王洪濤

（榮成廣播電視大學，山東 榮成 264300）

函數(shù)極值在經(jīng)濟管理中的應(yīng)用

王洪濤

（榮成廣播電視大學，山東 榮成 264300）

在經(jīng)濟迅速發(fā)展的今天，競爭日趨激烈，怎樣才能達到投入小，產(chǎn)出多，成本低，效益高，利潤大的效果，本文通過對市場需求、利潤、成本和庫存四個問題分析來淺談函數(shù)極值理論在經(jīng)濟管理中應(yīng)用。 研究某些商品市場需求量，企業(yè)獲得最大利潤的生產(chǎn)量，獲得最大利潤的最小成本等問題用的是一元函數(shù)極值理論，同時也驗證了經(jīng)濟學中的有關(guān)命題。 在解決庫存管理中以最低的庫存和費用使相關(guān)業(yè)務(wù)取得最大效益問題，通過建立數(shù)學建模，利用多元函數(shù)極值理論求出最優(yōu)訂貨周期。 文中給出了函數(shù)極值理論的相關(guān)定理及求解函數(shù)極值的具體步驟。

函數(shù)極值；多元函數(shù)；庫存管理

一、引言

經(jīng)濟快速發(fā)展，企業(yè)要想生存和發(fā)展，經(jīng)濟管理是否科學是非常重要的?，F(xiàn)在幾乎每一個經(jīng)濟學領(lǐng)域都用到數(shù)學，對于企業(yè)的決策者和管理者來說都至關(guān)重要。企業(yè)如何決定生產(chǎn)量，使生產(chǎn)成本最小。 生產(chǎn)量少于市場需求量，則無法滿足市場的需求，企業(yè)無法獲得最大利潤；生產(chǎn)量大于市場需求量，造成一部分成本的損失。 現(xiàn)今各個企業(yè)都會面臨庫存管理尤其是超市之類的零售企業(yè)，在保證經(jīng)濟正常運行的前提下，科學合理的分析市場需求，花費最小成本，獲得最大利潤，以最低限度的庫存和費用使有關(guān)業(yè)務(wù)取得最大效益，就成為人們關(guān)注的問題，本文通過利用導(dǎo)數(shù)的方法求解極值，并給出求一元及多元函數(shù)極值的方法。研究產(chǎn)量和價格與最大利潤的關(guān)系。 利用多元函數(shù)極值理論求解最優(yōu)庫存量，其優(yōu)點是能夠提高企業(yè)管理的效率，也是企業(yè)的科學化、正規(guī)化管理，與世界接軌的重要條件。 在我國現(xiàn)階段正在進行經(jīng)濟增長轉(zhuǎn)型的時期，它的作用會更大。

在求解獲得最大利潤時的產(chǎn)量和產(chǎn)品銷售的價格，有的文章只是簡單提及用函數(shù)極值理論求的最優(yōu)價格和產(chǎn)量，本文注重對數(shù)學結(jié)果做定性的分析，明確提出它在生活中的實際意義，即利用極值的概念對需求函數(shù)進行分析之后，我們可以了解這種商品在市場的需求變化和飽和程度。

在研究某些商品市場需求量時，企業(yè)獲得最大利潤的生產(chǎn)量，獲得最大利潤的最小成本等問題引入了恩格爾函數(shù)，同時也驗證了經(jīng)濟學中的有關(guān)命題。 在解決庫存管理問題時，要求的最優(yōu)的訂貨批量，利用數(shù)學建模的思想把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，利用極值解決此問題的方法，與其他注重介紹建模思想的相區(qū)別開來。

接下來我們首先給出一元函數(shù)極值理論和多元函數(shù)極值理論的有關(guān)定理，及求解極值的步驟。

二、一元函數(shù)極值理論

1.有關(guān)定理

下面給出幾個極值的充分條件。

定理1（第一充分條件）。設(shè)函數(shù)f（x）在x0的一個鄰域內(nèi)可導(dǎo)，若當x在該鄰域內(nèi)由小于x0連續(xù)地變大為x0，其導(dǎo)數(shù)f′（x）改變符號，則f（x0）為函數(shù)的極值，x0為函數(shù)的極值點。 若導(dǎo)數(shù)f′（x）由正值變?yōu)樨撝担瑒tx0為極大值點，f（x0）為f（x）的極大值，若導(dǎo)數(shù)f′（x）由負值變?yōu)檎担瑒tx0為極小值點，f（x0）為f（x）的極小值。

由此可知，如果f（x）在x0處可導(dǎo)且f′（x）=0，但f′（x）在x0的兩側(cè)同號，則x0不是f（x）的極值點，f（x）在x0處不取得極值。

定理2（第二充分條件）。設(shè)函數(shù)f（x）在x0處的二階導(dǎo)數(shù)存在，若f′（x0）=0，且f″（x0）≠0，則x0是函數(shù)的極值點，f（x0）為f（x）的極值，并且當f″（x0）＞0時，x0為極小值點，f（x0）為極小值；當f″（x0）<0時，x0為極大值點，f（x0）為極大值。

應(yīng)當注意的是如果f′（x）=0且f″（x）=0，或者f′（x）=0，但f″（x）不存在，那么一元函數(shù)極值的第二充分條件就失效了，此時可以考慮運用一元函數(shù)極值的第一充分條件。

2.求一元函數(shù)極值的步驟

我們經(jīng)常用上面的充分條件來求一元函數(shù)的極值，下面給出求一元函數(shù)極值的步驟。

（1）確定函數(shù)的定義域；

（2）令f′（x）=0，求出所有的駐點，考察f′（x）每個駐點左右的符號，相反的取極值，否則不取極值；

（3）若f′（x0）=0，f″（x0）≠0。 當f″（x0）＜0時，f（x）在x0取極大值，當f″（x0）＞0時，f（x）在x0取極小值；

（4）求出各極值點處的函數(shù)值，就得到相應(yīng)的極值。

特別要注意的是當一階導(dǎo)數(shù)不存在的時候的求法，例如｜x-1｜在x=1點的極值，

三、多元函數(shù)極值的有關(guān)理論

1.有關(guān)定理

類似于一元函數(shù)求極值的判定，多元函數(shù)極值有如下定理。

定理3（必要條件） 設(shè)E為n元行向量空間，

（x1，x2，…，xn）∈E。 n元函數(shù)f（x1，x2，…，xn）：E→1R，若f在點P0，（）可微且取極值，則

（1）P0必為f的駐點f′（P0）=0；

（2）若f在U（P0）存在連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，A為f在P0的Hesse矩陣，則

1）f在點P0取極小值時，Hesse矩陣A為正定或半正定；

2）f在點P0取極大值時，Hesse矩陣A為負定或半負定；

3）f在點P0不取極值時，Hesse矩陣A為非定號。

注f（x1，x2，…xn）在點P0（）處存在一階偏導(dǎo)數(shù)，則極值點必為駐點，但駐點不一定是極值點，當f（x1，x2，…，xn）在點P0（）處不存在一階偏導(dǎo)數(shù)時，P0（）也可能是f（x1，x2，…，xn）的極值點。 即極值點可能是駐點或一階偏導(dǎo)數(shù)不存在的點。

定理4（充分條件） 設(shè)E為n元行向量，

（x1，x2，…，xn）∈E。 如果函數(shù)y=f（x1，x2，…，xn）在駐點P0（）的某鄰域U（p0）內(nèi)，具有Hesse矩陣A，則

（1）若A為正定（或負定）矩陣時，f在點P0取極小（或極大）值；

（2）若A為半正定（或半負定）矩陣時，f在點P0取極?。ɑ驑O大）值；

（3）若A為非定號矩陣時，f在點P0不取極值。

注 求函數(shù)y=f（x1，x2…，xn）的極值時，應(yīng)首先求出駐點或偏導(dǎo)數(shù)不存在的點，然后對所有可能的極值點進行檢驗，確定函數(shù)的極值點并求出函數(shù)極值。

2.多元函數(shù)求解極值的方法

第一步：求出函數(shù)f（x1，x2…，xn）可能的極值點。首先，求出函數(shù)f（x1，x2…，xn）的駐點，根據(jù)極值存在的必要條件，解方程組

方程組的解即為駐點。然后考慮一階偏導(dǎo)數(shù)不存在的點。

第二步：對每一個可能的極值點p0（）進行檢驗，根據(jù)極值存在的充分條件，首先，計算f（x1，x2，…，xn）在點P0（）的Hesse矩陣A，

再根據(jù)定理4判斷P0（）是否為極值點并求出極值。

四、應(yīng)用

1.市場需求分析

影響需求的因素包括影響購買愿望與購買能力的各種經(jīng)濟與社會因素，這些因素主要是：價格、收入、消費者嗜好與預(yù)期。如果把消費者的收入作為主要因素，而把其他因素都視為固定的，則商品需求量依消費者收入變化的函數(shù)關(guān)系，稱為恩格爾函數(shù)。在經(jīng)濟學中，如果某種商品的恩格爾函數(shù)是單調(diào)遞增的，則稱該商品為正常商品，如果是單調(diào)遞減的，則為劣質(zhì)商品。

通過市場對恩格爾函數(shù)圖形及極值的分析，我們可以了解該種商品市場需求量的變化。當收入為零時，需求量Q表示人們無收入時的需求量；當收入無限多時，需求量Q表示該商品市場飽和時的需求量。

解 首先求需求函數(shù)Q（x）的一階導(dǎo)數(shù)

因此，對這種商品的需求量隨收入的減少而減少，這種商品是正常商品，又

人們的收入為零時，市場對該種商品的需求量為零.市場對該種商品的飽和需求量為6。

利用極值的概念對需求函數(shù)進行分析之后，我們可以了解這種商品在市場的需求變化和飽和程度。

例2 設(shè)一地區(qū)對高級唱片的需求量Q隨著人們收入的恩格爾函數(shù)Q（x）=。討論隨著該地區(qū)收入的增加，對這種高級唱片需求的變化趨勢。

解 首先求需求函數(shù)Q（x）的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)

市場對該種商品的需求量Q隨收入的增加而增加，這種商品是正常的。又

這說明當人們的收入為零時，基本生活需求無法得到滿足，人們不會考慮這種唱片。只有當收入大于3，人們才會對這種高級唱片有需求，但也不是無限的，人們的收入無窮時，市場對此商品的飽和需求量為4。

下面來討論耐用消費品的需求函數(shù)。

耐用消費品是指那些使用壽命較長，一般可多次使用的消費品.耐用消費品由于購買次數(shù)少，因而消費者的購買行為和決策較慎重。耐用消費品的典型適用產(chǎn)品如：家用電器、家具、汽車等。

我們利用導(dǎo)數(shù)分析耐用消費品的需求量是如何隨價格變化的。

例3 設(shè)一地區(qū)對私人飛機的需求量為Q，經(jīng)過多年的統(tǒng)計分析得出需求函數(shù)為Q（P）=-2P3+12P2-3P+8。

得到駐點

當P=0時Q=8，即白送時最大需求量為8；

當0＜P＜2時，Q″（P）＞0，曲線上凸；

當時，Q′（P）＞0，需求隨價格P增加仍呈上升趨勢；

2.最大利潤問題

在經(jīng)濟學中，總收入和總成本都可以表示為常量x的函數(shù)分別為R（x）和C（x），其中x表示生產(chǎn)或銷售過程中影響收入和成本的某一因素，則總利潤L（x）可以表示為

為使總利潤最大，其一階導(dǎo)數(shù)需要等于零，即

由此可得

根據(jù)極值存在的二階充分條件，為使總利潤最大，還要求二階導(dǎo)數(shù)

由此可得

這就是說，在獲得最大利潤的常量處，必須要求邊際收益等于邊際成本。但此時若又有邊際收益對常量的微商小于邊際成本對常量的微商，則該常量一定能使企業(yè)獲得最大利潤。

例4 設(shè)某廠生產(chǎn)一商品的總成本函數(shù)為C（x）=20+2Q，需求函數(shù)，其中為p價格，Q為產(chǎn)量，求總利潤最大時的產(chǎn)量及最大利潤。

解 由于總收入

因此由式（4-1）得

對（4-2）求一階導(dǎo)數(shù)得

因此其唯一的駐點Q0=8，

對（4-2）求二階導(dǎo)數(shù)

故L在Q=8時取得最大值

即當產(chǎn)量為8時總利潤最大，最大利潤為32。

3. 成本最低問題

成本最低化又稱成本極小化、最低成本點.所謂成本最低化，就是根據(jù)成本目標管理的任務(wù)，通過分析降低成本的各種因素，制定可能實現(xiàn)的最低成本目標，并以此為依據(jù)進行有效的控制和管理，使實際管理結(jié)果達到最低成本目標.在生產(chǎn)實際中，經(jīng)常遇到這樣的問題：在既定的生產(chǎn)條件下，如何生產(chǎn)能使成本最低，利潤最大。

設(shè)某企業(yè)某種產(chǎn)品的生產(chǎn)量為x，C代表總成本，于是x處的邊際成本為C′=c′（x），而生產(chǎn)每單位產(chǎn)品的平均成本為

因而，c′（x）=g（x）+xg（x）。

由極值存在的必要條件知道，使平均成本最小的生產(chǎn)量x，應(yīng)滿足g（x0）=0代入上式得

這是經(jīng)濟學中的又一重要結(jié)論，使平均成本最小的生產(chǎn)量x0正是邊際成本等于平均成本的生產(chǎn)量x0。

例5 設(shè)某廠加工一件羊皮的成本為C（x），其中表示加工的數(shù)量羊皮，成本函數(shù)為c（x）=60+24x+2x2，試求平均成本的產(chǎn)量水平。

解 由（4-3）知平均成本

4. 庫存問題

經(jīng)濟活動離不開存儲，存量過多會造成資金積壓和資源的閑置；存量不足又將面臨供不應(yīng)求而影響生產(chǎn)活動的正常進行或喪失獲利良機。因此，在保證經(jīng)濟活動正常進行的前提下，要科學地作出存貨決策，以最低限度的庫存量和費用，使有關(guān)業(yè)務(wù)活動取得最大效益。

假定Q為訂貨批量；P為單位產(chǎn)品的銷售價格；D產(chǎn)品每天的需求量；A為每次訂貨的訂貨費；C為單位產(chǎn)品的進價；H為單位產(chǎn)品單位時間的庫存保管費；T為訂貨周期；L為1個周期內(nèi)的平均總利潤.易得由此每次訂貨批量（即訂貨時的訂貨量）和訂貨周期的長度分別為：

從而每次支付的產(chǎn)品購買費為CQ，在1個周期內(nèi)任意時刻t的庫存量為Q-DT，在1個訂貨周期T內(nèi)的庫存保管費為：

于是庫存系統(tǒng)在1個周期內(nèi)的平均總利潤為

L=［毛利-（訂貨費+購買費+庫存費）］/T

將（4-4）式代入得

現(xiàn)假設(shè)需求率是價格的線性函數(shù)D=a-bp，其中a＞0，b＞0，a-bp＞0，此時，平均總利潤函數(shù)（4-5）變?yōu)椋?/p>

下面求出最優(yōu)解，即最優(yōu)庫存量、銷售價格和訂貨周期.

將式（4-6）視為Q、P的二元函數(shù)，并記為L=L（Q-P）（Q＞0，P＞0），

令

結(jié)合（4-6）得

顯然，直接求解該方程組是比較復(fù)雜的，不妨設(shè)該方程組的解為（Q*，P*）

Hesse矩陣的行列式為

所以，根據(jù)多元函數(shù)的極值理論可知，當detΔ＜0時，

即

函數(shù)L（Q，P）具有極大值點，從而（Q*，P*）即為所求。

將式（3-4）中的P代入Q可得

五、結(jié)論

總之，函數(shù)極值在經(jīng)濟管理中的應(yīng)用非常廣泛，其作用是使廠商花費最小的成本，獲取最大的利潤，以最低限度的庫存量和費用，使有關(guān)業(yè)務(wù)活動取得最大效益。當然經(jīng)濟發(fā)展千變?nèi)f化，使企業(yè)在激烈的市場競爭中爭得一席之地。我們還可以看到解決錯綜復(fù)雜經(jīng)濟問題，要會合理的建立模型數(shù)學。這是一切問題的前提。我們也可以考慮在確定市場需求量時建立數(shù)學模型，得出更準確的需求函數(shù)。這樣不斷的改進解決問題的方法，使我們的經(jīng)濟管理更加科學合理。

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O171

A

1008—3340（2011）02—0065—05

2010-12-28

王洪濤（1980-），男，山東榮成人，榮成廣播電視大學助理講師，研究方向為職業(yè)數(shù)學教育。