●趙臨龍 (安康學(xué)院數(shù)學(xué)系 陜西安康 725000)

對偶原理下的Menelaus定理與Ceva定理的統(tǒng)一

●趙臨龍 (安康學(xué)院數(shù)學(xué)系 陜西安康 725000)

在歐氏幾何中，主要研究“三點共線”與“三線共點”問題的2個重要定理:梅內(nèi)勞斯(Menelaus)定理和塞瓦(Ceva)定理．而在射影幾何中，可利用對偶原理將梅內(nèi)勞斯定理和塞瓦定理統(tǒng)一起來，充分揭示兩者的本質(zhì)聯(lián)系．

1 Menelaus定理與Ceva定理

1．1 Menelaus定理

梅內(nèi)勞斯作為一名古希臘的天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家，關(guān)于圓中的弦撰寫了6本論著．這些著作和梅內(nèi)勞斯的許多其他著作都失傳了．幸運的是梅內(nèi)勞斯的3卷《球面幾何》以阿拉伯文保存了下來，這部著作在希臘三角學(xué)的發(fā)展中起著重要的作用．第3卷展示了當(dāng)時的球面三角學(xué)，著名的梅內(nèi)勞斯定理作為本書的重要基礎(chǔ)［1］．

命題 1(Menelaus定理)［1］一直線與△ABC的3條邊BC，CA，AB或延長線分別相交于點X，Y，Z，則

1．2 Ceva定理

塞瓦是意大利著名的經(jīng)濟(jì)學(xué)家、水利專家和幾何學(xué)家，曾在重心計算法的研究上獨樹一幟，并取得了卓越的成就．他在研究各種圖形的重心性質(zhì)時，同時得到了直線性質(zhì)，塞瓦定理正是在他本人所著的《直線論》一書中首先發(fā)表的［1］．

命題2(Ceva定理)［1］在△ABC內(nèi)任取一點O，直線 AO，BO，CO 分別交對邊于點 X，Y，Z，則

圖1

圖2

2 Menelaus定理與Ceva定理的統(tǒng)一

在射影幾何中，規(guī)定:平行線相交于無窮遠(yuǎn)(如通常的太陽“平行光”就是相交于無窮遠(yuǎn)點的“太陽”)［2］．

在射影幾何中，將一個命題的“點”換成“直線”，同時將“直線”換成“點”，并保持原有結(jié)構(gòu)關(guān)系不變，所得到的新命題與原命題是“互為對偶命題”，并且2個互為對偶命題有“同真假”性質(zhì)的對偶原理［2］．

這樣一來，可給出梅內(nèi)勞斯定理和塞瓦定理相統(tǒng)一的結(jié)論——互為對偶命題．

命題3△ABC的3個頂點A，B，C與該三角形相對應(yīng)的3條邊BC，CA，AB所在直線各依次有點 X，Y，Z，則點 X，Y，Z 共線的充要條件是:

命題4△ABC的3條邊BC，CA，AB所在直線與該三角形相對應(yīng)的3個頂點A，B，C各依次有直線 AX，BY，CZ，則直線 AX，BY，CZ 共點的充要條件是:

3 Menelaus定理與Ceva定理的推廣

在射影幾何中，還有另外2個研究“三點共線”與“三線共點”的定理互為對偶定理．

命題5(巴斯卡(Pascal)定理［3］)一六角形ABCDEF內(nèi)接于一條二次曲線Γ的充要條件是:這六邊形3雙對邊AB與DE，BC與EF，CD與FA的交點共線．

命題 6(布列安雙(Brianchon)定理［3］)一六邊形ABCDEF外切于一條二次曲線Γ的充要條件是:這六邊形3雙對角線AD，BE，CF共點．

特例(1)(命題5的退化形式)三邊形內(nèi)接一條二次曲線，則其3條邊與對頂?shù)那芯€的3個交點共線．

(2)(命題6的退化形式)三邊形外切一條二次曲線，則其3個頂點與對邊上的切點的3條連線共點．

3．1 定理的推廣

命題7△ABC的一條外接二次曲線Γ在三頂點 A，B，C 的切線依次是 AX，BY，CZ，則該三角形的3條邊BC，CA，AB與對頂切線3個交點X，Y，Z共線的充要條件是:

(梅內(nèi)勞斯定理的推廣)

命題8△ABC的一條二次曲線Γ在3條邊BC，CA，AB 所在直線的切點依次是 X，Y，Z，則該三角形3個頂點A，B，C與對邊切點3條連線 AX，BY，CZ共點的充要條件是:

(塞瓦定理的推廣)

2個命題只需要證明其中一個即可．如圖2，對于命題8，由特例(2)，得3條連線 AX，BY，CZ共點．又由塞瓦定理，得3條連線AX，BY，CZ共點的充要條件是:

3．2 定理的變形

(1)在命題7中，當(dāng)二次曲線Γ退化為圓時，是一道1989年新加坡數(shù)學(xué)競賽題;在命題8中，當(dāng)二次曲線Γ為橢圓時，是《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)》的“數(shù)學(xué)問題與解答”欄目中的問題 799［4］．

(2)在命題7中，當(dāng)二次曲線Γ退化為不在△ABC邊上的一點時，就是塞瓦定理;在命題8中，當(dāng)二次曲線Γ退化為不在△ABC頂點的一直線時，就是梅內(nèi)勞斯定理．

結(jié)論(2)正好反映了梅內(nèi)勞斯定理和塞瓦定理的內(nèi)在聯(lián)系，推廣的梅內(nèi)勞斯定理的退化是塞瓦定理;推廣的塞瓦定理的退化是梅內(nèi)勞斯定理．

(此文為陜西普通本科高等學(xué)校教學(xué)改革研究項目(09BY70);安康學(xué)院重點扶持學(xué)科《基礎(chǔ)數(shù)學(xué)》建設(shè)項目(AZXZ0107)．)

［1］ 張紅．?dāng)?shù)學(xué)簡史［M］．北京:科學(xué)出版社，2007．

［2］ 朱德祥．高等幾何［M］．北京:高等教育出版社，1983．

［3］ 趙臨龍，張小文．射影幾何中的共點線(共線點)定理的關(guān)系［J］．鞍山師范學(xué)院學(xué)報，2003(3):44-46．

［4］ 劉才華．?dāng)?shù)學(xué)問題與解答［J］．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)，2009(12):46-47．