● (溫嶺市實(shí)驗(yàn)學(xué)校 浙江溫嶺 317500)

探究例題內(nèi)涵彰顯數(shù)學(xué)魅力
——對(duì)一道課本習(xí)題的變式教學(xué)

●童鵬(溫嶺市實(shí)驗(yàn)學(xué)校 浙江溫嶺 317500)

葉圣陶先生曾說(shuō)：“教材只能作為教課的依據(jù)，要教得好，使學(xué)生受到實(shí)益，還要靠教師的善于運(yùn)用”．教材是教學(xué)的重要資源,課本中的每一個(gè)例題和習(xí)題都是經(jīng)過(guò)“千錘百煉”的，有很高的教育價(jià)值．教師在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，如何就有限的教學(xué)資源，充分加以利用，并時(shí)常保持?jǐn)?shù)學(xué)獨(dú)特的魅力，變題是一種好方法．下面筆者以一道具體的課本習(xí)題為例談一談教學(xué)資源的整合和對(duì)其教育價(jià)值的挖掘,供參考．

原題如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，AE，BF交于點(diǎn)O，∠AOF=90°，求證：BF=AE.

本題源于人教版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè).學(xué)生基本上能利用互余找到2組相等的角，從而證明△ABE≌△BCF，再利用全等可得BF=AE．

圖1 圖2

1 探究例題,用變題開(kāi)拓思維

教材提供的僅僅是一種方向，一條線索，教師在面對(duì)教材時(shí)，完全可以根據(jù)實(shí)際需要對(duì)其進(jìn)行增添、刪減、調(diào)整、變換、延伸等“藝術(shù)”加工，賦予它新的生命，從而達(dá)到真正意義上的利用教材．

1．1 探究刪減條件的變題

在完成原題的解答后，出示下面的演變1.

演變1如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊AB，CD，AD，BC上，EF，GH交于點(diǎn)O，∠FOH=90°，求證：EF=GH.

師：當(dāng)這2條線段的端點(diǎn)分別在正方形的邊上時(shí)，線段還會(huì)相等嗎？

生：會(huì)．

師：怎么得到相等呢？

生：構(gòu)造一對(duì)全等的三角形．過(guò)點(diǎn)A作AM∥GH交BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作BN∥EF交CD于點(diǎn)N，則四邊形AMHG和四邊形BNFE均為平行四邊形，那么圖形就和圖1一樣了，證明方法也一樣．

師：不錯(cuò)，該同學(xué)把圖2轉(zhuǎn)化到熟悉的圖1，問(wèn)題自然解決了．

生：也可以過(guò)點(diǎn)G作GM⊥BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AB于點(diǎn)N(如圖3)，則△FNE≌△GMH，可得EF=GH．

師：這2個(gè)三角形全等的條件充分嗎？

生：充分.因?yàn)镚M∥AB，F(xiàn)N∥AD，所以FN⊥GM，∠FQH+∠QFO=90°，∠QGP+∠GQP=90°.又因?yàn)椤螰QH=∠GQP，所以∠QFO=∠QGP，從而△FNE≌△GMH．

圖3 圖4

師：點(diǎn)在邊上移動(dòng)著，能否移到邊所在的直線外呢？當(dāng)這些點(diǎn)分別在它們所在的直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否只要保持GH與EF垂直，GH與EF就相等呢？

生：都可以證明.如圖4，過(guò)點(diǎn)A作AM∥GH交BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CN∥EF交AB于點(diǎn)N，則四邊形AMHG和四邊形CNFE均為平行四邊形，利用圖1的方法可證明△ABM≌△BCN，得GH=EF．

師：思路非常好，把后面的2個(gè)圖形都轉(zhuǎn)化成圖1來(lái)解決.雖然點(diǎn)在變，但是基本圖形不變，因此結(jié)論也不變．

適當(dāng)刪減條件，可把題目從特殊轉(zhuǎn)化為一般.本例從點(diǎn)移到邊，再移到直線上，完成了從靜到動(dòng)的演繹，使學(xué)生經(jīng)歷了一個(gè)變化、靈動(dòng)的過(guò)程.這種融知識(shí)性、趣味性、開(kāi)放性、挑戰(zhàn)性于一體的習(xí)題，學(xué)生不會(huì)覺(jué)得是一種負(fù)擔(dān)，而是一種樂(lè)趣，真正體現(xiàn)了在數(shù)學(xué)活動(dòng)中理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的理念．

1．2 探究增加條件的變題

演變2(在圖2的基礎(chǔ)上改題)如圖5，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊AB，CD，AD，BC上，EF，GH交于點(diǎn)O，且∠FOH=90°.若點(diǎn)O剛好是正方形的中心，求證：DF=AG=BE=CH.

學(xué)生思考一段時(shí)間后.

生：連結(jié)GF，F(xiàn)H，HE，GE，可證得△DFG，△CFH，△BHE，△AEG全等.

師：怎樣證明？條件分別是什么？

圖5 圖6

生：因?yàn)镋F⊥GH，且點(diǎn)O是正方形的中心，所以EF與GH相互垂直平分，再利用圖2的證明，可知EF=GH，于是四邊形EHFG是正方形，得

GF=FH=EH=GE．

再利用角度的互余關(guān)系得

∠DFG=∠CHF=∠BEH=∠AGE,

利用直角的條件，即可證得三角形全等．

師：正方形ABCD被EF和GH分成的4個(gè)部分有何關(guān)系呢？

生：這4個(gè)部分是全等的．

師：(在圖5的基礎(chǔ)上增加條件的變題)如圖6,如果延長(zhǎng)EF，HG分別交AD和BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，M，那么AM和DN會(huì)相等嗎？

生：會(huì)．可證得△BHM≌△AEN.

師：運(yùn)用哪些條件證明全等呢？

生：由圖5得

AE=BH，∠AEF=∠BHG.

又由∠ABC=∠DAB=90°，可得三角形全等，于是AM=DN．

適當(dāng)增添?xiàng)l件，可以得到更多的結(jié)論，從而考驗(yàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握的全面性，因此對(duì)學(xué)生掌握知識(shí)的要求較高，往往要把所學(xué)知識(shí)貫穿起來(lái).圖4的變形是一個(gè)一般的圖形，在證明線段相等時(shí)，學(xué)生自然地想到了用三角形全等的方法.圖5是一個(gè)圖形的拓展延伸，基本結(jié)論更加清晰、明了．因此在課堂教學(xué)中，要注意把所遇到的問(wèn)題與基本問(wèn)題相聯(lián)系，并作一定的拓展，對(duì)提高學(xué)生思維的廣闊性很有幫助．

1．3 探究變換圖形的變題

圖7

演變3(1)如圖7，若將原題中的條件“正方形”改為“正三角形”，“2條線段的交角為直角”改為“交角為60°”，即“AE⊥BF”改為“∠COF=60°”，其他條件不變，則原題的結(jié)論還成立嗎？如果成立,請(qǐng)給出正面證明;如果不成立,請(qǐng)給出反例．

師：這一題進(jìn)行了圖形的改變，把正方形換成了正三角形，AE⊥BF改為∠COF=60°，這時(shí)AF與CE是否還會(huì)相等？

生：只要能夠證明△ACE≌△BAF即可.

師：能找到三角形全等的條件嗎？

(經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的討論.)

生：條件足夠．有一對(duì)角一組邊相等，只要再得一對(duì)角相等就可以了．因?yàn)?/p>

∠CAO+∠ACO=60°,∠CAO+∠OAB=60°,

所以

∠ACO=∠OAB，

于是

△ACE≌△BAF.

師：進(jìn)一步如果將原題中的條件“正方形”改為“正五邊形”，那么請(qǐng)你模仿原題寫(xiě)出一個(gè)真命題，并在圖8中畫(huà)出相應(yīng)的圖形．

(學(xué)生能夠很自然地得出此題的答案.)

圖8 圖9

生：在AB上取一點(diǎn)F，連結(jié)EF，過(guò)點(diǎn)A作AG，且使得∠EOG=108°，那么EF=AG．證明方法與上一題一樣，只是角度發(fā)生變化了．

師：是否還有其他的延伸呢？

(學(xué)生立刻進(jìn)行探討，并且很快得到了問(wèn)題的答案.)

生：正六邊形也是可以的，只要把夾角改為120°就可以了．

圖形雖然在變，但萬(wàn)變不離其宗，解題的方法沒(méi)變．正方形是特殊的正多邊形，本題從正方形具有的一般性結(jié)論自然地類(lèi)比到了其他的正多邊形，再進(jìn)行相似探索、思考、研究相應(yīng)的結(jié)論.這種推廣過(guò)程可使學(xué)生理解特殊與一般的辨證關(guān)系，從而培養(yǎng)學(xué)生類(lèi)比、推理、分析的綜合能力，讓學(xué)生的思路豁然開(kāi)朗．

1．4 探究圖形延伸的變題

圖10

演變4已知點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，BC，CD，DM上，EF，GH交于點(diǎn)O，∠FOH=90°，EF=4.

(1)如圖10，矩形ABCD由2個(gè)全等的正方形組成，求GH的長(zhǎng);

(2)如圖11，矩形ABCD由n個(gè)全等的正方形組成，求GH的長(zhǎng)(用n的代數(shù)式表示).

圖11

師：請(qǐng)同學(xué)們觀察，2個(gè)正方形拼接在一起，但仍然保持∠FOH=90°不變，這時(shí)EF與GH會(huì)相等嗎？如果不相等，那么它們會(huì)有怎樣的關(guān)系？

(學(xué)生經(jīng)過(guò)一段時(shí)間思索后)

生：圖4與圖2非常相似，能不能把圖10轉(zhuǎn)化為與圖2相似的圖形呢？

生：可以先用其中一個(gè)正方形，設(shè)GH交正方形的一邊為點(diǎn)P，則GP=EF．

師：在另一個(gè)正方形中的部分怎么辦呢？

生：可以構(gòu)造如圖1的圖形．在邊上任意找一點(diǎn)M，再過(guò)點(diǎn)M作MN∥EF，得到EFMN，于是EF=MN，MN⊥PH，再利用圖1的結(jié)論可得MN=PQ=EF=GP，從而GH=2MN．

師：非常好!若能想到把這個(gè)圖形看成是2個(gè)圖1的組合，則轉(zhuǎn)化的思想顯而易見(jiàn)了．

師：如果矩形ABCD由n個(gè)全等的正方形組成(如圖11)，那么GH與EF又有怎樣的關(guān)系呢？

生：GH=nEF.由前面的探討可得每個(gè)正方形內(nèi)的一部分等于EF，總共有n個(gè)正方形，因此GH是EF的n倍．

這便是從部分到整體的變通，是一種質(zhì)的飛躍，起到了“畫(huà)龍點(diǎn)睛”的作用！讓學(xué)生全面、深刻地看到課本習(xí)題的全貌和問(wèn)題的本質(zhì),通過(guò)合理整合教學(xué)資源，巧用問(wèn)題串使問(wèn)題輕松解決．

對(duì)教材資源的變題是對(duì)教材資源的再創(chuàng)新.在保留部分原題的前提下，將問(wèn)題逐步引申、挖掘，深化了題目的內(nèi)涵，對(duì)學(xué)生思維的廣闊性、靈活性和創(chuàng)造性都起到了很大的作用.

2 反思例題，用變題激發(fā)潛能

以上對(duì)一道習(xí)題進(jìn)行了4次深入的探究，從不同的角度進(jìn)行了變題，縱橫發(fā)散、溝通，層層深入，將問(wèn)題合理演化、凝題成鏈、織題成網(wǎng)，使學(xué)生在傾聽(tīng)中產(chǎn)生靈性，在思考中展現(xiàn)智慧，在體驗(yàn)中生成情感，在相互尊重中綻放燦爛的生命之花．

2．1 妙用例題，讓學(xué)生討論變題

在教學(xué)過(guò)程中，教師可以充分利用學(xué)生資源，營(yíng)造自然、生動(dòng)的教學(xué)氛圍，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為其創(chuàng)造真實(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)的外部條件.在這次的例題教學(xué)中讓學(xué)生討論變題，應(yīng)學(xué)生而動(dòng)、應(yīng)情境而變，使課堂煥發(fā)了生命的活力.

例如演變1的教學(xué)過(guò)程：先由線段EF和GH的端點(diǎn)在正方形的頂點(diǎn)上，結(jié)論EF=GH成立，然后逐步地使2條線段的端點(diǎn)從頂點(diǎn)移到邊上，再進(jìn)一步地移到邊的延長(zhǎng)線上，使學(xué)生的思維不斷地被激發(fā)，也讓他們非常迫切地想知道結(jié)論是否還成立.這就引起了學(xué)生的興趣.學(xué)生通過(guò)對(duì)知識(shí)的需求，演繹討論的過(guò)程，從而獲得正確的結(jié)論.這無(wú)疑展示了一種活躍的思維過(guò)程，培養(yǎng)了學(xué)生思維的發(fā)散性.

2．2 妙用例題，讓學(xué)生參與變題

通過(guò)對(duì)例題的潛心挖掘和學(xué)生的參與變題，使題目由一道題變成了一類(lèi)題，大大地提高了雙基的容量和靈活性，從而鍛煉了學(xué)生思維的廣泛性，提高了舉一反三、觸類(lèi)旁通的能力，而這正是思維靈活性得到培養(yǎng)和發(fā)展的最好體現(xiàn).

例如演變3的教學(xué)過(guò)程：先由圖形是正方形，得結(jié)論AE=BF成立.再考慮:當(dāng)正方形演變成正三角形，2條線段夾角為多少度時(shí)，結(jié)論仍然成立？到此，學(xué)生就會(huì)進(jìn)一步地自己參與變題，聯(lián)想到其他的正多邊形是否也有類(lèi)似的結(jié)論.通過(guò)一題多變，讓學(xué)生積極地參與到變題中，深刻地挖掘了例題的內(nèi)涵，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生良好思維方式和創(chuàng)新意識(shí)的目的.

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，教師要鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑、探究，在思考的過(guò)程中感受和體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展的過(guò)程．?dāng)?shù)學(xué)問(wèn)題的探究往往是無(wú)窮盡的.通過(guò)變題，既能使學(xué)生高瞻遠(yuǎn)矚，又能有效地學(xué)習(xí)，從而提高學(xué)習(xí)效率．若教師在課前充分挖掘教材資源,在課堂中利用變題引導(dǎo)學(xué)生探索，則能激發(fā)他們的興趣，甚至讓學(xué)生學(xué)會(huì)變題．這樣不僅能鞏固知識(shí)，挖掘不同知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，而且能開(kāi)拓學(xué)生的思維和視野，有事半功倍之效．

總之，在例、習(xí)題教學(xué)中，教學(xué)資源無(wú)處不在、無(wú)時(shí)不生、取之不盡、用之不竭．教師要不斷地探索、實(shí)踐、反思，探究教學(xué)資源，妙用課堂資源．要貫徹新課程的教學(xué)理念，發(fā)揮例、習(xí)題應(yīng)有的教學(xué)價(jià)值，實(shí)施例、習(xí)題教學(xué)的有效性，深入探究例、習(xí)題蘊(yùn)涵的寶藏，彰顯數(shù)學(xué)獨(dú)特的魅力．

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[2] 吳莉霞，劉斌.變式教學(xué)要把握三個(gè)“度”[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2006(4):26.

[3] 王峰.莫讓浮云遮望眼 撩開(kāi)霧紗見(jiàn)真顏[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2010(6):51.