朱德同,沈益宏,孫世良

(徐州師范大學 數(shù)學科學學院,江蘇 徐州　221116)

0　引言

不等式在解決實際問題時候有重要的應用,在隨機控制中也有涉及到一些不等式.在此之前,韓玉良與俞元洪[1]通過改進已有文章[3-5]的結果,給出了含有兩個變量的積分不等式在非線性積分方程的解的有界性中的應用.本文將文[1]中含有兩個變量的積分不等式及其離散類似,推廣到含有三個變量的積分不等式及其離散類似.此外,我們還給出了它們在非線性積分方程的解的有界性中的應用.這在隨機控制中對解決一類有界性的問題中有著重要的應用. 下面就給出含有三個變量的積分不等式及其離散類似,并給出他們的證明.

1　主要結果及其證明

下面定理中所考慮的函數(shù)均為實值函數(shù),其中求和以及乘積均在其定義域內(nèi)進行,R表示實數(shù)集,R+=[0,+∞).且在定理3中,記N0={0,1,2,…}.

定理1設u(x,y,z),a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z)是R+×R+×R+上的非負連續(xù)函數(shù),p>1為常數(shù),若

(1)

則

(2)

證明定義函數(shù)

(3)

則式(1)為

up(x,y,z)≤a(x,y,z)+b(x,y,z)w(x,y,z)

(4)

即

易知E(x,y,z)關于變量x,y,z是非負連續(xù)函數(shù),且關于變量x和y是非減函數(shù),關于變量z是非增函數(shù).

若E(x,y,z)>0,則對于任意的x,y,z∈R+,利用E(x,y,z)的單調(diào)性有

(5)

不等式兩邊同除以v(x,y,z)得,

不等式兩邊關于x從0點積分得,(v(0,y,z)=1)

代入式(4)得到

從而結論(2)得證.

若E(x,y,z)≥0,則對任意小的ε>0,有E(x,y,z)+ε>0,在上面的運算中,我們以E(x,y,z)+ε>0來代替E(x,y,z)>0,然后再令ε→0,即可證得上述結論.

0≤F(x,y,z,u)-F(x,y,z,v)≤G(x,y,z,v)(u-v),u≥v≥0

(6)

(7)

則

u(x,y,z)≤[a(x,y,z)+b(x,y,z)H(x,y,z)

(8)

證明定義函數(shù)

(9)

則式(7)為

up(x,y,z)≤a(x,y,z)+b(x,y,z)w(x,y,z)

(10)

得

故帶入式(9)并利用式(6)得

顯然H(x,y,z)關于變量x,y,z是非負連續(xù)函數(shù),且關于變量x和y是非減函數(shù),關于變量z是非增函數(shù).

若設H(x,y,z)>0,則對于任意的x,y,z∈R+,有

(11)

若將上式右端函數(shù)記作v(x,y,z),則v(x,y,z)>0,且v(x,y,z)關于變量y是非減函數(shù),關于變量z是非增函數(shù),對x求偏導得

不等式兩邊除以v(x,y,z)得

不等式兩邊關于x從0點積分得 (注意到v(0,y,z)=1),

從而有

w(x,y,z)≤H(x,y,z)v(x,y,z)≤

代入式(10)得

u(x,y,z)≤

其中?x,y,z∈R+，從而結論(8)得證.

若H(x,y,z)≥0,則對任意小的ε>0,有H(x,y,z)+ε>0,在上面的運算中,如果我們以H(x,y,z)+ε>0來代替H(x,y,z)>0,然后再令ε→0,即可證得結論.

下面證明離散情形

定理3設u(x,y,z),a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z)(x,y,z∈N0)是非負函數(shù),p>1為常數(shù),若

(12)

則

(13)

證明定義函數(shù)

(14)

則式(12)為

up(x,y,z)≤a(x,y,z)+b(x,y,z)w(x,y,z)

(15)

故代入式(14)得

易知e(x,y,z)關于變量x,y,z是非負函數(shù),且關于變量x和y非減函數(shù),關于變量z是非增函數(shù),x,y,z∈N0.

若e(x,y,z)>0,則對于任意的x,y,z∈N0,利用上述單調(diào)性得

(16)

若將上式右端記作v(x,y,z),則v(x,y,z)>0,且v(x,y,z)關于變量y非減的,變量z是非增的,且有

[(v(x+1,y+1,z)-v(x,y+1,z))-(v(x+1,y,z)-v(x,y,z))]-

[(v(x+1,y+1,z+1)-v(x,y+1,z+1))-(v(x+1,y+1,z+1)-v(x,y,z+1))]=

又因為v(x,y,z)>0,v(x,y,z+1)≤v(x,y,z)≤v(x+1,y,z),同除以v(x,y,z+1).

故有

在上式中令z=t,且t=z,z+1,…,m-1(m≥z+1是N0中的任意整數(shù)),求和得

(17)

不等式兩邊關于y求和,y=s,則s=0,1,…,y-1,

又因為v(x,y,z)≤v(x+1,y,z),

從而有

即

注意到前面的約定v(0,y,z)=1,并將x換為r,從0到x-1積分得

代入式(16)得

代入式(15)得

u(x,y,z)≤

從而結論式(13)得證.

若e(x,y,z)≥0,則對任意小的ε>0,有e(x,y,z)+ε>0,在上面的運算中,以e(x,y,z)+ε>0來代替e(x,y,z)>0,然后再令ε→0,即可證得上述結論.

2　應用

例1考慮非線性積分方程

(18)

|f(x,y,z)|≤a(x,y,z)

(19)

|g(x,y,z,r,s,t,u(r,s,t))|≤b(r,s,z)c(x,y,z)|u(x,y,z)|

(20)

其中0≤r≤x,0≤s≤y,0≤t≤z,x,y,z∈R+,函數(shù)a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z)是R+×R+×R+上的非負連續(xù)函數(shù).設函數(shù)u(x,y,z)是方程(18)在x,y,z∈R+中的一個解.從(17)到式(19),有

(21)

利用定理1,由(21)可產(chǎn)生

(22)

其中E(x,y,z)如定理1中的定義.

易知式(22)的右端是已知函數(shù)給出的方程(18)的解的界.顯然,我們可以看到由上面定理得到的解的界是不依賴于未知函數(shù)的.

在偏微分方程和偏差分方程解的有界性、連續(xù)性、依賴性和一些其它性質(zhì)的研究中,本文的定理還有很多重要應用,此處就不再逐一介紹了.

參考文獻：

[1]韓玉良,俞元洪. 兩個新的積分不等式及其離散類似[J]. 數(shù)學研究與評論,2007,27(4):781-786.

[2]匡繼國. 常用不等式[M]. 濟南: 山東科學技術出版社,2004,136-137.

[3]Klari C M,Neuman E,Pecaric J,et al. Hermite-Hadamard's inequalities for multivariate g-convex functions[J].Math Inequal Appl,2005,8(2):305-316.

[4]Mitrinovic D S. Analytic Inegualities[M]. Spinger-Verlag,New York-Bolin,1970.

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