[摘 要] 由于黃金現(xiàn)貨價格受到諸多經(jīng)濟及政治因素的影響，其生成過程復雜，難以通過其影響因素的研究來對其進行預測分析。因此，本文試圖從黃金價格本身的時間序列著手，試圖利用線性的ARMA及非線性的GARCH模型族，利用單方程時間序列建模的方法對黃金現(xiàn)貨價格進行預測分析。研究發(fā)現(xiàn)線性的ARMA模型和非線性的GARCH-M模型都能較好地進行對倫敦黃金現(xiàn)貨價格進行預測，在研究的樣本中，兩者的向前一步預測誤差分別為0.06%和-0.03%。GARCH-M模型的預測效果較好。此外，還通過使用GARCH模型族分析了倫敦黃金現(xiàn)貨價格的信息不對稱性、風險收益特征和對系統(tǒng)性沖擊的反應，針對性地做出了結論和投資建議。

[關鍵詞] ARMA模型 GARCH模型族 黃金現(xiàn)貨價格 單方程時間序列建模 預測分析

一、前言

黃金作為人類的交易貨幣有著悠久的歷史。在19世紀初至20世紀30年代，世界主要國家實行了“金本位”制度，這不僅增加了黃金在經(jīng)濟發(fā)展中的影響，還在國際貨幣體系的建立中起到了很大的作用。20世紀30年代的經(jīng)濟危機使金本位制度徹底崩潰。在隨后的布雷頓森林體系中，黃金在流通和國際儲備方面的作用逐漸降低。但由于黃金儲備仍然是這一體系的最后支持，因此各國政府仍然禁止黃金在私人領域的買賣。20世紀60至70年代經(jīng)濟危機的爆發(fā)使得布雷頓森林體系逐漸瓦解。在1976年的《牙買加協(xié)議》中，黃金的非貨幣化正式確定。時至今日，黃金仍然存在一定的貨幣職能。這主要體現(xiàn)在當信用貨幣發(fā)生危機時，黃金能成為最后支付的手段。同時，黃金仍然是國際貨幣基金組織、各主要國家中央銀行和歐元貨幣體系中占相當比例的官方儲備。

目前，隨著全球黃金市場的發(fā)展和信息化技術的應用，黃金的交易更加簡便。歐洲、亞洲、美洲不同時區(qū)的黃金交易所使得黃金交易得以24小時進行。黃金已成為重要的金融投資品。

進入2010年以來，隨著歐洲債務危機的加劇和全球通貨膨脹預期的出現(xiàn)，黃金作為保值和風險規(guī)避資產(chǎn)逐漸成為投資熱點，其價格在較為劇烈的波動中日趨堅挺。但由于黃金同時擁有商品屬性和貨幣屬性，使得黃金價格的預測變得非常復雜。難以確定黃金價格和哪些經(jīng)濟和政治因素存在關系。因此，本研究試圖從黃金價格本身的時間序列進行研究，研究其內在的統(tǒng)計學特征，并建立相應的模型進行分析和預測。

下文將首先對特定樣本的黃金價格時間序列的原始數(shù)據(jù)進行檢驗，建立線性的ARMA模型(Auto-Regressive and Moving Average Model 自回歸移動平均模型)進行預測和分析。再針對建模結果，引入非線性的GARCH模型族(Generalized Autoregressive Conditionally Heteroscedastic 廣義自回歸條件異方差模型)進行預測和分析。最后進行兩者的比較，并得出研究結論。

二、樣本數(shù)據(jù)來源

本研究的黃金價格樣本數(shù)據(jù)來源于ECN trade 外匯交易平臺中的倫敦黃金現(xiàn)貨價格的每日收盤價。該價格采用美元/盎司表示，樣本區(qū)間為2007年2月1日至2010年7月30日，其中的節(jié)假日缺失數(shù)據(jù)采用線性插值代替，樣本數(shù)量是912個。該樣本區(qū)間的黃金價格走勢如圖1所示:

從圖一可以發(fā)現(xiàn)，在2007年底全球金融危機爆發(fā)后，黃金價格走勢呈上升趨勢。在2008年初達到一個區(qū)間高點后發(fā)生劇烈的波動，直到2008年底重新進入上升通道。從圖中可知，黃金的價格波動比較劇烈，這使得使用線性系統(tǒng)對黃金價格進行建?？赡軙獾揭欢ǖ睦щy。

黃金價格原始序列命名為GOLD。黃金價格的自然對數(shù)命名為LNGOLD。對黃金價格取自然對數(shù)是為了研究其收益率的變動。

三、平穩(wěn)性檢驗和處理

在對黃金價格建模之前，首先要識別時間序列的平穩(wěn)性。這是因為ARMA模型要求序列具有平穩(wěn)性的特點。所謂平穩(wěn)性就是指時間序列的均值和所有自協(xié)方差不受時間變化影響，同時要求隨機過程具有有限的均值和方差。

平穩(wěn)性的檢驗通常使用ADF(Augmented Dickey-Fuller)單位根檢驗。該檢驗的原假設為存在一個單位根，使得序列不平穩(wěn)。若拒絕原假設，則該序列平穩(wěn)。對不平穩(wěn)的時間序列可以采用差分法轉換成平穩(wěn)序列。在進行ADF檢驗的模型設置時，通過作圖觀察確定是否加入截距項和趨勢項。

LNGOLD的ADF檢驗結果如表1所示，一階差分序列命名為D(LNGOLD):

表1 LNGOLD的ADF檢驗結果

序列檢驗模型設置概率結論

LNGOLD加入截距項和趨勢項P=0.2161不平穩(wěn)

D(LNGOLD)無截距項和趨勢項P=0平穩(wěn)

檢驗結果表明，LNGOLD是不平穩(wěn)的，通過一階差分后，記為DLNGOLD，其為平穩(wěn)時間序列，滿足ARMA建模的前提條件。

四、ARMA建模

本研究使用Box-Jenkins 方法進行ARMA建模。該方法根據(jù)時間序列的自相關函數(shù)(ACF)和偏自相關函數(shù)(PACF)的特征，確定ARMA(p，q)的自回歸階數(shù)p和移動平均階數(shù)q。若PACF截尾，ACF拖尾，則可建立AR模型。若PACF拖尾，ACF截尾，則可建立MA模型。若PACF和ACF均是拖尾，則可建立ARMA模型。此時需要對可能合適的模型都進行估計，然后根據(jù)模型系數(shù)的顯著性和AIC(Akaike information criterion)值確定最合適的模型。AIC值越小的模型越好。同時，還要保證模型的殘差符合白噪音的假設。

DLNGOLD序列的ACF和PACF檢驗結果如表2所示:

1.ACF和PACF的Q統(tǒng)計量都不顯著，一階差分的DLNGOLD可以用來建立模型，不必要進行二階差分。

2.純MA(q)過程的理論ACF應在滯后q期后截尾為0。純AR(p)過程的理論PACF應在滯后p期后截尾為0。這兩個現(xiàn)象都沒有出現(xiàn)，所以DLNGOLD適合于ARMA(p，q)模型。

3.ACF和PACF在滯后6期后迅速衰減，因此考慮p=6，q=6的情況。經(jīng)過了試驗后，依次建立了如下三個模型:

模型A:

AR、MA倒數(shù)根都在單位圓內，AIC=-5.673703，所有Q-stat統(tǒng)計上不顯著。AR(2)、AR(5)、MA(2)、MA(5)和常數(shù)項的系數(shù)具有統(tǒng)計上的顯著性，其他項系數(shù)統(tǒng)計上不顯著。

模型B:

舍去了模型A中統(tǒng)計不顯著的系數(shù)，并重新估計了參數(shù)。

AR、MA倒數(shù)根都在單位圓內，AIC= -5.673343，Q-stat(6)至Q-stat(15)皆具有統(tǒng)計上的顯著性。常數(shù)項統(tǒng)計上不顯著，應予以舍去后重新估計參數(shù)。

模型C:

AR、MA倒數(shù)根都在單位圓內，AIC= -5.673458，Q-stat(6)至Q-stat(14)皆具有統(tǒng)計上的顯著性。

根據(jù)ARMA建模的判斷方法，模型A雖然有最小的AIC值，但部分系數(shù)不顯著，模型參數(shù)存在冗余。模型B常數(shù)項不顯著，并且Q統(tǒng)計量表明其殘差不符合白噪音的假設。模型C所以參數(shù)都顯著，但Q統(tǒng)計量表明其殘差不符合白噪音的假設。這意味著存在模型所不能解釋的系統(tǒng)性變動。如果只考慮AIC判斷準則和白噪音的假設，模型A較為符合要求。但根據(jù)Box-Jenkins方法的模型簡練原則，模型A冗余的參數(shù)使其還需要改進。

現(xiàn)在重新觀察DLNGOLD序列的ACF和PACF檢驗結果，可以發(fā)現(xiàn)滯后6階的ACF和PACF為單峰突起，因此考慮采用只含有、和常數(shù)項的模型，新建立的模型參數(shù)估計結果如下:

模型D:

AR、MA倒數(shù)根都在單位圓內，AIC= -5.681517，所有Q-stat統(tǒng)計上不顯著。所有參數(shù)統(tǒng)計上顯著。

易知，模型D的AIC值最小，殘差符合白噪音假設，該模型能充分反映系統(tǒng)性變動。為保守起見，還進行了其他模型的檢驗，最終確定模型D為最優(yōu)。

五、ARMA模型預測

為了進一步檢驗模型，利用模型進行向前一步預測。預測結果如表3:

表3:ARMA模型預測結果

時間預測值實際值誤差

2010-8-21182.481181.830.06%

單位:美元/盎司

從表3可以看出，ARMA在短期預測方面非常準確。因此，分析結果認為本研究所建立的ARMA模型可以應用于短期的黃金價格預測。

六、GARCH模型族的檢驗

雖然已經(jīng)證明了ARMA模型可以有效地應用于短期的黃金價格預測，然而由于黃金價格波動較大，可能存在非線性和條件異方差的現(xiàn)象。ARMA模型只能處理方差不變的線性時間序列，即市場風險恒定的時間序列。在遇到條件異方差的時間序列時，為了更精確地進行預測，需要引入ARCH模型(Autoregressive Conditionally Heteroscedastic 自回歸條件異方差)及其拓展——GARCH模型族。ARCH類模型的核心思想是殘差項的條件方差依賴于它的前期值。作為ARCH模型的拓展，GARCH模型族能較好地描述金融時間序列的異方差問題，成為金融市場分析中廣泛應用的模型。

要檢驗一個模型是否存在自回歸條件異方差的現(xiàn)象，需要進行殘差平方相關圖檢驗。表4是本研究所建立的ARMA模型的殘差平方相關圖:

從表4可以看到，模型殘差平方的ACF和PACF皆在統(tǒng)計上顯著地異于0，因此殘差序列存在自回歸條件異方差的現(xiàn)象。引入GARCH模型進行預測可能可以起到更好的效果。

七、GARCH模型族建模與篩選

本研究對2007年2月1日至2010年7月30日倫敦黃金現(xiàn)貨價格分別建立GARCH、EGARCH、TGARCH、GARCH-M、EGARCH-M、TGARCH-M模型 ，并根據(jù)各模型的特性和AIC信息準則確定最優(yōu)的模型。EGARCH和TGARCH模型都是加入了考慮信息不對稱(即利好消息和利空消息的不同影響)的拓展模型，新的參數(shù)用θ表示。當θ<0時，利空消息比利好消息影響更大。GARCH-M、EGARCH-M和TGARCH-M模型，是在基礎模型中進一步考慮了風險和收益率的關系。新加入的參數(shù)為ψ，當ψ>0時，風險的增加可以增加收益率。當ψ<0時，風險的增加降低收益率。

各個模型的參數(shù)估計及檢驗結果如表5所示:

從表5中可以看出，除了考慮信息不對稱的系數(shù)θ不顯著異于0外，各個模型其他的參數(shù)都顯著異于0。因此不能拒絕LNGOLD序列不存在信息不對稱的原假設，即利空消息和利好消息能對黃金價格產(chǎn)生比較相同的影響。再考慮表示風險與收益率關系的系數(shù)ψ，該系數(shù)在所有模型中都顯著不為0，并且為正。因此可以認為黃金價格存在正的風險溢價，但是該溢價水平較低。當市場風險增加1個點時，黃金價格收益率增加大約0.06個百分點。

Engle和Chowdury(1992)證明，若，則沖擊對條件方差的影響是永遠的。本研究中所建立的GARCH模型族皆符合這一特征，這意味著一旦黃金市場出現(xiàn)較大的波動，該波動會產(chǎn)生持久影響。

綜合考慮參數(shù)的顯著性及AIC值最小的原則，選定GARCH-M(1，1)模型。

八、ARMA模型與GARCH-M模型預測效果比較

使用GARCH-M(1，1)模型進行向前一步預測，結果如表6所示:

表6 GARCH-M(1，1)模型預測結果

時間預測值實際值誤差

2010-8-21181.4841181.83-0.03%

單位:美元/盎司

對比ARMA模型的預測結果，GARCH-M模型更加精確，誤差僅為ARMA模型的50%。因此可以認為GARCH-M模型在倫敦黃金現(xiàn)貨價格的短期預測方面比ARMA模型更為出色。這與GARCH模型族在預測金融時間序列方面較好的表現(xiàn)是一致的。根本原因可能是倫敦黃金現(xiàn)貨價格存在非線性及自回歸條件異方差性。

九、結論與投資建議

本研究利用ARMA和GARCH-M模型對倫敦黃金現(xiàn)貨價格成功進行了建模，并進行了特征分析和預測，現(xiàn)得出以下主要結論:

1.雖然倫敦黃金現(xiàn)貨價格呈非線性形式，但仍然可以使用線性的ARMA模型進行較為精確向前一步預測。預測誤差小于1%，對指導投資能起到實際作用。當ARMA模型假設了黃金現(xiàn)貨價格在不同時間區(qū)間風險恒定，在風險及波動性分析上不能起到實際作用。

2.倫敦黃金現(xiàn)貨價格存在自回歸條件異方差的現(xiàn)象，因此使用GARCH模型族進行建模和預測更為科學。GARCH模型族能充分考慮黃金市場中變動的風險，更符合實際情況。實際GARCH建模和預測結果表明，GARCH-M(1，1)模型的向前一步預測比ARMA模型更加精確。在本研究的樣本中，GARCH-M(1，1)模型誤差僅為ARMA模型的50%。

3.通過建立GARCH模型族，研究發(fā)現(xiàn)倫敦黃金現(xiàn)貨價格不存在信息不對稱的情況，利空消息與利好消息能對市場造成相同影響。因此在進行投資活動時，建議對利空和利好消息施加同樣程度的關注。

4.通過建立GARCH模型族，研究發(fā)現(xiàn)倫敦黃金現(xiàn)貨價格存在較弱的正風險溢價。因此，若投資者是風險規(guī)避者，則不宜進入該市場。

5.GARCH模型族的結構參數(shù)α和β的估計值之和接近于1，這說明一旦倫敦黃金市場遭到外部沖擊，如金融危機爆發(fā)，則會產(chǎn)生持久的波動影響。這建議投資者應當對影響倫敦黃金市場的重大消息進行著重關注。

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