●沈文選 (湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克研究所 湖南長沙 410081)

再談三角形內(nèi)切圓的幾個性質(zhì)及應(yīng)用

●沈文選 (湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克研究所 湖南長沙 410081)

筆者在文獻(xiàn)［1］中介紹了三角形內(nèi)切圓的幾個性質(zhì)及應(yīng)用，以下是筆者再次給出的幾個性質(zhì)及應(yīng)用．

性質(zhì)7設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別切邊BC，CA，AB于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，記以A為圓心，AE為半圓的圓為W，直線DE交圓W于點(diǎn)G，點(diǎn)H在圓W上，則GH為圓W的直徑的充要條件是H，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線．

證明如圖1，注意到△AEG和△CED均為等腰三角形，且底角相等，則知其頂角相等，即

注意到△AHF和△BDF均為等腰三角形?其對應(yīng)底角相等，即∠AFH=∠BFD?H，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線．

推論3設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別切邊BC，CA，AB于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，直線DE，DF分別交過點(diǎn) A且與BC平行的直線于點(diǎn)G，H，直線AD交內(nèi)切圓于點(diǎn)L，則 AG=AH，且∠GDH+∠GLH=180°．

事實上，由AE=AF并注意到圖中的等腰三角形可得AG=AH;由∠GAL=∠LDB=∠LED知A，L，E，G 四點(diǎn)共圓，于是∠ALG=∠CDG．同理可得∠ALH=∠BDH，由此即可得

圖1

圖2

由式(1)，式(3)可知，G，E，F(xiàn) 三點(diǎn)共線．

必要性當(dāng)G，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時，如圖2，連結(jié)GI交DL于點(diǎn)R，則IR⊥DL．

類似于充分性證明．由FI2=ID2=IR·IG，可證得 F，I，R，E 四點(diǎn)共圓．又 A，F(xiàn)，I，E 四點(diǎn)共圓，得∠IRA=∠IEA=90°，從而 IR⊥AR，故 A，L，D 三點(diǎn)共線．

性質(zhì)9設(shè)△ABC的內(nèi)切圓為⊙I，點(diǎn)D，E，F(xiàn)依次為⊙I上3個點(diǎn)(點(diǎn)D在優(yōu)弧上，且與點(diǎn)A，I不共線)，EF與AI交于點(diǎn)K，且K為EF的中點(diǎn)，則E為AC與⊙I的切點(diǎn)(或F為AB與⊙I的切點(diǎn))的充要條件是△IDK∽△IAD．

證明如圖3，顯然AI⊥EF．

注意到∠EIK公用，得△IEK∽△IAE，即∠IEA=∠IKE=90°，因此 AE與⊙I切于點(diǎn)E，且AE為過定點(diǎn)與⊙I右側(cè)相切的直線，而這樣的直線是唯一的，于是E為AC與⊙I相切的切點(diǎn)．

同理可得，F(xiàn)為AB與⊙I的切點(diǎn)．

必要性當(dāng)E為AC與⊙I的切點(diǎn)時，則由對稱性(即K為EF中點(diǎn))知點(diǎn)F必為AB與⊙I的切點(diǎn)，反之亦真．此時，顯然有式(2)，即△IDK∽△IAD．

圖3

圖4

推論4設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別切邊BC，CA，AB于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，直線AD交內(nèi)切圓于點(diǎn)L，過點(diǎn)L作內(nèi)切圓的切線分別與直線DF，DE，BC交于點(diǎn)S，T，G，則

證明如圖5，由性質(zhì)8，知F，E，G三點(diǎn)共線．設(shè)直線AD與EF交于點(diǎn)H，則由性質(zhì)10知

過點(diǎn)H作XY∥BC交直線DF于點(diǎn)X，交直線DE于點(diǎn) Y，則

由上即知點(diǎn)H為XY的中點(diǎn)，過點(diǎn)L作IJ∥XY交直線DF于點(diǎn)I，交直線DE于點(diǎn)J，則知點(diǎn)L為IJ的中點(diǎn)，即 IL=LJ，于是

圖5

圖6

推論5設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別切邊BC，CA，AB于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，連結(jié)AD交內(nèi)切圓于點(diǎn)L，過點(diǎn) L作內(nèi)切圓的切線分別與直線DF，DE交于點(diǎn)S，T，則直線AD，BT，CS共點(diǎn)．

證明當(dāng)ST∥BC時，可知△ABC為等腰三角形，此時結(jié)論顯然成立．

當(dāng)ST與BC不平行時(如圖6)，可設(shè)直線ST與直線BC交于點(diǎn)G，于是由性質(zhì)8知F，E，G三點(diǎn)共線．

由性質(zhì)10證明中的式(4)，可知

又由推論4，知

設(shè)BT交AD于點(diǎn)X，CS交AD于點(diǎn)X'，則對△DGL及截線BXT、對△DGL及截線CX'S分別應(yīng)用梅涅勞斯定理，得

由上式知點(diǎn)X與X'重合，故直線AD，BT，CS共點(diǎn)．

注性質(zhì)10及推論4中的結(jié)論，應(yīng)用線段的調(diào)和分割性質(zhì)證明更為簡捷．

性質(zhì)11設(shè)△ABC的內(nèi)切圓⊙I分別切邊BC，CA于點(diǎn)D，E，直線 DI交⊙I于另一點(diǎn) P，直線AP交邊AB于點(diǎn)Q，點(diǎn)S在邊AC上，BC與AQ交于點(diǎn)L，則SC=AE的充要條件是AP=LQ．

圖7

過點(diǎn)P作B'C'∥BC交AB于點(diǎn)B'，交AC于點(diǎn)C'，則 B'C'為⊙I的切線．設(shè) r，rA分別為△AB'C'與△ABC在∠BAC內(nèi)的旁切圓半徑，S△為△ABC的面積，則

必要性當(dāng)SC=AE時，SA=CE，對△AQC及截線BLS應(yīng)用梅涅勞斯定理，得

圖8

性質(zhì)12設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別切邊BC，CA，AB 于點(diǎn) D，E，F(xiàn)，直線 FD，DE，EF 分別與直線CA，AB，BC 交于點(diǎn) U，V，W，則 U，V，W 三點(diǎn)共線．

證明 若 FE∥BC，則視 W為無窮遠(yuǎn)點(diǎn);當(dāng)UV∥BC時，也視U，V，W三點(diǎn)共線．

當(dāng)FE與BC不平行時，如圖8．分別對△AFE及截線WBC、對△BDF及截線UAC、對△DCE及截線VAB應(yīng)用梅涅勞斯定理，得

注意到AF=AE，BF=BD，CD=CE，上述3個式子相乘，得對△DEF應(yīng)用梅涅勞斯定理的逆定理，知U，V，W三點(diǎn)共線．

注U，V，W三點(diǎn)所在的直線稱為勒莫恩(Lemoine)線．

下面介紹幾個應(yīng)用的例子．

例1已知△ABC的內(nèi)切圓W分別切邊BC，AC 于點(diǎn) D1，E1，D2，E2分別在 BC，AC 上，且 CD2=BD1，CE2=AE1．記 AD2與 BE2的交點(diǎn)為P，圓W 與AD2相交點(diǎn)中離A較近的點(diǎn)為Q，求證:AQ=D2P．

(2001年第30屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題)

證明如圖9，設(shè)圓W的圓心為I．因為CD2=BD1，所以由性質(zhì) 5，知 D1，I，Q 三點(diǎn)共線．再由性質(zhì)11，知當(dāng) CE2=AE1時，AQ=D2P．

圖9

圖10

例2設(shè)I是△ABC的內(nèi)心，且⊙I與AB，BC分別切于點(diǎn)X，Y，XI與⊙O交于另一點(diǎn)T，X'是AB與CT的交點(diǎn)，L在線段X'C上，且X'L=CT．證明:當(dāng)且僅當(dāng)A，L，Y三點(diǎn)共線時，AB=AC．

(2003年第20屆伊朗數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題)

證明如圖10，設(shè)直線AL交BC于點(diǎn)Y'．由性質(zhì)11，知當(dāng) X'L=CT 時，BY'=CY．于是 A，L，Y 三點(diǎn)共線，即Y'與Y重合，Y為BC的中點(diǎn)，從而AB=AC．

例3設(shè)△ABC是非等腰三角形，其內(nèi)切圓為圓Γ，圓Γ與3條邊BC，CA，AB分別切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)．若 FD，DE，EF 分別與 CA，AB，BC 交于點(diǎn) U，V，W，DW，EU，F(xiàn)V的中點(diǎn)分別為 L，M，N．證明:L，M，N三點(diǎn)共線．

(2008年印度國家隊選拔競賽試題)

證明如圖8，由性質(zhì)12知，U，V，W 三點(diǎn)共線．在四邊形 VUFE中(或完全四邊形 VUWFDE中)，應(yīng)用牛頓線定理，即知L，M，N三點(diǎn)共線．

例4設(shè)△ABC是非等腰非直角三角形，設(shè)點(diǎn)O是它的外接圓圓心，并且 A1，B1，C1分別是邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，點(diǎn) A2在射線 OA1上，使得△OAA1∽△OA2A，點(diǎn)B2和C2分別在射線 OB1和OC1上，使得△OBB1∽△OB2B和△OCC1∽△OC2C．證明:直線 AA2，BB2，CC2共點(diǎn)．

(1995年第24屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題)

證明如 圖 11，由 △OAA1∽ △OA2A，△OBB1∽△OB2B，△OCC1∽△OC2C 及性質(zhì)9，知A2B與⊙O相切于點(diǎn) B，A2C與⊙O相切于點(diǎn)C，B2C，B2A，C2A，C2B 分別與⊙O 相切于點(diǎn) C，A，A，B，于是⊙O是△A2B2C2的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為A，B，C．由切線長定理及應(yīng)用塞瓦定理，知 AA2，BB2，CC2三線共點(diǎn)．

圖11

圖12

例5在△ABC中，∠B≠∠C，△ABC的內(nèi)切圓⊙I與 BC，CA，AB 的切點(diǎn)分別為 D，E，F(xiàn)，記 AD與⊙I的不同于點(diǎn)D的交點(diǎn)為P．過點(diǎn)P作AD的垂線交EF于點(diǎn)Q，X，Y分別是AQ與直線DE，DF的交點(diǎn)．求證:A是線段XY的中點(diǎn)．

(2006年第16屆韓國數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題)

證明如圖12，記過點(diǎn)A且平行于BC的直線與過點(diǎn)P且與AD垂直的直線交于點(diǎn)Q'，直線DI與AQ'交于點(diǎn)U，直線PQ'與⊙I交于點(diǎn)V(V≠P)．由∠VPD=90°，知 D，I，V，U 四點(diǎn)共線．由∠BDI=90°，知∠AUI=90°．又∠AFI=90°= ∠AEI，知 A，F(xiàn)，I，E，U 五點(diǎn)共圓，記此圓為 W1．又由∠APV=90°=∠AUV，知 A，P，V，U 四點(diǎn)共圓，記此圓為 W2．注意到⊙I，圓W1，圓 W2兩兩相交的根軸 EF，PV，AU相交于一點(diǎn)(由∠B≠∠C知圓W1，圓W2，⊙I的圓心不共線)，而EF與PV相交于點(diǎn)Q，直線AU與PV交于點(diǎn)Q'，故Q與Q'重合，即QA∥BC．于是由推論3，知AX=AY，故A是線段XY的中點(diǎn)．

例6設(shè)⊙I為△ABC的內(nèi)切圓，切邊BC于點(diǎn)D，AB＞AC，連結(jié) AD交⊙I于點(diǎn) E，在 DE上取點(diǎn)F，使得 CF=CD，延長 CF交 BE于點(diǎn) G，則 GF=FC．

(2008年中國國家代表隊選拔賽試題)

證明如圖13，設(shè)⊙I分別切邊AB，AC于點(diǎn)P，Q，過點(diǎn)E的切線與直線BC交于點(diǎn)K．由性質(zhì)8，知P，Q，K三點(diǎn)共線，再注意到性質(zhì)10證明中的式(4)，可得

圖13

圖14

例7已知△ABC的中線AM交其內(nèi)切圓Γ于點(diǎn)K，L，分別過K，L且平行于BC的直線交圓Γ于點(diǎn) X，Y，AX，AY 分別交 BC 于點(diǎn) P，Q．證明:BP=CQ．

(第46屆IMO預(yù)選題，2006年伊朗國家隊選拔賽試題)

證明如圖14，設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，⊙I分別切邊BC，CA，AB 于點(diǎn) D，E，F(xiàn)，直線 DI與 EF 交于點(diǎn)T．由性質(zhì)6知，點(diǎn)T在AM上．設(shè)過點(diǎn)K，L的2條切線交于點(diǎn)S，則由性質(zhì)8，知 F，E，S共線．又由性質(zhì)10，知

設(shè)直線YL交AP于點(diǎn)Z，由KX∥YL，得

注意到等腰梯形YLXK中對角線KL及其兩底的公垂線為TI，從而

再注意式(8)，式(9)，可得

即知L是 YZ的中點(diǎn)，因此 M是QP的中點(diǎn)，故BP=CQ．

［1］ 沈文選．三角形內(nèi)切圓的幾個性質(zhì)及應(yīng)用［J］．中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2011(5):28-32．