康佳鑫

(哈爾濱師范大學)

0 引言

學習數(shù)列極限和函數(shù)極限時，遇到過無窮小(大)量之比的極限，由于這種極限可能存在，也可能不存在，所以這個問題就需要一種獨特方法即洛比達法則來解決.弄清不定式極限的理論與方法是極其重要的.

1 基本概念

把兩個無窮小量或兩個無窮大量的比的極限統(tǒng)稱為不定式極限，分別記作型或型的不定式極限.現(xiàn)在將以導數(shù)為工具研究不定式極限，這個方法通常稱為洛比達法則或羅畢塔法則.

2 理論依據(jù)

定理1(洛比達法則)若函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)滿足:

②在點x0的某空心鄰域u0(x0)內(nèi)兩者都可導，且g'(x)≠0

定理2(洛比達法則)若函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)滿足:

②在點x0的某空心鄰域u0+(x0)內(nèi)兩者都可導，且g'(x)≠0，

若將以上兩定理中x→x0換成，只要相應地修正條件也可得到同樣的結(jié)論.此定理利用柯西中值定理來證明，在此，筆者就不一一贅述了，證明過程詳見文獻［1］.

3 應用時注意事項及技巧

求極限的每種方法都有其自身的優(yōu)越性與局限性，在使用洛比達法則時必須注意以下幾點:

注1 不能對任何比式極限都按洛比達法則來求解.首先必須注意它是不是不定式極限;其次是觀察它是否滿足洛比達法則的其它條件.

下面這個簡單的極限

就會因右式的極限不存在而推出原式的極限不存在這個錯誤的結(jié)論.

注3 使用洛比達法則之后，題目應變的相對簡單了，如果越變越難或者沒有變化，說明該題不適此法.

那么這個極限就不適合用洛比達法則，正確做法是:

注4 如果f'，g'，f″，g″滿足相應的條件，可以再次使用洛比達法則.

解:容易檢驗f(x)=1+cosx與g(x)=tan2x在x0=π的鄰域里滿足定理1的條件①和②，又因

故由洛比達法則求得

在使用洛比達法則時，如果能與其它求極限的方法有效結(jié)合運用會收到事半功倍的效果.如，結(jié)合四則運算法則，迫斂性，重要極限，等價無窮小量替換等方法.

解:利用ln(1+x2)～x2(x→0)，則得原式=

在利用洛比達法則求極限時，為使計算更加快捷減少運算中的諸多不便，可用適當?shù)拇鷵Q，簡記為換元法.

4 其他類型不定式極限

(i)“0·∞”型:通常無窮大都寫成無窮小的倒數(shù)形式:

(ii)“∞-∞”型:由(i)中形式知

這樣就把“∞-∞”型化成“”型或“”型.

(iii)“00”“1∞”“∞0”型:對 于 冪 指 函 數(shù)，這樣就把冪指函數(shù)的極限化成指數(shù)函數(shù)的極限，由于指數(shù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，可以先求出指數(shù)位置函數(shù)的極限.而指數(shù)位置的函數(shù)變成“0·∞”型未定式，就回到(i)的情況了.

并應用洛比達法則得到:

注意:此題型出現(xiàn)lnx，一般進行恒等變形時通常都把它放在分子上.

解 這是一個∞-∞ 型不定式極限，化簡并通分后化為型的極限.

解 這是一個00型的不定式極限，按上例變形的方法，先求型的極限，

當k=0時上面的結(jié)果仍成立.

解 這是一個1∞型的不定式極限，作恒等變形

解 這是一個∞0型的不定式極限，類似地，先求其對數(shù)的極限型)

最后指出，對于數(shù)列的不定式極限，可利用函數(shù)極限的歸結(jié)原則，通過先求相應形式的函數(shù)極限而得到結(jié)果.

使用洛比達法則必須要強調(diào)的是:

(1)每次在使用洛比達法則之前，務必考查它是否屬于不定式極限，否則不能用.

(2)一旦用洛比達法則算不出結(jié)果，不等于極限不存在.

(3)應用洛比達法則求極限時，經(jīng)常與結(jié)合求極限的其它方法使用.

5 復平面上的推廣

復變函數(shù)中的一些概念和結(jié)論都是實函數(shù)中相應概念的推廣，那么對實變函數(shù)中“不定式”的分析可以利用洛比達法則，那么對復變函數(shù)中的“不定式”是否有相應的洛比達法則?答案是肯定的.現(xiàn)將復變函數(shù)中的洛比達法則簡單歸結(jié)如下，留給讀者體會與思考:

定理3(洛比達法則)若f(z)與g(z)在點z0解析，且f(z0)=g(z0)=0，g(z0)≠0，則

注意:洛比達法則推廣到復平面上是成立的，但條件與實數(shù)集中洛比達法則的條件有變化.利用給出的洛比達法則可以更方便的求解復變函數(shù)的某些類型極限以及判定解析函數(shù)孤立奇點的類型等問題.

洛比達法則這個方法是在數(shù)學分析里求解不定式極限的重要方法.在做求解極限的題目時，僅僅掌握這個方法是不夠的，極限計算的方法靈活多樣，但也具有一定的規(guī)律性，只要掌握好極限理論，多做練習就能夠得到一些解題的規(guī)律，增強解題的能力.但做題時必須要細心分析仔細甄選，選擇出適當?shù)姆椒?這樣不僅準確率更高，而且會省去許多不必要的麻煩，起到事半功倍的效果.這就要求學習者要吃透其精髓，明了其道理，體會出做題的竅門.達到這樣的境界非一日之功，必須要多做題善于總結(jié)，日積月累，定會熟能生巧，在做題時得心應手.

［1］ 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析:上冊第四版［M］.北京:高等教育出版社.

［2］ 張?zhí)斓?，韓振來.數(shù)學分析輔導及習題精解［M］.延吉:延邊大學出版社，2011.7.

［3］ 裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法:第二版［M］.北京:高等教育出版社，2006(4).

［4］ 鐘玉泉.復變函數(shù)論:第三版［M］.北京:高等教育出版社.