●張乃貴 張 俊 (徐州師范大學2009級教育碩士 江蘇徐州 221116)
簡述拋物線中一組優(yōu)美的新結論
●張乃貴 張 俊 (徐州師范大學2009級教育碩士 江蘇徐州 221116)
最近在研究拋物線時,筆者發(fā)現(xiàn)了一組簡潔、優(yōu)美的新結論,現(xiàn)將之整理成文.為敘述方便,本文約定:文中所涉及的所有直線的斜率都存在,并用kAB表示直線AB的斜率.
命題1已知四邊形ABCD內(nèi)接于拋物線y2=2px(p>0),對邊AB,CD與x軸分別相交于點E,F(xiàn),2條對角線AC,BD與x軸都相交于點M,則
為了簡潔解決問題,先證明一個引理:
引理過拋物線y2=2px的對稱軸上一定點(a,0)的直線與此拋物線相交于2個點,則這2個點的縱坐標之積為定值-2pa.
證明直線的方程可設為x=my+a,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立x=my+a
消去x得
由韋達定理得,y1·y2=-2pa為定值.
圖1
推論2拋物線y2=2px的內(nèi)接四邊形的2組對邊、2條對角線所在的3對直線中,只要有1對直線的傾斜角互為補角,則另2對直線的傾斜角也互為補角.
證明由推論1知,直線P1A,P2B的傾斜角互為補角等價于kP1A+kP2B=0,即
在推論3中,如果點P1,P2重合,那么可得推論4.
推論5拋物線C的方程為y2=2px(p>0),P1Q1,P2Q2是拋物線C上垂直于x軸的任意2條弦,分別過P1,P2作傾斜角互補的2條直線交拋物線C于另外2個點M,N,則直線MN∥Q1Q2.
當點P1,P2重合于點P時,點 Q1,Q2重合于點Q,直線Q1Q2成為點Q處的切線,便可得到
推論6經(jīng)過拋物線y2=2px(p>0)任意一條與對稱軸垂直的弦PQ的一個端點作關于直線PQ對稱的2條直線交拋物線于另外2個點M,N,則直線MN平行于弦PQ的另一端點處的切線.