王 星，王同科

（天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

半線性拋物問題基于應(yīng)力佳點的一類二次有限體積元方法

王 星，王同科

（天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

針對半線性拋物混合初邊值問題，給出了一種基于應(yīng)力佳點的二次有限體積元格式，并證明了格式的收斂性.具體算例表明該格式計算效果良好.

半線性拋物方程；應(yīng)力佳點；二次有限體積元格式；誤差估計

有限體積元方法通過離散微分方程的積分守恒形式導(dǎo)出計算格式，該方法既保持了差分法的簡單性，又具有有限元法的精確性，已被廣泛應(yīng)用于科學(xué)工程計算中.在國內(nèi)，該方法稱為廣義差分方法，早期的研究結(jié)果包含在李榮華教授的專著中［1］.

有限體積元方法是基于函數(shù)插值的數(shù)值方法，對于r次Lagrange插值而言，其導(dǎo)函數(shù)通常具有r階收斂精度，但不排除在插值區(qū)間的個別點上導(dǎo)數(shù)具有更高的收斂精度，這些點在力學(xué)中稱為應(yīng)力佳點.最近，王同科等［2－4］提出了基于應(yīng)力佳點的高次有限體積元方法，與此同時，于長華等［5］也注意到了這一現(xiàn)象，并針對兩點邊值問題得到了一類在應(yīng)力佳點處具有導(dǎo)數(shù)超收斂性的有限體積元方法，高廣花等［3］針對一維線性拋物方程給出了基于三次插值的有限體積元方法.本研究基于文獻(xiàn)［2－3］中的有限體積元格式的構(gòu)造思想，考慮半線性拋物方程基于二次插值應(yīng)力佳點的有限體積元格式，并給出了格式的收斂性分析.

1 二次有限體積元格式

考慮一維半線性拋物方程的初邊值問題

2 誤差分析

3 數(shù)值實驗

表1 算例中不同步長下所得數(shù)值計算結(jié)果Table 1 Numerical calculation results of the example with different step lengths

由表1可知，節(jié)點處計算解達(dá)到了四階精度，應(yīng)力佳點處導(dǎo)數(shù)可達(dá)三階精度，表明該格式計算效果良好.

［1］ Li R H，Chen Z Y，Wu W.Generalized Difference Methods for Differential Equations：Numerical Analysis of Finite Volume Methods［M］.New York：Marcel Dekker，2000.

［2］ 郭偉利，王同科.兩點邊值問題基于應(yīng)力佳點的一類二次有限體積元方法［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)，2008，21（4）：748－756.

［3］ Gao G H，Wang T K.Cubic superconvergent finite volume element method for one－dimensional elliptic and parabolic equations［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2010，233：2285－2301.

［4］ 高廣花，王同科.兩點邊值問題基于三次樣條插值的高精度有限體積元方法［J］.山東大學(xué)學(xué)報：理學(xué)版，2009，44（2）：45－51.

［5］ 于長華，李永海.解兩點邊值問題的基于應(yīng)力佳點的二次有限體積元法［J］.吉林大學(xué)學(xué)報：理學(xué)版，2009，47（4）：639－648.

Quadratic finite volume element method based on optimal stress points for semilinear parabolic equations

WANGXing，WANGTongke

（College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

A kind of quadratic finite volume element method based on optimal stress points is presented for semilinear parabolic equations with mixed initial boundary conditions.It is proved that the method is convergent.A numerical example illustrates the effectiveness of the scheme.

semilinear parabolic equations；optimal stress points；quadratic finite volume element method；error estimate

O241.82

A

1671－1114（2011）01－0001－05

2010－03－16

王 星（1986—），女，碩士研究生.

王同科（1965—），男，教授，博士，主要從事偏微分方程數(shù)值解方面的研究.

（責(zé)任編校 馬新光）