653100 云南省玉溪第一中學(xué) 武增明

653100 云南省玉溪第一中學(xué) 武增明

有些函數(shù)值的求和問題，表面上看，與周期性、等差性、等比性無關(guān)，但事實(shí)上隱含著周期性、等差性、等比性，一旦將其周期性、等差性、等比性揭示，問題便迎刃而解．筆者就從何處揭示這些隱含的特性，從哪里入手找到撬動(dòng)這些特性的支點(diǎn)，作一些探析，以饗讀者．

1 f(a)+f(b)=c型

這類函數(shù)值求和問題，一般是由題目給出一個(gè)具體的函數(shù)解析式，要求求出所給函數(shù)值的和．這類似于在等差數(shù)列中，與兩端等距離的兩項(xiàng)之和相等這一條性質(zhì)的運(yùn)用．

2 f(x+a)=f(x)型

這類函數(shù)值求和問題，一般是由題目給出一個(gè)具體的函數(shù)解析式，或函數(shù)方程，或函數(shù)遞推關(guān)系，要求求出所給函數(shù)值的和．此類問題可考慮去找f(x+a)=f(x)這種關(guān)系式，由此可知周期是a，借此求出其和．

例2 設(shè)函數(shù) f(x)滿足 f(1)=1，f(2)=2，且f(x)f(x+1)f(x+2)=f(x)+f(x+1)+f(x+2)對任意實(shí)數(shù)x都有f(x)f(x+1)≠1，求f(1)+f(2)+…+f(2011)的值．

分析 此題從表面上看不出有何規(guī)律，可考慮計(jì)算幾個(gè)函數(shù)值，看是否有周期性的可能．由題設(shè)可知，f(1)=1，f(2)=2，f(3)=3，f(4)=1，f(5)=2，f(6)=3，由此猜想f(x)是周期為3的周期函數(shù)．

即從f(1)到f(2010)中，共有670個(gè)周期，且每個(gè)周期的“和”為6，

∴ 原式=670×6+f(2011)=670×6+f(1)=4021．

點(diǎn)評 本題通過計(jì)算具體函數(shù)的值，探索規(guī)律，找到思路后，利用遞推消元法得出f(x+a)=f(x)，這是處理這類問題的一大法寶．此題也可用歸納猜想法猜想出f(x+a)=f(x)．

3 f(x+1)=af(x)型

這類函數(shù)值求和問題，一般是題目給出函數(shù)方程，或函數(shù)遞推關(guān)系，或函數(shù)迭代關(guān)系，要求求出所給函數(shù)值的和．這類似于等比數(shù)列的求和問題．

4 f(x+1)－f(x)=a型

這類函數(shù)值求和問題，一般是題目給一個(gè)或者多個(gè)函數(shù)方程，或函數(shù)遞推關(guān)系，或函數(shù)不等式，或具體的函數(shù)解析，要求求出所給函數(shù)值的和．這類似于等差數(shù)列的求和問題．

例4 設(shè)函數(shù)f(x)滿足(x-1)f(x-1)-(x-2)f(x)=1(x∈N*，x≥3)，且 f(1)=1，f(2)=3，求 f(1)+f(2)+…+f(2011)的值．

分析 為了尋找到思路，通過賦值計(jì)算得f(3)=5，f(4)=7，f(5)=9，由此觀察發(fā)現(xiàn)相鄰兩個(gè)函數(shù)值的差為2，具有構(gòu)成等差數(shù)列的條件，因此，想到轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和問題．

∴數(shù)列{f(n)}是首項(xiàng)為f(1)=1，公差為2的等差數(shù)列，

故原式=2(1+2+…+2011)-2011=20112．

點(diǎn)評 賦值探路，發(fā)現(xiàn)f(x+1)-f(x)=2，是通向勝利的陽光大道．

解決函數(shù)值求和問題，一般是要通過題目所給的函數(shù)解析式、函數(shù)方程、函數(shù)遞推關(guān)系、函數(shù)不等式等，細(xì)心觀察所求函數(shù)值的規(guī)律，找到函數(shù)本身具有的特殊性質(zhì)，再確定解決問題的途徑與方法．

20110501)