【關(guān)鍵詞】 雞兔同籠 調(diào)查思考

【文獻(xiàn)編碼】 doi：10.3969/j.issn.0450

-9889（A）.2011.05.031

一、 問題的提出

雞兔同籠問題是我國古代著名趣題之一，在現(xiàn)行教材中，北師大版五年級(jí)上冊、蘇教版六年級(jí)上冊、北京版四年級(jí)下冊和人教版六年級(jí)上冊均安排了雞兔同籠的多種解法及實(shí)際應(yīng)用。那么，學(xué)生到底會(huì)運(yùn)用怎樣的解題策略，采用不同策略的學(xué)生人數(shù)各有多少，引起了筆者的思考。為此，筆者就人教版第十一冊數(shù)學(xué)廣角中的例題讓本校四、五、六年級(jí)的學(xué)生解答，試圖從學(xué)生的解題中發(fā)現(xiàn)其解題策略，并分析學(xué)生解題策略的心理特征。

二、 測試的問題、對象和過程

1. 測試的問題

有一些雞兔關(guān)在同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94只腳。求籠中各有幾只雞和兔？（請盡可能寫出較詳細(xì)的思考過程，并寫出盡可能多的解題方法）做完題目后，請?jiān)谀氵x擇的項(xiàng)目后打上“?菁”。

這道題：很有趣（），有趣（）， 無趣（）。

雞兔同籠問題：以前從沒有聽過（），聽過但沒有做過（），以前做過（）。

2. 測試的對象

按照現(xiàn)行的人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材，本校四年級(jí)及以上的學(xué)生已經(jīng)具備了解答雞兔同籠問題的基本能力，因此測試的對象選擇了小學(xué)四、五、六年級(jí)的學(xué)生各兩個(gè)班年齡分別是10、11 、12歲，人數(shù)分別為120、100、102人?！咀ⅲ何迥昙?jí)學(xué)生已經(jīng)做過本冊第72頁第7題（雞和兔的數(shù)量相同，兩種動(dòng)物的腿加起來共有48條。雞和兔各有多少只？），六年級(jí)的學(xué)生還沒有教到數(shù)學(xué)廣角的內(nèi)容?！?/p>

3. 測試和訪談過程

2010年12月22日上午，在學(xué)生不知情的情況下，由各任課老師協(xié)助組織進(jìn)行測試。在測試前，不給學(xué)生任何解題提示，讓學(xué)生獨(dú)立解答，并規(guī)定時(shí)間為20分鐘。學(xué)生在解題過程中沒有任何討論和交流?；痉从沉藢W(xué)生獨(dú)立解決這一問題的真實(shí)水平。測試后，立即對學(xué)生的解題情況進(jìn)行初步整理，在整理的基礎(chǔ)上，選擇部分學(xué)生一一訪談。測試與訪談在同一上午完成。

4. 問卷發(fā)放與回收

本次研究共發(fā)放測驗(yàn)卷322份，回收有效卷322份，有效率100%。

三、 結(jié)果與分析

1. 小學(xué)中高年級(jí)學(xué)生解題能力存在差異

從表一中，我們看出四、五年級(jí)解決此類問題的能力相差不大，但六年級(jí)解題能力明顯高于四、五年級(jí)。 四、五年級(jí)學(xué)生解答此題錯(cuò)誤的人數(shù)分別占73.3%和70%。分析這部分學(xué)生的測試卷，可以分三種情況：第一種是學(xué)生已經(jīng)找到解題思路，但對自己列出的算式所表示的意思不是很明確，導(dǎo)致得出結(jié)論錯(cuò)誤；第二種是學(xué)生曾嘗試用列舉法一個(gè)一個(gè)試，但由于數(shù)據(jù)比較大，學(xué)生沒有足夠的耐心和信心去完成，半途而廢了；第三種是學(xué)生對此題無從入手，交了空白卷。

2. 小學(xué)中高年級(jí)學(xué)生解題的策略已呈現(xiàn)多樣化

通過對四、五、六三個(gè)年級(jí)學(xué)生測試卷的分析，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生的解題策略是多樣的。以下是學(xué)生幾種典型的解法。

①列舉法。學(xué)生抓住雞兔共35只這個(gè)信息，從雞35只兔0只開始算腳的只數(shù)，一一列舉，直到找出94只腳為止，這是逐一列舉法。當(dāng)然也可以是跳躍列舉法和取中列舉法。在被測試的學(xué)生中，采用這種方法的學(xué)生四年級(jí)有5%，五年級(jí)有6%，六年級(jí)有12.7%。

②畫圖法。用圓圈表示頭，直線表示腳，每只雞長一個(gè)頭兩只腳，每只兔長一個(gè)頭四只腳。先畫出35個(gè)圓圈代表35個(gè)頭，然后給每只動(dòng)物長上2條腳，全部長齊后發(fā)現(xiàn)還有多余的腳沒有長上，繼續(xù)在兩條腳的動(dòng)物上兩只腳兩只腳的加，直到共94只腳為止。畫圖法非常形象直觀，便于學(xué)生理解，許多老師都曾嘗試讓低年級(jí)的學(xué)生用此方法解答雞兔同籠問題，效果頗佳。不過，參加這次測試的五年級(jí)學(xué)生中只有11人用這種方法，六年級(jí)沒有一人使用。經(jīng)過訪談，筆者了解到被測試的四年級(jí)學(xué)生大部分沒有接觸過此類問題，想不到用畫圖法解決，而六年級(jí)的大部分學(xué)生認(rèn)為這種方法太麻煩，或畫圖法思維層次太低，不屑一用。

③假設(shè)法。這是解答雞兔同籠問題最常見的方法，其中包括把35只動(dòng)物都假設(shè)成雞和全部假設(shè)成兔兩種情況。

分析材料時(shí)發(fā)現(xiàn)，用假設(shè)法的學(xué)生解題思路清晰，對算式所表示的意思表述得很清楚。統(tǒng)計(jì)時(shí)，筆者也看到使用這種方法解題的人數(shù)最多，三個(gè)年級(jí)共達(dá)到了97人，占全部做對人數(shù)的56.1%。其中，能同時(shí)使用兩種假設(shè)情況解題的有37人，占使用此種方法人數(shù)的38.1%?？梢姡@是一種學(xué)生容易理解、樂于接受的解題方法。

④列方程法。用列方程的方法解答雞兔同籠問題數(shù)量關(guān)系非常清晰，但由于此類方程在設(shè)未知數(shù)和解方程時(shí)比較復(fù)雜，很少有學(xué)生使用這種方法。四年級(jí)學(xué)生尚未學(xué)過方程，因此沒有出現(xiàn)此種解法。六年級(jí)學(xué)生也只有7人想到用方程解答，占6.9%。五年級(jí)的學(xué)生此時(shí)剛剛學(xué)過方程，并做過教材中一道雞兔只數(shù)相同的練習(xí)題。但是此題不同，五年級(jí)有兩名學(xué)生發(fā)現(xiàn)此題的雞與兔只數(shù)不同，所以他們都用了兩個(gè)不同的未知數(shù)表示雞與兔的只數(shù)。而正確解答出來的僅一位，原來該生的家長是一位初中數(shù)學(xué)教師，已經(jīng)詳細(xì)地給她介紹過這種解法。可見，五年級(jí)的學(xué)生用方程解答此類問題存在一定的難度。

⑤金雞獨(dú)立法。在統(tǒng)計(jì)測試卷時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)三個(gè)年級(jí)均有學(xué)生出現(xiàn)這種解法。但在訪談中，筆者發(fā)現(xiàn)使用這種解法的學(xué)生并不太明白這種方法獨(dú)特的思考過程。

3. 題目的趣味性、學(xué)生知識(shí)面是否廣泛與答題的正確率之間有密切關(guān)系

分析表二、表三中的數(shù)據(jù)結(jié)果，筆者發(fā)現(xiàn)：①四年級(jí)學(xué)生從沒接觸過雞兔同籠問題的人數(shù)最多，將近半數(shù)，不過他們認(rèn)為此題很有趣的人數(shù)的比例也是三個(gè)年級(jí)最高。由此，筆者認(rèn)為學(xué)生對于新鮮的事物充滿好奇心，此題能引起他們的探究欲望。②五年級(jí)學(xué)生有超過半數(shù)的人在以前做過此題，但正確率卻只有30%，覺得題目無趣的比例也占三個(gè)年級(jí)人數(shù)之最，說明五年級(jí)的學(xué)生雖然接觸過此類型的題目，但由于題目難度大，學(xué)生難以很好掌握，他們沒有了四年級(jí)那時(shí)的新鮮感，反而覺得有些挫敗，因此覺得無趣。在訪談五年級(jí)個(gè)別學(xué)生時(shí)，有個(gè)學(xué)生認(rèn)為這樣的題目不現(xiàn)實(shí)，“都看到雞和兔的頭了，難道還不知道幾只雞幾只兔嗎”？③六年級(jí)的學(xué)生隨著年齡的增長，見識(shí)面不斷拓寬，知識(shí)儲(chǔ)備量增多和自學(xué)能力加強(qiáng)，普遍接觸到了這種經(jīng)典的雞兔同籠問題，并有足夠的能力解答，解題的正確率達(dá)到了72.5%，認(rèn)為題目有趣的人數(shù)比例也達(dá)到了87.3%。

由此，筆者認(rèn)為學(xué)生對題目的新鮮感可以引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望，但如果題目難度過大，會(huì)挫傷學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，對學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)者來說，這樣的題目具有一定的挑戰(zhàn)性，他們更愿意接受。

四、 對課堂教學(xué)的啟示

作為六年級(jí)上冊第七單元數(shù)學(xué)廣角《雞兔同籠問題》的教學(xué)前測，筆者發(fā)現(xiàn)六年級(jí)學(xué)生已經(jīng)有72.5%已經(jīng)掌握了正確的解題方法。那么，如何在這節(jié)課中讓每一個(gè)學(xué)生參與學(xué)習(xí)，并都有所得，成了教師們值得思考的問題。筆者認(rèn)為應(yīng)該做到以下幾點(diǎn)。

1. 注重發(fā)揮學(xué)生主體作用

從測試卷中，筆者發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生解題思路非常清晰，語言表達(dá)準(zhǔn)確。教師不妨發(fā)揮這些學(xué)生的帶頭作用，充分信任學(xué)生，把課堂交給他們，讓他們來當(dāng)小老師講解自己解題的各種方法，帶動(dòng)全班學(xué)生一起學(xué)習(xí)。教師還要鼓勵(lì)學(xué)生大膽發(fā)表不同見解，使每個(gè)學(xué)生的思維空間都盡可能得到拓展，讓學(xué)生在輕松愉悅的課堂氛圍中主動(dòng)地構(gòu)建自己的知識(shí)、方法、思維乃至創(chuàng)新能力，實(shí)現(xiàn)自身能力的發(fā)展。這樣的課堂成為了學(xué)生展示自我、發(fā)展自我的舞臺(tái)，真正體現(xiàn)了學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人。

2. 注重滲透數(shù)學(xué)思想方法

這節(jié)課的課堂教學(xué)不僅要讓學(xué)生了解多種解題策略，還要注重滲透數(shù)學(xué)思想方法。如，在教學(xué)列舉法時(shí)，不僅要滲透列舉思想方法，還要注意滲透思考的有序性；用假設(shè)法時(shí)，不僅滲透假設(shè)的數(shù)學(xué)思想，還可以結(jié)合畫圖法，數(shù)形結(jié)合更有利于學(xué)生的理解和掌握；列方程解決問題的思想方法就是代數(shù)的思想方法，等等。當(dāng)然我們也要清楚的知道，多種數(shù)學(xué)思想方法同時(shí)作用于雞兔同籠問題中時(shí)，它們之間必然存在相互關(guān)聯(lián)之處。畫圖是對列舉的結(jié)果的形象呈現(xiàn)和為假設(shè)提供的直觀支撐，假設(shè)是對前面諸法的有效提升，代數(shù)是假設(shè)的聯(lián)想產(chǎn)物。因此，我們應(yīng)該注意這些方法之間的相互聯(lián)系與溝通。

3 . 注重凸顯人文價(jià)值

在數(shù)學(xué)課中，合理有效地開發(fā)利用教材中的人文財(cái)富，凸顯數(shù)學(xué)課堂的人文價(jià)值，最大限度地培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和好奇心，啟迪學(xué)生的思維和智慧，這是值得我們每一位數(shù)學(xué)教師思考的問題。雞兔同籠問題是古代著名的趣題，自古到今有許許多多中外數(shù)學(xué)家為之癡迷，并想出了很多解法。教師不妨在這節(jié)課中介紹各數(shù)學(xué)家與其解法的故事。如在介紹假設(shè)法時(shí)，可以讓學(xué)生了解我國張景中院士獨(dú)具匠心的情景：雞的翅膀也可以看成前腳，可以假設(shè)全部有4只腳；講解金雞獨(dú)立法時(shí)，可以介紹古代的孫子及其《孫子算經(jīng)》和美國杰出數(shù)學(xué)教育家波利亞及其波利亞跳舞法。另外，我們還可以向?qū)W生介紹不僅中國有雞兔同籠問題，日本也有類似的龜鶴問題，俄羅斯有人狗問題，等等。這樣的一些課外介紹，往往能讓學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣，也能給學(xué)生以無窮的價(jià)值觀影響和道德情操的感染。

（責(zé)編林劍）