張九鑄

(金川集團(tuán)公司龍門學(xué)校 甘肅 金昌 737100)

1 問題的提出

一般力學(xué)教材中都有這樣的實(shí)例：一人站立在繞豎直定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的水平轉(zhuǎn)臺(tái)上(設(shè)其身體的對(duì)稱軸沿著轉(zhuǎn)臺(tái)的定軸)，兩手各握一個(gè)啞鈴，并且兩臂平伸，起初人與轉(zhuǎn)臺(tái)一起以角速度ω0轉(zhuǎn)動(dòng)(圖1).現(xiàn)將兩臂收縮，整個(gè)系統(tǒng)的角速度將增大[1～2].這就是茹科夫斯基凳實(shí)驗(yàn)(一般的茹科夫斯基凳是可以轉(zhuǎn)動(dòng)的椅子).

圖1

一般文獻(xiàn)都將此類現(xiàn)象作為角動(dòng)量守恒的典型實(shí)例.但是，文獻(xiàn)[2]在解釋整個(gè)系統(tǒng)的角速度的變化時(shí)，將具體原因歸結(jié)為啞鈴或人受到的科里奧利力.文獻(xiàn)[3]解釋了類似的實(shí)例：舞蹈表演或滑冰表演中，演員常繞自身軸轉(zhuǎn)動(dòng).如果此時(shí)將雙手抱于胸前，其旋轉(zhuǎn)就會(huì)加快[3].文獻(xiàn)[3]在解釋時(shí)選擇了如圖2所示的物理模型(細(xì)繩通過桌面上的小孔向下拉小球).筆者認(rèn)為，這種簡(jiǎn)化顯得過于粗糙.因?yàn)?，如果將人的兩臂?jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)，并且認(rèn)為兩臂和軀干之間只存在沿著繩子的徑向力，則雖能使角動(dòng)量守恒，但受力情況與實(shí)際情況可能有差別.

下面，筆者主要對(duì)前一實(shí)例進(jìn)行定量討論，給出轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度、角加速度的表達(dá)式及引起轉(zhuǎn)臺(tái)角速度變化的力的表達(dá)式，討論系統(tǒng)動(dòng)能的變化.后一實(shí)例的實(shí)質(zhì)其實(shí)與前一實(shí)例相同.

圖2

2 簡(jiǎn)化模型

將轉(zhuǎn)動(dòng)平臺(tái)、人和啞鈴組成的系統(tǒng)簡(jiǎn)化為如圖3所示模型：設(shè)轉(zhuǎn)臺(tái)上沿著直徑刻有直槽AB，兩個(gè)小球沿著直槽趨向轉(zhuǎn)軸O.某一時(shí)刻t，其中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)P1的相對(duì)速度為vr，與O的距離為r.以豎直向上為轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)正向，轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度為ω，角加速度為β.忽略轉(zhuǎn)軸受到的摩擦力矩.

以地面為參考系.首先只研究小球P1的運(yùn)動(dòng).P1做平面曲線運(yùn)動(dòng).建立平面極坐標(biāo)系，如圖3所示，er，eφ是徑向和橫向單位矢量.設(shè)P1受到直槽的橫向推力為N，同時(shí)受到徑向作用力Fr，其方向假定如圖3所示.P1的橫向加速度為

(1)

圖3

由牛頓第二定律可知

(2)

其中，vr是vr的模.設(shè)轉(zhuǎn)臺(tái)繞定軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IO，由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理，對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)有

將式(2)代入上式，整理得到

(3)

4mωrdr=-(IO+2mr2)dω

(4)

設(shè)P1的初始運(yùn)動(dòng)條件為t=0時(shí)，r=r0，ω=ω0，對(duì)上式分離變量求積分，得到

(5)

顯然，式(5)正是對(duì)整個(gè)系統(tǒng)運(yùn)用角動(dòng)量守恒定律的結(jié)果.將式(5)代入式(3)得

(6)

式(5)和(6)均表明，轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度和角加速度都隨r的減小而增大.將式(5)、(6)代入式(1)，求得P1的橫向加速度和受到直槽的橫向力為

(7)

和

(8)

式(7)和(8)中負(fù)號(hào)說明aφ和N的實(shí)際方向與轉(zhuǎn)臺(tái)運(yùn)動(dòng)方向相反，或者說直槽受到的反作用力方向與轉(zhuǎn)臺(tái)運(yùn)動(dòng)方向相同，該力的力矩正是驅(qū)使轉(zhuǎn)臺(tái)角速度增加的原因.

將式(5)代入求積分，有

可見，系統(tǒng)的內(nèi)力做正功，系統(tǒng)的動(dòng)能增加.

3 現(xiàn)象的解釋

圖4

對(duì)于圖樣滑冰運(yùn)動(dòng)員在旋轉(zhuǎn)中收縮雙臂的情形，可以將上述模型略作變化，如圖4所示.設(shè)人的胳膊由一個(gè)質(zhì)點(diǎn)m和一個(gè)細(xì)桿組成，上述分析同樣適用.

1 蔡伯濂.力學(xué).長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，1985.234

2 (美)費(fèi)因曼，萊頓，桑茲著.鄭永令，等譯.費(fèi)恩曼物理學(xué)講義.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2006.202～203

3 梁昆淼.力學(xué)(上冊(cè)).北京：高等教育出版社，2010.148～149