于吉亮，汪儉彬

（1. 河南大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 開封 475004；2. 濟(jì)源職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，河南 濟(jì)源 454650）

函數(shù)極限的若干求解方法

于吉亮1，汪儉彬2

（1. 河南大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 開封 475004；2. 濟(jì)源職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，河南 濟(jì)源 454650）

通過實例探討了函數(shù)極限的求解方法，涉及迫斂性、羅比達(dá)法則、泰勒級數(shù)展開式、中值定理、定積分的定義、等價無窮小替換和收斂級數(shù)的必要條件等極限求解方法，期望能對函數(shù)極限理論的教學(xué)提供參考作用．

函數(shù)極限；泰勒級數(shù)；中值定理

函數(shù)極限理論不僅是微積分的基礎(chǔ)，也是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重點和難點．本文通過實例探討函數(shù)極限的求解方法，期望能對函數(shù)極限理論的教學(xué)提供參考．

1 利用迫斂性求函數(shù)極限

2 利用羅比達(dá)法則求函數(shù)極限

對于0?∞、1∞、0∞和∞-∞等不定式極限，需要先進(jìn)行簡單變化使其轉(zhuǎn)化為熟知的00型或∞∞型不定式，再利用羅比達(dá)法則進(jìn)行計算．

解：這是1∞型不定式極限問題．原式取對數(shù)可得

3 利用泰勒級數(shù)展開式求函數(shù)極限

當(dāng)比式的分子、分母多次求導(dǎo)很繁瑣時，可以考慮利用泰勒公式求函數(shù)極限，具體步驟是：先求出不定式分子、分母的各部分在x點的泰勒展開式，然后根據(jù)需要取適當(dāng)?shù)闹?，整理后求出不定式的極限．

此例若用羅比達(dá)法則求解，則分子的導(dǎo)數(shù)較繁．

4 利用中值定理求函數(shù)極限

對于一些含有積分式子或分式的極限，可考慮利用積分中值定理或微分中值定理進(jìn)行求解．

5 利用定積分的定義求函數(shù)極限

6 利用等價無窮小替換求函數(shù)極限

在很多情況下，我們可以把題目中的無窮小量用

在進(jìn)行等價無窮小替換時應(yīng)注意，可以對不定式中相乘或相除的因式進(jìn)行替換，但對極限中相加或相減的部分則不能隨意替換．

7 利用收斂級數(shù)的必要條件求函數(shù)極限

求極限的方法還有很多，本文只是列舉了一些簡單而又常用的方法．

[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析：上冊[M]．北京：高等教育出版社，2001：15―56．

[2] 陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析習(xí)題解析：上冊[M]．西安：陜西師范大學(xué)出版社，2003：18―82．

[3] 陳守信．?dāng)?shù)學(xué)分析選講[M]．北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2009：1―33．

[4] 裴禮文．?dāng)?shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M]．北京：高等教育出版社，2001：10―89．

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A

1006-5261(2011)02-0079-02

2010-11-26

于吉亮（1962―），男，河南開封人，講師．

〔責(zé)任編輯 張繼金〕