中示蹤粒子在已知時(shí)間間隔內(nèi)的位移實(shí)現(xiàn)對(duì)流體運(yùn)動(dòng)速度的測(cè)量.定義x（t）、y（t）為某個(gè)粒子在t時(shí)刻的位置，經(jīng)過(guò)時(shí)間Δt粒子的位置為x（t＋Δt）、y（t＋Δt），那么該粒子在x軸、y軸方向的速度分量v x、v y如下式：

實(shí)際應(yīng)用中，粒子在t＋Δt時(shí)刻的位置是未知的.對(duì)于粒子在t＋Δt時(shí)刻的位置，通常采用基于相關(guān)窗口的互相關(guān)方法來(lái)確定.

2 基于FFT的互相關(guān)算法

圖1 基于FFT的互相關(guān)算法流程圖Fig.1 FFT－based cross－correlation algorithm diagram

針對(duì)互相關(guān)算法運(yùn)算量巨大的問(wèn)題提出了較多算法，基于FFT的互相關(guān)算法由于具有極高的運(yùn)算效率，至今仍為PIV互相關(guān)算法中的基本算法［10］.圖1為基于FFT的互相關(guān)算法流程圖.其中f（m，n）和g（m，n）分別表示當(dāng)前窗口和詢問(wèn)窗口.t時(shí)刻粒子存在于（x，y）位置處窗口（即當(dāng)前窗口），t＋Δt時(shí)刻粒子所在窗口未知.t＋Δt時(shí)刻粒子所在窗口位置（x＋ξ，y＋η）可利用當(dāng)前窗口與t＋Δt時(shí)刻的粒子存在目標(biāo)區(qū)域進(jìn)行互相關(guān)運(yùn)算獲得.最大互相關(guān)峰值位置處窗口，即t＋Δt時(shí)刻粒子所在窗口.當(dāng)前窗口與詢問(wèn)窗口的互相關(guān)函數(shù)如式（2）［11］.其中，當(dāng)前窗口大小為M0×N0，

I1和I2分別表示在t時(shí)刻和t＋Δt時(shí)刻粒子圖像的像素灰度值.

在基于FFT的互相關(guān)算法中，乘法運(yùn)算量在互相關(guān)運(yùn)算量中占絕對(duì)比重，所以對(duì)互相關(guān)運(yùn)算量分析可簡(jiǎn)化為對(duì)其乘法運(yùn)算量分析，具有等效的分析結(jié)果［11］.基于FFT的互相關(guān)算法的運(yùn)算量計(jì)算表達(dá)式為

其中N×N為詢問(wèn)窗口大小，N滿足2k（k為正整數(shù)），否則詢問(wèn)窗口須補(bǔ)零.

3 基于FFT的互相關(guān)算法的改進(jìn)

一般情況下，相關(guān)窗口的重疊率為50%時(shí)，粒子速度矢量分辨率與算法運(yùn)算效率之間達(dá)到最佳均衡［8］.頻域抽?。―IF）基二維FFT算法中，信號(hào)的FFT由被分成上、下兩部分的信號(hào)的FFT構(gòu)成.據(jù)此原理，在窗口重疊率為50%時(shí)，對(duì)當(dāng)前窗口和詢問(wèn)窗口進(jìn)行對(duì)半分割，重疊相鄰3個(gè)窗口的二維FFT中重疊部分窗口的一個(gè)維度的FFT運(yùn)算值，可由其相鄰窗口的重疊部分的FFT運(yùn)算值經(jīng)頻移疊加后獲得.據(jù)此，對(duì)基于FFT的互相關(guān)算法進(jìn)行改進(jìn)，以提高互相關(guān)算法運(yùn)算效率.在詢問(wèn)窗口大小為M×N（M、N為2的整數(shù)次冪，一般情況下M等于N）時(shí)，重疊窗口的FFT表達(dá)式F2（u，v）推導(dǎo)過(guò)程如式（4）～（6）［12］所示：

圖2 改進(jìn)的二維FFT計(jì)算流程Fig.2 Computational diagram of improved 2D－FFT

改進(jìn)后互相關(guān)算法運(yùn)算量仍采用乘法運(yùn)算量來(lái)度量，其計(jì)算表達(dá)式如下式：

式（7）與式（3）相比較，改進(jìn)后算法運(yùn)算效率提高表達(dá)式如式（8）所示.改進(jìn)后算法較未改進(jìn)算法運(yùn)算效率提高如圖3（圖中橫坐標(biāo)L表示詢問(wèn)窗口寬度，縱坐標(biāo)σ表示算法運(yùn)算效率提高）.

圖3 改進(jìn)后算法運(yùn)算效率提高Fig.3 Computation efficiency increase of improved algorithm

從圖3中可以看出，當(dāng)詢問(wèn)窗口大小為16× 16、32×32、64×64、128×128、256×256、512× 512、1 024×1 024時(shí)，改進(jìn)后算法較未改進(jìn)算法在運(yùn)算效率方面平均提高了13.86%，并隨著詢問(wèn)窗口變大算法運(yùn)算效率提高會(huì)減小.當(dāng)詢問(wèn)窗口大小為16×16時(shí)運(yùn)算效率提高最大，為15.38%.當(dāng)詢問(wèn)窗口大小為256×256、512× 512、1 024×1 024時(shí)，其運(yùn)算效率提高變化不明顯.

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

為對(duì)改進(jìn)前與改進(jìn)后算法進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證及分析，利用CCD相機(jī)連續(xù)采集了30幀粒子圖像，連續(xù)兩幀粒子圖像時(shí)間間隔為0.043 s，圖像大小為1 600×1 200.隨機(jī)選取連續(xù)兩幀經(jīng)預(yù)處理后的粒子圖像（為清晰顯示出圖像中粒子，僅給出部分放大圖像），如圖4所示.

當(dāng)詢問(wèn)窗口大小為16×16或1 024×1 024時(shí)，由于詢問(wèn)窗口所包含粒子信息過(guò)少或分析點(diǎn)數(shù)過(guò)少，粒子圖像測(cè)速處理結(jié)果無(wú)任何實(shí)際意義.對(duì)于這兩種情況本文均不做分析.

設(shè)置窗口重疊率為50%，在詢問(wèn)窗口大小分別為32×32、64×64、128×128、256×256、512× 512時(shí)，采用基于改進(jìn)前后兩種互相關(guān)算法的PIV算法計(jì)算粒子速度矢量.處理程序采用Matlab作為開(kāi)發(fā)平臺(tái)編寫(xiě)完成.限于篇幅僅給出當(dāng)詢問(wèn)窗口大小為128×128時(shí)隨機(jī)選取的粒子速度矢量對(duì)比圖，如圖5所示（圖中橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的單位為像素）.

圖4 連續(xù)兩幀粒子圖像Fig.4 A pair of particle images

圖5 粒子速度矢量對(duì)比圖Fig.5 Comparison of two particle velocity vector′s images

對(duì)比觀察圖5（a）和（b）兩粒子速度矢量圖，發(fā)現(xiàn)其無(wú)任何差異.為定量分析改進(jìn)前后兩算法在所得速度矢量上的差異，對(duì)不同詢問(wèn)窗口大小下得到的粒子速度矢量在x軸和y軸方向上的平均差異進(jìn)行對(duì)比分析，分析結(jié)果如表1所示.

表1 粒子速度矢量對(duì)比Tab.1 Comparison results of particle velocity vectors

由表1可以得出，利用改進(jìn)前后兩互相關(guān)算法計(jì)算所得速度矢量在x軸和y軸方向上僅存在微小差異.

改進(jìn)前后兩種互相關(guān)算法平均消耗時(shí)間對(duì)比如表2所示.

表2 算法消耗時(shí)間對(duì)比Tab.2 Comparison results of the processing time

由表2可以得出，改進(jìn)后算法較未改進(jìn)算法在運(yùn)算效率方面平均提高了12.25%，與理論提高效率平均值十分接近.當(dāng)詢問(wèn)窗口大小為32× 32時(shí)改進(jìn)算法效率提高最高，為14.37%.當(dāng)詢問(wèn)窗口大小為128×128、256×256、512×512時(shí)，隨著詢問(wèn)窗口變大運(yùn)算效率提高變化不明顯.

5 結(jié) 論

本文利用頻域抽取原理，在基于FFT的互相關(guān)算法的基礎(chǔ)上，結(jié)合重疊窗口互相關(guān)運(yùn)算的特點(diǎn)，對(duì)基于FFT的互相關(guān)算法進(jìn)行了改進(jìn)，有效地減少了互相關(guān)運(yùn)算中重復(fù)FFT運(yùn)算量.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文所提出的改進(jìn)互相關(guān)算法與基于FFT的互相關(guān)算法相比，在不降低PIV處理效果的前提下，運(yùn)算效率平均提高了約12.25%.

［1］ADIRAN R J.Twenty years of particle image velocimetry［J］.Experiments in Fluids，2005，39（2）：159－169

［2］ZHANG Wei，HAIN R，KHLER C J.Scanning PIV investigation of the laminar separation bubble on a SD7003 airfoil［J］.Experiments in Fluids，2008，45（4）：725－743

［3］WIENEKE B.Volume self－calibration for 3D particle image velocimetry［J］.Experiments in Fluids，2008，45（4）：549－556

［4］MUNOZ J M I，DELLAVALE D，SONNAILLON M O，etal.Real－time particle image velocimetry based on FPGA technology［C］／／5thSouthern Conference on Programmable Logic.Brazil：IEEE，2009

［5］ALVAREZ L，CASTANO C A，CARCIA M，etal.3D motion estimation using a combination of correlation and variational methods for PIV［J］.Computer Aided Systems Theory，2007（4739）：612－620

［6］ADRIC E，VLACHOS P P.Assessment of advanced windowing techniques for digital particle image velocimetry［J］.Measurement Science and Technology，2009，20（7）：1－9

［7］王燦星，林建忠，山本富士夫.二維PIV圖像處理算法［J］.水動(dòng)力學(xué)研究與進(jìn)展，2001，16（4）：399－404

［8］ROTH G I，KATZ J.Five techniques for increasing the speed and accuracy of PIV interrogation［J］.Measurement Science and Technology，2001，12（3）：238－245

［9］高殿榮，王益群，申功炘.DPIV技術(shù)及其在流場(chǎng)測(cè)量中的應(yīng)用［J］.液壓氣動(dòng)與密封，2001，21（5）：30－33

［10］STANISLAS M，OKAMOTO K，KHLER C J.Main results of the second international PIV challenge［J］.Experiments in Fluids，2005，39（2）：170－191

［11］TOSHIHITO F，KENJI F，TSUTOMU M.A realtime visualization system for PIV［J］.Field－Programmable Logic and Applications，2003，2778（1）：437－447

［12］胡廣書(shū).數(shù)字信號(hào)處理（理論、算法與實(shí)現(xiàn)）［M］.2版.北京：清華大學(xué)出版社，2003：176－177