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        美國中學(xué)生數(shù)學(xué)水準(zhǔn)如何——也談二階遞歸數(shù)列

        2011-02-01 06:30:10九頭鳥茶樓???/span>萬爾遐
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2011年12期
        關(guān)鍵詞:項的麗麗競賽

        九頭鳥茶樓???萬爾遐

        美國中學(xué)生數(shù)學(xué)水準(zhǔn)如何
        ——也談二階遞歸數(shù)列

        九頭鳥茶樓???萬爾遐

        1 愛數(shù)學(xué)不分初與高

        美國中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的水平如何?在國內(nèi)有很多傳說,其中有:美國中學(xué)數(shù)學(xué)水平很低,有許多中學(xué)生甚至不會乘法口訣.

        對于此說,我一直持懷疑態(tài)度.因此我在美國期間,特別留心與美國中學(xué)生接觸.

        這天我到德州大學(xué)徐步高教授家中作客,遇上一個機會,他家的老二叫麗麗的正在德州中學(xué)上美國的初中二年級.

        談話間,發(fā)現(xiàn)麗麗的數(shù)學(xué)水平不凡,比如她談到數(shù)列求和問題.這在中國應(yīng)該是高中學(xué)段的數(shù)學(xué)內(nèi)容.

        為進(jìn)一步了解她的水平,我當(dāng)場口述了一個題目:

        有個無窮數(shù)列,它的第一項是1,第二項是3,第三項是第二項與第一項的差即是2;第四項是第三項與第二項的差即是-1.就這樣下去,以后每一項都是前1項與前2項的差.試求這個數(shù)列前100項的和.

        席間無紙墨,顯然要靠心算口述.

        不到3分鐘,麗麗脫口說出:答案是5,就是這個無窮數(shù)列前4個數(shù)的和!

        全場驚訝,因為這道題出自1985年美國高中數(shù)學(xué)競賽.

        這豈不是說,麗麗這個初中生已經(jīng)跨越了學(xué)段,達(dá)到了高中數(shù)學(xué)水平嗎!

        我笑著說:有其父必有其女!

        麗麗的父親,今天的徐教授曾是萬老師的啟蒙學(xué)生,在當(dāng)年的數(shù)學(xué)競賽中曾多次奪得冠軍.麗麗更出語驚人,她說她爸爸的數(shù)學(xué)“不怎么樣”!我們聽了更是高興,由此可知麗麗現(xiàn)在的數(shù)學(xué)水平.

        2 愛數(shù)學(xué) 不分師與生

        我問麗麗:課堂上,老師講過這樣的數(shù)列沒有?

        答:課堂上沒有講過,但我們在課外知道了這樣的數(shù)列.

        問:在課外什么地方知道的?

        答:校內(nèi)、外有各種數(shù)學(xué)活動,包括數(shù)學(xué)講演,數(shù)學(xué)謎宮,還有數(shù)學(xué)比賽等等.

        問:是誰組織的?

        答:是我們這些喜歡數(shù)學(xué)的同學(xué)自己組織的,有時也有老師參加.其實,老師知道的并不比我們多!

        問:老師知道的并不比你們多!你能舉個例子嗎?

        答:例子嗎?比如您前面說的那個數(shù)列——

        有個無窮數(shù)列,它的第一項是a,第二項是b,第三項是第二項與第一項的差即是b-a;第四項是第三項與第二項的差即是-a.就這樣下去,以后每一項都是前1項與前2項的差.試求這個數(shù)列前120項的和.

        老師問,需要計算器嗎?我們笑了:不需要計算器,可以看出答案是0!

        問:怎么看出答案是0的?

        答:你看,第四項-a已經(jīng)是第一項a的相反數(shù)了,那么第五項就應(yīng)該是第二項的相反數(shù)-b,第六項就應(yīng)該是第三項的相反數(shù)a-b.

        于是,這個數(shù)列前6項和就是0,前120項的和當(dāng)然也是0!

        問:啊呀,我算服了你們,我也服了你們的那位老師,因為“他知道的并不比你們多!”你既然這樣喜歡數(shù)學(xué),那么將來想去干什么,將來想當(dāng)數(shù)學(xué)家嗎?

        答:沒有想這些,現(xiàn)在只知道數(shù)學(xué)很好玩.

        ……

        回國之后,面對我國中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“盛況”,不禁自問:

        那些夜以繼日備課上課的教師們,為什么那樣樂于替代學(xué)生學(xué)習(xí)?

        3 初中生能解的高考題

        我國的許多高考題,實際上是初中問題,比如下面的這道高考題:

        定義在R上的函數(shù)f(x)滿足

        這本來是道數(shù)列問題,高考出題人為了增加考題難度,人為地扯到了“函數(shù)問題”.

        按“美國初二學(xué)生麗麗”敘述問題的方式,則是:

        有個無窮數(shù)列,它的第一項是1,第二項是0,第三項是第二項與第一項的差;第四項是第三項與第二項的差即是-1.就這樣下去,以后每一項都是前1項與前2項的差.試求這個數(shù)列的第2011項.

        按“美國初二學(xué)生麗麗”解決問題的方法,則是:

        2011=6×335+1

        所以,第2011項 =第1項 =1.即中國考題答案f(2009)=1.

        華羅庚先生說:神奇化易是良訓(xùn),易化神奇不足提!

        而我國當(dāng)前的高考命題,經(jīng)常干出這種“易化神奇”的勾當(dāng).比如上面的這道高考出題,就在這樣地“易化神奇”:

        在出題人看來,把簡單表示成復(fù)雜,就是難度;能把整數(shù)1和0用對數(shù)式表示,就能體現(xiàn)高中數(shù)學(xué)水平!

        4 初中生能解的高賽題

        賽題 一列整數(shù)a1,a2,a3,……,對每個n等于或大于3 都有 an=an-1- an-2,若該數(shù)列的前 1492 項的和為1985,前1985項的和為1492,那么前2001項的和是多少?

        這是美國的一道數(shù)賽題目,不分初中高中.在中國,有許多數(shù)賽培訓(xùn)教材引進(jìn)了這道題目,并研究出許多讓初中生、高中生也看不懂的解法,如什么“特征根法”或“復(fù)數(shù)通項法”.

        “初二學(xué)生麗麗”雖然不知道這些“妙法”,但我相信,她能輕松地解答此題,因為她很會加、減法!

        略解 設(shè)第一項a,第二項b,則第三項為b-a;而第四項到第六項依次為前三項的相反數(shù),所以S6=0.

        我體會到:美國數(shù)賽,重在活動;中國數(shù)賽,重在功利!

        美國數(shù)學(xué)競賽的教材,比較重視數(shù)學(xué)過程,重視問題的提出;中國數(shù)學(xué)競賽的教材,比較重視結(jié)果,重視問題的解答.

        比如上面這道數(shù)學(xué)競賽題,在美國看到的相關(guān)材料是:這個問題是怎么產(chǎn)生的?我能發(fā)現(xiàn)這個問題嗎?我還能想到什么問題?

        而在中國看到的相關(guān)材料是:這個問題是怎么解答的?我能解答這個問題嗎?我還能想到什么更妙的解法?

        于是,在相關(guān)的教材上,出現(xiàn)了對此題的各式各樣的奇妙解法.比如:

        慢說是初中生,就是沒有經(jīng)過專門訓(xùn)練的普通高中生走到這里,也只能望而止步了.數(shù)學(xué)競賽在中國已經(jīng)成了職業(yè)賽,與大眾無緣!

        20110523)

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