許新勝 張雪
(安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院 安徽 蕪湖 241000)
牛頓第二定律是經(jīng)典力學(xué)的核心,僅成立于慣性系[1].我們知道,對(duì)于地面上的宏觀低速運(yùn)動(dòng),在一定精度范圍內(nèi),地球以及地球上相對(duì)于地球靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)的參照系都可看成慣性系,而相對(duì)于地球有加速度的參照系是非慣性系.對(duì)于一些復(fù)雜的運(yùn)動(dòng),如果相對(duì)于地面的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)比較復(fù)雜,物理圖像不太清楚,這時(shí)可以考慮在非慣性系中處理問(wèn)題.但是,在非慣性系中處理力學(xué)問(wèn)題就要牽涉到慣性力.
設(shè)非慣性系的牽連加速度為a牽,物體相對(duì)非慣性系的加速度為a相,則物體相對(duì)慣性系中的絕對(duì)加速度為
a絕=a相+a牽
(1)
如果物體質(zhì)量為m,受到的合外力為F,則由牛頓第二定律可知
F=ma=m(a相+a牽)
(2)
(2)式改寫成
F+(-ma相)=ma牽
(3)
令F慣=-ma相
(4)
則有F+F慣=ma牽
(5)
(5)式即平動(dòng)非慣性系中的“牛頓第二定律”[2].其中,F(xiàn)慣大小為物體的質(zhì)量與非慣性系加速度a相的乘積,方向與非慣性系平動(dòng)加速度a相相反.非慣性系中的牛頓第二定律表明,物體的質(zhì)量與相對(duì)非慣性系的加速度的乘積等于物體受所有外力(包括慣性力)的合力.
應(yīng)用慣性力,需要注意以下幾點(diǎn):
(1)慣性力是一種假想的力,沒(méi)有施力物體,也沒(méi)有反作用力;
(2)慣性力與其他實(shí)際作用的力,如重力、拉力、彈力等,地位相同;
(3)慣性力能做功、有沖量,在非慣性系中引入慣性力后,動(dòng)能定理、動(dòng)量定理依然成立.
下面舉幾個(gè)在非慣性系中引入慣性力來(lái)求解力學(xué)問(wèn)題的具體實(shí)例.
【例1】如圖1所示,在光滑水平桌面上放有一質(zhì)量為M的光滑斜面體A,其光滑斜面上端放一質(zhì)量為m的小物塊B(可視為質(zhì)點(diǎn)),斜面傾角為θ.試求小物塊B從A頂端下滑到底端過(guò)程中兩者之間的相互作用力.
圖1
解析:斜面體A不固定,使得小物塊B在沿斜面下滑的過(guò)程中還會(huì)跟隨斜面體A向左運(yùn)動(dòng),小物塊B相對(duì)地面的運(yùn)動(dòng)比較復(fù)雜,物理圖像不太清晰.下面以斜面體A為參照系來(lái)考察小物塊B的運(yùn)動(dòng)從而求解.由于斜面體A有向左的加速度,故求解過(guò)程中需要引入慣性力.
設(shè)A與B之間的相互作用力為N,A相對(duì)地面的加速度為a相,則在斜面體參照系中,B還受慣性力F慣作用,如圖2所示.即
F慣=-ma相
(6)
對(duì)A,由水平方向的牛頓第二定律可得
Nsinθ=Ma相
(7)
對(duì)B,在斜面體A參照系中,沿垂直于斜面的方向小物塊受力平衡,有
N+F慣sinθ=mgcosθ
(8)
由(6)、(7)、(8)式可解得
圖2
【例2】如圖3所示,質(zhì)量為M的金屬板置于光滑地面上,板中央有一光滑轉(zhuǎn)動(dòng)軸O,軸上連著一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕桿,桿的上端固定有一質(zhì)量為m的小球,且m 圖3 解析:系統(tǒng)水平方向不受外力,初始狀態(tài)系統(tǒng)水平動(dòng)量為零,又由于桿不可伸長(zhǎng),末狀態(tài)球與金屬板兩者水平速度相同,設(shè)共同的水平速度為v1,由動(dòng)量守恒定律可知 (M+m)v1=0 (9) 即 v1=0 設(shè)小球豎直速度為v2,由于地面支持力及桿中內(nèi)力不做功,由機(jī)械能守恒定律可得 當(dāng)前城市規(guī)劃由于建設(shè)速度過(guò)快,造成大量的噪音污染和城市建筑垃圾的污染,這些污染造成了城市空間的緊張,尤其是城市建筑垃圾的堆積問(wèn)題。良好的生態(tài)環(huán)境是城市發(fā)展的基礎(chǔ)條件,沒(méi)有了生態(tài)環(huán)境,城市建設(shè)便無(wú)從談起。同時(shí),良好的生態(tài)環(huán)境也是評(píng)價(jià)一座城市是否適宜人們居住的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)。城市空間是否合理,城市交通是否便利,這些因素常常被人所重視,被認(rèn)為是城市居住的重要條件,實(shí)際上生態(tài)環(huán)境的優(yōu)劣才是決定城市是否宜居的根本標(biāo)準(zhǔn)。 (10) 對(duì)于桿轉(zhuǎn)過(guò)90°時(shí)的末態(tài),m相對(duì)M的運(yùn)動(dòng)可看作轉(zhuǎn)動(dòng),轉(zhuǎn)動(dòng)速度為v2,此時(shí)桿中有張力設(shè)為T,如圖4所示,M加速度不為零,以M為參照系,球還受到水平向左的慣性力作用.于是有 (11) 又由牛頓第二定律可得 (12) 由(10)、(11)、(12)式解得 圖4 【例3】一個(gè)小滑塊放在半徑為R的光滑半球頂部,如圖5所示.由于輕擾,它開(kāi)始由靜止下滑.求在下列情況下,它離開(kāi)球面時(shí),離半球底面的高度h. 圖5 (1)半球面以10 m/s 的速度勻速上升; 圖6 (1)半球面勻速上升時(shí),半球面為慣性系.滑塊在半球上滑動(dòng)時(shí)的受力如圖6所示,由動(dòng)能定理及牛頓第二定律可得 (13) (14) 設(shè)脫離位置對(duì)應(yīng)的角度為θ0,此時(shí) N=0 (15) 由(13)、(14)、(15)式解得 即脫離時(shí) 圖7 (2)半球面勻加速上升時(shí),半球面為非慣性系,滑塊在半球面上滑動(dòng)時(shí)要受到向下的慣性力的作用,如圖7所示,即 (16) 由動(dòng)能定理及牛頓第二定律可得 (17) (18) 設(shè)脫離位置對(duì)應(yīng)的角度為θ0,仍有 N=0 (19) 由(16)~(19)式解得 即脫離時(shí) (3)半球面勻加速向右運(yùn)動(dòng)時(shí),半球面為非慣性系,滑塊在半球面上滑動(dòng)時(shí)要受到向左的慣性力的作用,如圖8所示,即 (20) 圖8 另外,由動(dòng)能定理及牛頓第二定律可得 (21) (22) 設(shè)脫離位置對(duì)應(yīng)的角度為θ0,仍有 N=0 (23) 由(20)~(23)式解得 cosθ0=0.81 或 cosθ0=0.44 cosθ0=0.44 不符合實(shí)際意義,故可舍去.于是小球脫離球面時(shí)有 h=0.81R 從上述幾個(gè)典型的例子可見(jiàn),小物塊或小球相對(duì)慣性系(地面)的運(yùn)動(dòng)都很復(fù)雜,物理過(guò)程難以把握,若在地面慣性系中求解有一定的難度.但在平動(dòng)非慣性系中,引入慣性力,則物理圖像變得清晰,物理過(guò)程變得容易理解,平衡方程或圓周運(yùn)動(dòng)的牛頓第二定律就可以應(yīng)用,從而使問(wèn)題的求解變得簡(jiǎn)單. 參考文獻(xiàn) 1 程守洙,江之水.普通物理學(xué)(第五版).北京:高等教育出版社,1998 2 周衍柏.理論力學(xué)教程(第三版).北京:高等教育出版社,20093 小結(jié)