蒲淑萍，李 萍

（1.淄博師范高等?？茖W校教育科學研究中心，山東淄博255130；2.淄博師范高等?？茖W校附屬小學，山東淄博255100）

一、問題提出

“用字母表示數(shù)”是學生由自然的“算術(shù)語言”向抽象的“代數(shù)語言”過渡的起始，是學生進入代數(shù)知識學習的入門知識，是學習方程、不等式等的重要基礎(chǔ)。大量的教學研究發(fā)現(xiàn)，學生對“用字母表示數(shù)”的認知存在困難，如薛文敘研究發(fā)現(xiàn)，對字母表示數(shù)很多學生“認為正數(shù)前面應(yīng)該是正號負數(shù)前面應(yīng)該是負號”；[1]蔡宏圣發(fā)現(xiàn)，學習“用字母表示數(shù)”后，請學生解答“四（1）班a人，四（2）班比四（1）班多6人，四（2）班有多少人”這樣的問題，結(jié)果卻有70%以上的孩子認為：缺少條件，不能解答；[2]虞琳娜在教學中發(fā)現(xiàn)，“比較‘5a’與‘3b’的大小時，一些學生始終認為‘5a＞3b’”，[3]等等?？梢钥吹?，學生對“用字母表示數(shù)”的認知水平與運用能力參差不齊，有著很大的差別。初一學生經(jīng)過小學階段的學習，是否還停留在最初的上述認知層面上？是否已基本達到了學習后繼知識的認知層次與能力要求？筆者對此進行了研究。

二、研究方法

本研究以測試為基礎(chǔ)，通過對初一新入學學生對“用字母表示數(shù)”的認知水平測試，利用SOLO分類理論對測試結(jié)果進行評價分析，以了解學生通過小學階段“用字母表示數(shù)”內(nèi)容的學習后，對基本教學要求的完成情況，為進一步學習方程、不等式等內(nèi)容做好充分的教學準備。

S0L0的英文全稱為Structure of the Observed Learning Outcome，即可觀測學習結(jié)果的結(jié)構(gòu)。SOLO的理論基礎(chǔ)是皮亞杰的發(fā)展階段學說，由著名教育心理學家比格斯（Biggs）教授及其同事經(jīng)過長期的研究和探索提出，是一種以等級描述為特征的質(zhì)性評價方法。SOLO分類法中的5個層次深刻描述了學生對知識的認知水平與認知程度。

（一）研究樣本

為摸清學生對“用字母表示數(shù)”內(nèi)容的認知情況，2010年9月2日我們對上海市某中學新入學的初一某班學生共55人進行測試，收回有效卷52份。該校是上海一所普通中學，每個年級所有班級均為平行班，所選樣本基本能夠反映上海市初一學生的一般情況。

（二）研究工具

《全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準》[4]中對“用字母表示數(shù)”的基本要求是：（1）在現(xiàn)實情境中，借助代數(shù)式進一步認知用字母表示數(shù)的意義；（2）能分析簡單問題中的數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示；（3）會求代數(shù)式的值；能根據(jù)特定的問題查閱資料，找到所需要的公式，并會代入具體的值進行計算。測試題從以上三項基本要求出發(fā)，編制如下：

（1）學校買了x只足球，每只24元；又買了5只籃球，每只y元，式子24x＋5y的意義是什么？

（2）已知圓的周長為r，那么圓的面積是多少？

（3）已知兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差，怎樣求這兩個數(shù)？請你設(shè)計一種情形，并給出解決辦法。

三、測試結(jié)果與分析

SOLO理論將學生學習的結(jié)果由低到高分為五個不同的層次，即：前結(jié)構(gòu)（Prestructural）、單一結(jié)構(gòu)（unistructural）、多元結(jié)構(gòu)（multitructural）、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)（relational）、拓展抽象結(jié)構(gòu)（extendedabstract）等。這五種水平的結(jié)構(gòu)復(fù)雜性按照一定的層級逐步提升，各個水平及其表現(xiàn)如下表：

表一 SOLO理論的各個水平及其表現(xiàn)

參照以上層次分類，我們分別對學生回答三道測試題的情況，對學生對“用字母表示數(shù)”的認知情況進行水平劃分與評價。

（一）理解用字母表示數(shù)的意義

測試題（1）主要為了了解學生對“用字母表示數(shù)的意義”的認知水平：

（1）學校買了x只足球，每只24元；又買了5只籃球，每只y元，式子24x＋5y的意義是什么？

前結(jié)構(gòu)水平（P）：

依照SOLO分類理論，處于這一水平的回答只包含一些不相關(guān)的信息，表現(xiàn)為拒絕或者沒有能力進入某一個問題的解決，如空白的回答，完全無關(guān)的回答，不合邏輯的回答等。

在本題中，部分學生填寫不知道、無，或者空白等，我們認定這樣的學生處于前結(jié)構(gòu)水平。

單一結(jié)構(gòu)水平（U）：

處于這一水平的回答只含一種運算，即只從問題的一個側(cè)面去思考問題。他們能從題目中獲取部分正確信息，但不全面或不完全正確。

比如，有學生認為24x＋5y表示的意義是“學校買了24只足球和5個籃球”；“學校買了x只足球和5個籃球”；“所有球的總價”；“買球總共花的錢”等等。

這樣的一些答案我們認為是單一結(jié)構(gòu)水平的回答。

多元結(jié)構(gòu)水平（M）：

多元結(jié)構(gòu)水平的回答含有依次進行的相關(guān)但又不相同的幾種運算。處于這一水平的學生回答，能夠意識到該式子表達的是購買兩種球，或認為購買兩種球的總價。這樣的學生能夠?qū)懗鲆环N相對完整的答案，但對整個式子表達的意義并不理解。以下幾種回答我們認為是多元結(jié)構(gòu)水平的回答：

（1）買x只足球和5個籃球；

（2）買足球與籃球的總價；

（3）買24只足球和5個籃球的總價。

關(guān)聯(lián)水平（R）：

關(guān)聯(lián)水平的回答表明學生解決問題過程包含著一些抽象思維的成分。要達到這個水平，學生需具備能夠搞清24x＋5y式子中每一個數(shù)字與字母的含義的能力，并能用完整、準確的語言表達式子意義的能力。筆者認為，答案中寫清“x只足球”、“5只籃球”以及“購買兩種球的價錢的總和”等信息的學生的認知水平達到了關(guān)聯(lián)水平。

擴展抽象水平（E）：

這一水平的回答純粹是抽象思維的結(jié)果，學生從己知信息中洞察到需要運用某一抽象的、在條件中并沒有明顯給出的一般原理。

學號為2010010825的學生給出的答案如下：

24x是購買x只足球的價錢，5y是購買5只籃球的價錢，所以這樣的式子就是買足球與籃球所需花費的錢的總和。

我們認為該生的回答經(jīng)過了一定的抽象思維，對“用字母表示數(shù)”意義的認知己經(jīng)達到了擴展抽象水平。

（二）分析數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示

測試題（2）主要為了考察學生對“分析問題中數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表達”的認知水平：

（2）已知圓的周長為r，那么圓的面積是多少？

一般的，在圓中，字母r通常代表半徑，但不絕對。當用字母表示數(shù)時，要求學生需具備弄清題目中字母的具體指代意義。本題著重考查學生對圓的半徑、面積、周長之間的數(shù)量關(guān)系用字母表示后學生的認知運用水平。

前結(jié)構(gòu)水平（P）：

同上述測試題（1）中前結(jié)構(gòu)水平的基本情況。

單一結(jié)構(gòu)水平（U）：

處于這一水平的回答只含一種運算，即只從問題的一個側(cè)面去思考問題。他們能從題目中獲取部分正確信息，但不全面或不完全正確。

本題的測試結(jié)果中出現(xiàn)了非常令人吃驚的現(xiàn)象，52位測試學生中，竟有27人自行將題目中的“周長”二字改換成了“半徑”，并隨后寫下答案：π·r2?？梢妼W生對于“字母r通常代表半徑”有著極其深刻的認識，顯示出學生的思維在“用字母表示數(shù)”方面有著極強的“功能固著”的做法，這應(yīng)引起數(shù)學教師的注意，要加強學生對字母表示數(shù)的意義的教學。

以上的這些答案與做法，我們將其歸入單一結(jié)構(gòu)水平的回答。

多元結(jié)構(gòu)水平（M）：

多元結(jié)構(gòu)水平的回答含有依次進行的相關(guān)但又不相同的幾種運算。處于這一水平的回答的學生，能夠意識到要求面積，需要先求半徑，然后求出面積等于等等。這些答案了解周長與半徑、面積與半徑的關(guān)系，但解答并不完整，甚至并不正確。這樣的學生能夠?qū)懗鲆环N相對完整的答案。

關(guān)聯(lián)水平（R）：

關(guān)聯(lián)水平的回答表明學生解決問題過程包含著一些抽象思維的成分。要達到這個水平，學生需具備“會利用圓的周長求其半徑——用半徑求出面積”的程序操作，能夠搞清字母的含義及圓的周長、面積公式，并能用完整、準確的計算過程寫出正確答案的能力。筆者認為，答案中寫清“π等形式的學生的認知水平達到了關(guān)聯(lián)水平。

擴展抽象水平（E）：

這一水平的回答純粹是抽象思維的結(jié)果，學生從己知信息中洞察到需要運用某一抽象的、在條件中并沒有明顯給出的一般原理。

（三）代數(shù)式求值問題，用字母解決問題

測試題（3）主要為了考察學生對“會求代數(shù)式的值；能根據(jù)特定的問題查閱資料，找到所需要的公式，并會代入具體的值進行計算”的認知與運用水平?？紤]到學生馬上開始初中的代數(shù)學習，本題還考察了學生對于靈活使用字母解決問題的能力，即字母可表示常數(shù)，也可表示變量的較高要求融于本題的設(shè)計思想中：

（3）已知兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差，怎樣求這兩個數(shù)？請你設(shè)計一種情形，并給出解決辦法。

前結(jié)構(gòu)水平（P）：

同上述測試題（1）中前結(jié)構(gòu)水平的基本情況。

單一結(jié)構(gòu)水平（U）：

處于這一水平的回答只含一種運算，即只從問題的一個側(cè)面去思考問題。他們能從題目中獲取部分正確信息，但不全面或不完全正確。

比如有學生的解答步驟只寫了：“a＋b＝ab，然后算出a＝0，b＝0”；或“（n＋m）－（n－m）÷2＝n，n＋（n－m）＝m”等，但這些解答沒有完整提取題目信息，解答不完整、不正確。

多元結(jié)構(gòu)水平（M）：

多元結(jié)構(gòu)水平的回答含有依次進行的相關(guān)但又不相同的幾種運算。處于這一水平的回答的學生，能夠意識到要求兩數(shù)，需要先通過消去一個、求得另一個的做法，然后求出第二個數(shù)等等，這些學生了解消元法求兩數(shù)的關(guān)系，但解答并不完整，甚至并不正確。這樣的學生能夠?qū)懗鲆环N相對完整的答案。如，一位學生的回答：關(guān)聯(lián)水平（R）：

關(guān)聯(lián)水平的回答表明學生解決問題過程包含著一些抽象思維的成分。要達到這個水平，學生需具備設(shè)出和差的具體值，并能用準確的計算過程使用消元法求出兩數(shù)、寫出正確答案的能力。近1／3的學生達到了關(guān)聯(lián)水平的認知與運用。該水平下學生的回答基本以以下形式出現(xiàn)：

擴展抽象水平（E）：

這一水平的回答純粹是抽象思維的結(jié)果，學生從己知信息中洞察到需要運用某一抽象的、在條件中并沒有明顯給出的一般原理。有9位學生的回答是如下情形：

這種回答是對上一水平回答的提升與抽象。能夠這樣解答的學生經(jīng)過了較高的抽象思維，對“用字母表示數(shù)”求代數(shù)式值的問題、利用字母解決問題的能力與認知水平己經(jīng)達到了擴展抽象水平。

（四）五個水平的小結(jié)

對于上述三個測試題，按照SOLO分類法對學生的回答進行分類后，再結(jié)合測試卷中學生具體的解答情況，總結(jié)如下：

表二 學生對“用字母表示數(shù)”的認知水平小結(jié)

以上分析均來自于測試卷答題情況，通過對小學階段其任課教師的簡短訪談，以上數(shù)據(jù)基本上能夠反映學生的認知水平。另外，針對文章開始提到的問題，如學生認為“5a＞3b”等問題，小學階段教師與初一任課教師均認為，該現(xiàn)象存在于學生對“用字母表示數(shù)”的初學階段。經(jīng)過小學階段的學習，升入初中一年級的絕大多數(shù)學生多數(shù)能正確理解這些較為初步的問題，認知水平基本達到了關(guān)聯(lián)水平及以上。

（五）學生對“用字母表示數(shù)”的認知發(fā)展過程

在SOLO理論的指導(dǎo)下，通過對學生“用字母表示數(shù)”的認知水平進行分析評價，我們可以得到對“用字母表示數(shù)”的認知的發(fā)展過程。如下表所示：

表三 學生對“字母表示數(shù)”的認知發(fā)展過程

四、研究結(jié)論與教學建議

（一）研究結(jié)論

對照以上分析與討論，可以看到經(jīng)過小學階段的較扎實地學習，絕大多數(shù)學生對“字母表示數(shù)”的認知水平達到了繼續(xù)學習更為復(fù)雜的代數(shù)式以及方程、不等式，甚至函數(shù)等內(nèi)容的基本要求。但也看到，還有約13%的學生“用字母表示數(shù)”的認知能力較弱，認知水平較低，這也需要教師在進一步教學中采取積極措施。如為這部分學生補習該部分內(nèi)容，強化他們對“用字母表示數(shù)”的認知與運用能力，才不致使他們在初中的代數(shù)學習過程中與其他學生拉開越來越大的距離，失去學習代數(shù)的信心與能力。對處于多元結(jié)構(gòu)水平及關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平的學生則需進一步訓練他們思維的深刻性，以及全面、準確地把握信息的能力。教師應(yīng)充分考慮學生的實際情況，設(shè)計多個梯度，為全體學生的進步與發(fā)展做好充分的教學準備。

（二）教學建議

1.加強字母意義的教學

測試（尤其測試題2）結(jié)果顯示，學生對字母的意義認識存在“功能固著”的現(xiàn)象，如，認為r只能代表圓的半徑。這也顯示出學生對字母表示數(shù)的意義認知還不夠深刻、完善，不能在特定的語義環(huán)境下正確提取信息，阻礙了學生對字母問題的正確認知與靈活應(yīng)用。

2.重視小學與初中的銜接問題

在小學，學生已認識了一些用字母表示的數(shù)、運算律、運算法則等，有了一定的基礎(chǔ)。到了初中，用字母表示數(shù)又成了初中代數(shù)學習的基礎(chǔ)，通過理解并掌握它，才能提高對代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等知識的認知。初中代數(shù)教學在開始部分宜引入小學學過的字母表示數(shù)的知識，學生看到自己熟悉的東西，會降低心里的抵觸心理；然后再使用歸納、類比思想，感知字母的真實含義；當有了充分的感知后，注意將文字語言與符號語言進行轉(zhuǎn)化。這樣進行教學設(shè)計，符合SOLO理論中各個層級結(jié)構(gòu)之間順序發(fā)展，符合學生從一個階段到下一階段的認知發(fā)展過程。

3.“用字母表示數(shù)”的教學應(yīng)注意層次漸進

學生從小學高年級開始接觸“用字母表示數(shù)”的代數(shù)問題，必須要遵循螺旋漸進的學習規(guī)律，才能化解學生對這一抽象知識的認知與把握。

數(shù)學的發(fā)展史告訴我們，字母表示數(shù)的過程，不是簡單的用字母代替文字的過程，而是具體數(shù)量符號化的過程。孩子們的認知發(fā)展可能各具特點，但總體上不可能違背人類認識提升的一般規(guī)律。因而結(jié)合人類認識提升的歷史階段看，孩子認識用字母表示數(shù)存在這樣的遞進關(guān)系：字母不僅可以表示未知數(shù)，還可以表示已知數(shù)；字母不僅可以表示特定的意義，還可以表示變化的數(shù)量；不僅可以在縮寫水平上運用字母，還可以在符號水平上運用字母。再深入地看，學生只有認知這個已知的數(shù)量在不斷的變化中，才能認知字母的符號概括作用。

[1] 薛文敘.關(guān)于學生對數(shù)和數(shù)的表示形式認知情況的案例研究[J].數(shù)學教育學報，2000，（8）.

[2] 蔡宏圣.數(shù)學視界，引領(lǐng)課堂走向深遠—“用字母表示數(shù)”教學的重構(gòu)[J].小學教學（數(shù)學版）2009，（7－8）.

[3] 虞琳娜.在自然的“表示”中感悟字母的含義——“用字母表示數(shù)”教學簡錄與思考[J].小學教學（數(shù)學版），2009，（1）.

[4] 中華人民共和國教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準（修訂稿）[S].北京：北京師范大學出版社，2007.