陳建立

(四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川德陽618000)

振動(dòng)實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析技術(shù)的發(fā)展為橋梁結(jié)構(gòu)的安全檢測(cè)開辟了新的途徑。基于振動(dòng)模態(tài)分析的技術(shù)就是通過振動(dòng)測(cè)試、數(shù)據(jù)采集、信號(hào)分析與處理，根據(jù)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力特性來反推結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度、阻尼等物理特性。結(jié)構(gòu)存在損傷，必然引起其物理參數(shù)的變化，從而導(dǎo)致模態(tài)參數(shù)的改變，通過檢測(cè)結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)就可以實(shí)現(xiàn)對(duì)其損傷的檢測(cè)［1］。

1 模態(tài)測(cè)試方法

模態(tài)分析的經(jīng)典定義是［2］:將線性定常系統(tǒng)振動(dòng)微分方程組中的物理坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為模態(tài)坐標(biāo)，使方程組解耦，成為一組以模態(tài)坐標(biāo)及模態(tài)參數(shù)描述的獨(dú)立方程，以便求出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。模態(tài)分析的最終目標(biāo)是識(shí)別出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動(dòng)特性分析、振動(dòng)故障診斷和預(yù)報(bào)以及結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的優(yōu)化和設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

1.1 模態(tài)綜合法

模態(tài)綜合法［3］是計(jì)算大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)參數(shù)十分有效的方法。其實(shí)質(zhì)是把一個(gè)高階數(shù)的特征值問題轉(zhuǎn)化成若干低階數(shù)的特征值問題。

對(duì)一般的動(dòng)力分析問題，經(jīng)過各子結(jié)構(gòu)的模態(tài)綜合后的動(dòng)力方程為

式中:［M］*、［K］*、［C］*和［R］*分別是經(jīng)模態(tài)綜合后系統(tǒng)模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度、模態(tài)阻尼和激振力。方程的階數(shù)等于所選取的全部保留模態(tài)的總數(shù)減去對(duì)接自由度。上述分析可以推廣到多個(gè)子結(jié)構(gòu)組成的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中。

模態(tài)綜合理論現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于航天航空和各種大型工程領(lǐng)域。在模態(tài)綜合法中，固定界面法［4］和自由界面法［5］是應(yīng)用較廣的兩種模態(tài)綜合法。它們?cè)诮鉀Q復(fù)雜結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)分析中有較高的效率和精度，但也存在著許多不足之處。為了改善，出現(xiàn)了一種更有效的計(jì)算方法，即混合界面模態(tài)綜合法［6］。它采用混合的交界面和混合的子結(jié)構(gòu)位移模態(tài)，把子結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移視為相對(duì)于對(duì)接界面約束節(jié)點(diǎn)的彈性變形和伴隨結(jié)束節(jié)點(diǎn)的牽連運(yùn)動(dòng)位移之和，推導(dǎo)出最后的綜合方程，該方法方程數(shù)少、計(jì)算量小，但精度較高。

1.2 復(fù)模態(tài)法

當(dāng)阻尼不是比例阻尼，不滿足阻尼正交性條件時(shí)，實(shí)模態(tài)法不能將阻尼矩陣對(duì)角化，而復(fù)模態(tài)法，很好地解決了此類問題。它為不滿足阻尼正交性條件的一般粘性阻尼線性多自由度體系，在狀態(tài)空間內(nèi)提供了使運(yùn)動(dòng)方程解耦的途徑。

具有非比例阻尼的多自由度線性結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程為:

式(2)中，阻尼矩陣［珓c］不滿足可對(duì)角化的條件，引入輔助方程:

將兩式合并可得一階微分方程:

式中:

式(2)與式(3)描述的是同一個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，所以二者具有公共的特征值。通過復(fù)模態(tài)變換可以得到系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)矩陣［h(t)］與頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣［H(ω)］。

式中:［v］、［u］為左、右模態(tài)矩陣;{vi}、{ui}為左、右特征向量;pi為系統(tǒng)特征值;m*i為加權(quán)正交后模態(tài)質(zhì)量。

復(fù)模態(tài)法是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)計(jì)算的有力工具，可分析阻尼矩陣不滿足實(shí)模態(tài)條件的一般阻尼結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)。它既能求解結(jié)構(gòu)的自振特性，又能對(duì)結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)進(jìn)行時(shí)程分析。復(fù)模態(tài)法可用于基于可靠度約束的抗風(fēng)優(yōu)化設(shè)計(jì)［7］和隨機(jī)地震響應(yīng)分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)［8］;在進(jìn)行諸如考慮與地基相互作用的結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)分析時(shí)，采用復(fù)模態(tài)方法也是一種很好的途徑。

1.3 曲率模態(tài)法

曲率模態(tài)是彎結(jié)構(gòu)的動(dòng)特性的典型特征，可應(yīng)用于梁及橋梁結(jié)構(gòu)的損傷檢測(cè)。對(duì)于一個(gè)梁結(jié)構(gòu)，在有限元分析中用差分法可得:

式中:υi、yi分別為i點(diǎn)的某一階曲率模態(tài)振型和位移模態(tài)振型;h為測(cè)點(diǎn)間距。

梁的彎曲變形和應(yīng)變?chǔ)畔鄬?duì)應(yīng)，應(yīng)變可表示為:

式中，h'為梁上測(cè)點(diǎn)距中性層的距離。上式表明，梁的曲率模態(tài)直接和應(yīng)變模態(tài)相互聯(lián)系。對(duì)于等截面梁，實(shí)測(cè)應(yīng)變可以直接反映曲率變化;對(duì)于變截面梁，實(shí)測(cè)應(yīng)變經(jīng)過簡單的數(shù)學(xué)處理也可以表征曲率變化。

通過檢測(cè)某一階曲率模態(tài)在正常狀態(tài)下的變化來確定故障位置。

式中:υci、υdi分別為i點(diǎn)破壞前后的曲率模態(tài)。

對(duì)于多階模態(tài)，可取各階曲率模態(tài)差的均值用于指示損傷的發(fā)生，表示如下:

式中:Δυ'r為第i點(diǎn)處第r階模態(tài)的損傷前后曲率模態(tài)差值;MSC(i)為i位置的曲率模態(tài)變化量，MSC(i)變化大的地方則可能是損傷的位置。

通過曲率模態(tài)曲線能夠有效識(shí)別并定位結(jié)構(gòu)的損傷，同時(shí)可以識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷程度，該方法具有識(shí)別率高，且無需結(jié)構(gòu)損傷前的模態(tài)信息等優(yōu)點(diǎn)，可以嘗試應(yīng)用于工程實(shí)際［9］。理論計(jì)算說明，對(duì)于橋梁結(jié)構(gòu)，曲率模態(tài)差可以精確地識(shí)別出結(jié)構(gòu)損傷的存在及其位置，且對(duì)于不同程度的損傷，曲率模態(tài)差所呈現(xiàn)的峰值也不同，損傷越大，峰值越明顯，說明曲率模態(tài)可以識(shí)別出結(jié)構(gòu)的損傷程度。

1.4 應(yīng)變模態(tài)法

應(yīng)變是位移的一階導(dǎo)數(shù)，與位移模態(tài)相對(duì)應(yīng)的應(yīng)變分布狀態(tài)稱為應(yīng)變模態(tài)。應(yīng)變模態(tài)反映了結(jié)構(gòu)的固有特征。由結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論可知，連續(xù)體梁式結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)為:

式中:φr稱為位移模態(tài)振型;F為激振力。

按照梁的彎曲理論，應(yīng)變是位移的一階導(dǎo)數(shù)，故應(yīng)變響應(yīng)εx為:

在三維幾何空間中，三個(gè)方向的位移向量為［u v ω］T，根據(jù)彈性力學(xué)原理，當(dāng)僅考慮正應(yīng)變時(shí)，其應(yīng)變?yōu)?

寫成矩陣形式即為:

應(yīng)變模態(tài)可由試驗(yàn)直接測(cè)量得到，也可由彎曲位移模態(tài)間接得到，即在位移模態(tài)測(cè)量的基礎(chǔ)上，由差分計(jì)算可以得到應(yīng)變模態(tài)。通過對(duì)比橋梁損傷前后應(yīng)變模態(tài)的變化可以判斷出橋梁結(jié)構(gòu)是否存在損傷以及損傷的位置。

應(yīng)變模態(tài)分析法對(duì)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行損傷診斷監(jiān)測(cè)是非常有效，對(duì)低固有頻率的結(jié)構(gòu)效果更佳。此方法還需在理論和試驗(yàn)中進(jìn)行更加深入、全面的研究才能在實(shí)際工程結(jié)構(gòu)損傷診斷監(jiān)測(cè)得到應(yīng)用。文獻(xiàn)［10］從理論上對(duì)應(yīng)變模態(tài)的原理、應(yīng)變模態(tài)參數(shù)識(shí)別進(jìn)行一定的研究探討，并闡明了應(yīng)變模態(tài)參數(shù)的識(shí)別方法。文獻(xiàn)［11］用應(yīng)變模態(tài)方法對(duì)剛架橋損傷識(shí)別進(jìn)行了數(shù)值仿真計(jì)算。該方法可以對(duì)橋梁損傷進(jìn)行在線監(jiān)測(cè)，即時(shí)發(fā)現(xiàn)問題，這對(duì)避免橋梁事故的發(fā)生、保證橋梁的安全運(yùn)行有著重要意義。

1.5 幾種方法的比較

這些方法都是通過分析結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)參數(shù)的改變對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行安全檢測(cè)，發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)損傷的存在，進(jìn)而采取安全措施，以避免事故發(fā)生。

模態(tài)綜合法適用于計(jì)算大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)參數(shù);復(fù)模態(tài)法用于不滿足阻尼正交性的一般粘性阻尼線性多自由度體系，提供了使運(yùn)動(dòng)方程解耦的途徑;曲率模態(tài)差可以精確地識(shí)別出結(jié)構(gòu)損傷的存在及其位置;應(yīng)變模態(tài)可由試驗(yàn)直接測(cè)量得到，對(duì)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行損傷診斷監(jiān)測(cè)很有效。

2 梁橋的固有特性的解析方法

以無荷載或者帶有均布靜荷載的等截面簡支梁式橋?yàn)槔瑯蛄河?jì)算模型可以看成是一個(gè)連續(xù)的均布質(zhì)量彈性系統(tǒng)，如圖1所示。

圖1 簡支梁橋模型

得其固有振動(dòng)的基本方程為

令y(x，t)=Y(x)F(t)，因振型Y(x)與時(shí)間無關(guān)，是系統(tǒng)固有的，代入式(14)，分離變量得

得二個(gè)獨(dú)立的線性齊次常微分方程組

解式(16)得

解式(17)得

根據(jù)簡支梁邊界條件:由Y(0)=Y″(0)=0和Y(l)=Y″(l)=0，得A=B=C=0、kl=nπ(n=1，2，3…)。滿足邊界條件的振型可寫成

與Yn(x)相對(duì)應(yīng)的固有頻率為

其中，第一階頻率有著重要的工程意義。

3 簡支梁橋模態(tài)測(cè)試

采用東方振動(dòng)和噪聲技術(shù)研究所研制的簡支梁橋模態(tài)測(cè)試裝置，如圖2所示。梁長680 mm，寬50 mm，高8 mm。采用多點(diǎn)敲擊、單點(diǎn)響應(yīng)方法激勵(lì)豎向振動(dòng)模態(tài)，應(yīng)用復(fù)模態(tài)法求得梁的模態(tài)參數(shù)(固有特性)，并與無阻尼簡支梁橋固有特性解析解進(jìn)行比較，結(jié)果見表1。

圖2 簡支梁橋模態(tài)測(cè)試示意圖

?

從表1看出，第一階頻率實(shí)測(cè)值與解析解相差很小;第二、三階頻率實(shí)測(cè)值與解析解相差稍大，主要原因是實(shí)測(cè)中存在阻尼，符合實(shí)際情況。可知，復(fù)模態(tài)理論應(yīng)用于梁橋固有特性測(cè)試是可行的。由大量文獻(xiàn)可知，文中介紹的其他模態(tài)測(cè)試?yán)碚搼?yīng)用梁橋固有特性測(cè)試也有很大的應(yīng)用價(jià)值，為梁橋(單跨或多跨)固有特性工程實(shí)測(cè)提供了理論基礎(chǔ)。

4 結(jié)束語

對(duì)既有橋梁的振動(dòng)進(jìn)行科學(xué)分析是目前我國橋梁工程界較難和急待解決的問題。鑒于這種現(xiàn)狀，本文總結(jié)了模態(tài)分析技術(shù)的概念、發(fā)展及應(yīng)用于橋梁等結(jié)構(gòu)的安全檢測(cè)情況;對(duì)近幾年提出的幾種模態(tài)測(cè)試方法的理論及在實(shí)際工程中的應(yīng)用價(jià)值進(jìn)行了重點(diǎn)闡述;分析了簡支梁橋的固有特性測(cè)試的解析方法。為梁橋固有特性工程實(shí)測(cè)提供了理論上的準(zhǔn)備。

［1］C．A．PPadaoPoulos，A．D．Dimarogonas．Couple Longitudinal and Bending Vibration of a Cracked Shaft．Journal of Vibartion，eousties，Stress，and Reliability in Design，1988(110)

［2］傅志方．模態(tài)分析與參數(shù)辨識(shí)［M］．北京:機(jī)械工業(yè)出版社，1995

［3］王文亮，杜作潤．結(jié)構(gòu)振動(dòng)與動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)方法［M］．上海:復(fù)旦大學(xué)出版社，1985

［4］巨建民，徐恩彤．固定界面子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法再研究［J］．大連鐵道學(xué)院學(xué)報(bào)，1999，20(3):8－11

［5］王艾倫，趙振宇，仇勇．自由界面模態(tài)綜合法的研究及應(yīng)用［J］．湘潭大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2002，24(4):60－64

［6］高洪芬，沈孝芹．混合界面模態(tài)綜合法在滯后阻尼結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用［J］．山東建筑工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，19(4):59－64

［7］李暾，李創(chuàng)第，黃天立．帶TLD控制結(jié)構(gòu)隨機(jī)風(fēng)振響應(yīng)分析的復(fù)模態(tài)法［J］．蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，33(2):116－119

［8］李創(chuàng)第，黃天立，李暾，等．帶TMD結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震響應(yīng)分析的復(fù)模態(tài)法［J］．振動(dòng)與沖擊，2003，22(1):36－39，46

［9］李德葆，陸秋海，秦權(quán)．承彎結(jié)構(gòu)的曲率模態(tài)分析［J］．清華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2002，42(2):224－227

［10］顧培英，陳厚群，李同春，等．基于應(yīng)變模態(tài)差分原理的直接定位損傷指標(biāo)法［J］．振動(dòng)與沖擊，2006，25(4):13－18

［11］杜思義，陳淮．基于應(yīng)變模態(tài)法識(shí)別剛架橋梁的損傷［J］．世界地震工程，2003，19(2):112－115