●康小峰 (栟茶高級中學(xué) 江蘇如東 226406)

從一道高考題談無字證明

●康小峰 (栟茶高級中學(xué) 江蘇如東 226406)

題目設(shè)a＞0，b＞0，則為 a，b的調(diào)和平均數(shù)，如圖1，C為線段AB上的點(diǎn)，AC=a，CB=b，O為AB的中點(diǎn)，以AB為直徑作半圓．過點(diǎn)C作AB的垂線交半圓于點(diǎn)D，連結(jié)OD，AD，BD．過點(diǎn)C作OD的垂線，垂足為E，則圖中線段OD的長度為a，b的算術(shù)平均數(shù)，線段＿＿ 的長度是a，b的幾何平均數(shù)，線段＿＿ 的長度是a，b的調(diào)和平均數(shù)．

(2010年湖北省數(shù)學(xué)高考理科試題)

圖1

這道題源于蘇教版普通高中教科書《數(shù)學(xué)》必修5第3．4節(jié)．在講解定理:“2個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”后，教材中給出了這一定理的一種幾何解釋．其實(shí)該題更為深刻的背景是近年來一些數(shù)學(xué)家特別關(guān)注的將數(shù)學(xué)命題用簡單、有創(chuàng)意且易于理解的幾何圖形來呈現(xiàn)的無字證明(如圖1)．無字證明問題源于20世紀(jì)90年代末美國《數(shù)學(xué)雜志》開辟的專欄:沒有文字的證明(Proof without words)．無字證明古已有之，例如趙爽的“弦圖”、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“形數(shù)”等，均屬典范．我們在學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到的“數(shù)形結(jié)合”方法和無字證明的關(guān)系也是比較密切的．從這道高考題的背景，我們能感受到無字證明為數(shù)學(xué)問題的解決提供了獨(dú)特的視角:簡潔、直觀．

以往的高考試題中雖然有以數(shù)形結(jié)合思想來考查不等式幾何意義的題目，但沒有直接考查均值不等式幾何意義的試題．在高三復(fù)習(xí)中，教師也可能很少注意到這一問題，因此大部分考生拿到此題無從下手，正確率就可想而知了．其實(shí)，蘇教版數(shù)學(xué)教科書必修5第98頁的探究拓展中就給出了一種典型的無字證明方案:

如圖2，ABDC 為梯形，其中 AB=a，CD=b，設(shè)O為對角線的交點(diǎn)．若GH表示平行于兩底且與它們等距離的線段(即梯形的中位線)，KL表示平行于兩底且使梯形ABLK與梯形KLDC相似的線段，EF表示平行于兩底且過點(diǎn)O的線段，MN表示平行于兩底且將梯形ABDC分為面積相等的2個(gè)梯形的線段．試探究線段 GH，KL，EF，MN與代數(shù)式

圖2

之間的關(guān)系，并據(jù)此得到它們之間的一個(gè)大小關(guān)系．你能用基本不等式證明所得到的結(jié)論嗎?

很多教師怕耽誤教學(xué)進(jìn)度對此問題視而不見，或在此一帶而過，甚至認(rèn)為是浪費(fèi)時(shí)間而不愿和學(xué)生一起欣賞它，這就失去了一個(gè)極好地對學(xué)生進(jìn)行無字證明教育的機(jī)會．因此，筆者認(rèn)為可以在平時(shí)的課堂教學(xué)中適當(dāng)引入一些無字證明．一來可以加深學(xué)生的印象，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;二來可以開拓學(xué)生的視野，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的優(yōu)美．這樣學(xué)生在遇到此類問題時(shí)既能夠從容面對，又不至于造成無謂的失分．美國家喻戶曉的數(shù)學(xué)科普大師Martin Garder曾將無字證明這種圖形視為“一瞥就懂”的圖形，并認(rèn)為很多時(shí)候一個(gè)繁復(fù)的證明在很多時(shí)候若能輔以一個(gè)幾何圖形，則后者的簡潔與美妙幾乎可以讓讀者一瞥即對定理的真實(shí)性了然于胸．這足以顯現(xiàn)無字證明的巨大功效了．

既然無字證明有如此之大的功效，那么筆者接下來再舉幾例，供同行教學(xué)時(shí)參考．

例1“無字證明”三角公式(如圖3，圖4)．

圖3

圖4

啟示出入相補(bǔ)原理是中國數(shù)學(xué)特別是幾何學(xué)最基本的原理之一，指的是“一個(gè)平面圖形從一處移至他處，面積不變．又若把圖形分割成若干塊，則各部分面積的和等于原來圖形的面積，因而圖形移動前后諸面積間的和、差有簡單的相等關(guān)系”．上述無字證明把三角形的面積公式、出入相補(bǔ)原理以及兩角和的正弦、余弦公式緊密地聯(lián)系起來，直觀明了、易于理解．

例2“無字證明”余弦定理(如圖5)．

圖5

圖6

啟示余弦定理是三角形關(guān)于邊角關(guān)系的命題，上述無字證明巧妙地將有關(guān)圓的相交弦定理和余弦定理聯(lián)系起來．雖然圖形所能表示的范圍有限，但創(chuàng)意可謂無限．

例3圖解均值不等式(如圖6)．

啟示均值不等式是最基本的不等式之一，是證明其他不等式和求解各類最值的重要依據(jù)．上述無字證明把圓、勾股定理以及均值不等式有機(jī)地結(jié)合起來，可謂“得意”而不“忘形”．

例4“無字證明”數(shù)列求和公式(如圖7)．

圖7

啟示圖7利用三角形相似證明了等差數(shù)列的求和公式，為探究數(shù)列與圖形之間的聯(lián)系開辟了新道路．

例5圖解三角求和(如圖8)．

圖8

啟示借助于圖形，3個(gè)角的關(guān)系躍然紙上，不得不令人驚嘆圖形的力量．

上面從4個(gè)角度給出了5道無字證明題，有興趣的讀者可以試著去構(gòu)造一些優(yōu)美的圖形．盡管無字證明有一定的局限性(如例1中兩角限制在銳角范圍，例4中是特殊的等差數(shù)列)，但其數(shù)學(xué)價(jià)值不言而喻，借著可視化的感受及簡單的數(shù)學(xué)概念常常能給學(xué)生留下深刻的印象，因而對我國當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要的意義．

［1］ 吳文俊．九章算術(shù)與劉徽［M］．北京:北京師范大學(xué)出版社，1982．