陳丙凱,卞鴻亞,關(guān)　琦

(中國礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,江蘇 徐州　221008)

0　引言

理想的研究對(duì)于李代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究有重要意義.近些年來,很多文章已經(jīng)研究了李代數(shù)的結(jié)構(gòu).值得注意的是,從李代數(shù)的理想著手研究李代數(shù)結(jié)構(gòu)是比較常用的方法,近年來得到研究者們的重視,也獲得了不少研究成果[1-8].如Gauger[1]第一次研究了冪零李代數(shù)上的2維中心可換理想. Benito.M.P等[2]證明了L是域上的一個(gè)李代數(shù),若L的維數(shù)大于1并且L不是單李代數(shù),L有唯一的極大理想Benito.M.P[3]證明了在特征為0的代數(shù)閉域和實(shí)數(shù)域上的可解李代數(shù)完全分類并且他們的理想最多是5個(gè).Belitskii.G[4]研究了3維的中心可換理想. Fang C Y[5]研究了一類復(fù)雜的單李代數(shù)的ad-冪零理想.Bartolone.C在文[6]中完全分類了含有2維非中心可換理想的冪零李k-代數(shù).最近Towers[7,8]研究了在域上的李代數(shù)的極大子代數(shù).而研究李代數(shù)的極大理想問題得文章都比較少,特別是在環(huán)上研究李代數(shù)的極大理想的工作很少研究.本文受此啟發(fā),給出了在含幺可換環(huán)且2和n可逆上的一般線性李代數(shù)的完全分類.

現(xiàn)在給出一些定義.假設(shè)R是含幺可換環(huán),I是R的極大理想,則我們定義R/I是R關(guān)于I的剩余典型域.Mm×n(R)定義為R上的所有m×n階矩陣的集合.Mn×n(R)縮寫成Mn(R).如果括積運(yùn)算定義成[x,y]=xy-yx,則Mn(R)變成了李代數(shù),我們稱它為一般線性李代數(shù)用gln(R)來表示.gln(R)有一組包含矩陣eij的標(biāo)準(zhǔn)基,其中eij表示在(i,j)處是1其他處全是0的矩陣.因?yàn)閑ijekl=δjkeil,所以[eij,ekl]=δjkeil-δliekj.現(xiàn)在假設(shè)當(dāng)i≠j時(shí),Eij=eij,

1　預(yù)備知識(shí)

因?yàn)?/p>

因此

這時(shí)有

[(xii-xjj)(eii-ejj),eii+1]=(xii-xjj)eii+1∈X,

所以

[(xii-xjj)eii+1,ei+1i]=(xii-xjj)(eii-ei+1i+1)∈X.

現(xiàn)在我們構(gòu)造兩類關(guān)于gln(R)的極大理想．假設(shè)R是含幺可換環(huán)且在2和n處可逆,I是R的極大理想.

3　 主要結(jié)果

若當(dāng)p=q使得ypp?I.我們由引理1知,有yppEpp∈X.所以[ypp(epp-ep+1p+1),epp+1]=2yppepp+1∈X.而我們由前面得證當(dāng)p≠q時(shí),有X=gln(R).

因此綜上可得M1(Aij)是gln(R)一個(gè)極大理想.證畢.

下面這個(gè)定理考慮當(dāng)R是一個(gè)域上時(shí),我們給出了gln(R)所有的極大理想.

定理1假設(shè)R是一個(gè)域且在2和n出特征不為0.則X是gln(R)的極大理想當(dāng)且僅當(dāng)X=sln(R)或者X=φ(R).其中sln(R)表示包含所有跡為0的n×n階矩陣的集合,φ(R)表示包含所有n×n階純量陣的集合.

若當(dāng)p=q=n時(shí),X?sln(R).由X是gln(R)的一個(gè)極大理想,所以當(dāng)p=q=n時(shí),X=sln(R).證畢.

下面這個(gè)定理考慮當(dāng)R是一個(gè)含幺可換環(huán)上時(shí),我們給出了gln(R)所有的極大理想.

應(yīng)用定理2,當(dāng)(p,q)≠(n,n),σ(X)=AnnEnn=φ(R),這里Ann=R.應(yīng)用σ-1我們得到

X+gln(I)=AnnEnn+gln(I)=φ(R)+gln(I).事實(shí)上AnnEnn+gln(I)=φ(R)+gln(I)就是M1(Aij).所以我們得到X?X+gln(I)=M1(Aij).由假設(shè)知X是gln(R)的一個(gè)極大理想,所以當(dāng)(p,q)≠(n,n)時(shí),我們得到X=M1(Aij).

反例1

在假設(shè)n≥3,R是含幺可換環(huán)且的特征是n.

參考文獻(xiàn)：

[1]Gauger M. On the classi-ation of metabelian Lie algebras[J]. Trans Amer Math Soc,1973,179:293-329.

[2]Benito M P. Lie algebras in which the lattice formed by the ideals is a chain[J]. Comm Algebra,1992,20(1):93-108.

[3]Benito M P. Lie Algebras With a Small Number of Ideals[J]. linear algebra and its applications,1992，177: 233-249 .

[4]Belitskii G,Lipyanski R,Sergeichuk V V. Problems of classifying associative or Lie algebras and triples of symmetric or skew-symmetric matrices are wild[J]. Linear Algebra Appl,200,407:249-262.

[5]Fang C Y. Ad-nilpotent ideals and equivalence relations[J]. Journal of Algebra,2010,323:2016-2025.

[6]Bartolone C,Di Bartolo A,Falcone.G Nilpotent Lie algebras with 2-dimensional commutatorideals[J]. Linear Algebra and its Applications,2011,434:650-656.

[7]Towers D A. Maximal subalgebras of Lie algebras containing Engel subalgebras,arXiv:1004-5005v1[R]. 28 Apr,2010.

[8]Towers D A,Supplements to maximal subalgebras of Lie algebras,1007-4902v1[R]. 28Jul,2010.