導(dǎo)數(shù)是近代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，它體現(xiàn)了近代數(shù)學(xué)中的“逼近——極限”這一數(shù)學(xué)思想，是聯(lián)系初、高等數(shù)學(xué)的紐帶。它的引入為解決中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題拓展了新的視野， 是研究函數(shù)性質(zhì)、證明不等式、探求函數(shù)的極值與最值、求曲線的斜率和解決一些物理問(wèn)題的有力工具。導(dǎo)數(shù)方法與初等方法相比，對(duì)解題技巧的要求較低，具有一定的可操作性。因此，它作為一種有效的工具，成為高中數(shù)學(xué)課程的必選內(nèi)容，同時(shí)也是高考命題的熱點(diǎn)。筆者現(xiàn)就利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合具體實(shí)例予以介紹。

一、 分類(lèi)討論法

例1 ：已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x2(x-a)，x∈[0，2]，試研究函數(shù)f(x)的單調(diào)性。

分析：此題研究函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，因含有參數(shù)，需進(jìn)行必要的討論。解：f(x)=x3-ax2，x∈[0，2]，∴f'(x)=3x2-2ax=3x(x-)。 （1）當(dāng)≤0即a≤0時(shí)，f'(x)≥0恒成立，所以函數(shù)f(x)在[0，2]上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)>0即a>0時(shí)，令f'(x)>0，得x>。①當(dāng)≥2即a≥3時(shí)，f(x)在[0，2]上單調(diào)遞減；②當(dāng)<2即0

二、 直接定號(hào)法

例2 ：已知函數(shù)f(x)=x2-alnx在(1，2]上是增函數(shù)，g(x)=x-a在(0，1)上是減函數(shù)。（I）求f(x)，g(x)的表達(dá)式；(II）當(dāng)b>-1時(shí)，若f(x)≥2bx-在x∈(0，1]內(nèi)恒成立，求b的取值范圍。

分析：（I）中建立兩不等式，利用夾逼思想可解決。 (II）中是一道恒成立問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)φ(x)后我們發(fā)現(xiàn)不等式φ(x)>0不可解，常規(guī)方法在這里行不通，但通過(guò)觀察與計(jì)算發(fā)現(xiàn)，φ(x)可直接定號(hào)，此法就起到了“柳暗花明又一村”的作用。解：（I）f'(x)=2x-依題意f'(x)>0，x∈[1，2]即a<2x2，x∈[1，2]。而2x2>2，∴a≤2，又g'(x)=1-，依題意g'(x)<0，x∈(0，1)即a>2，x∈(0，1).而2<2，∴a≥2② 由①②得a=2?！鄁(x)=x2-2lnx，g(x)=x-2。（II）設(shè)φ(x)=x2-2lnx-2bx+ ，則φ'(x)=2x--2b-=2(x-)-2(+b)=2-2(+b)。因?yàn)閤∈[0，1]，b>-1，∴2≤0，+b>-1=≥0，∴-2(+b)<0?！唳?x)<0恒成立，∴φ(x)在（0，1]在上為減函數(shù)，∴φ(x)min=φ(1)=1-2b+1≥0，解得b≤1，又因?yàn)閎>-1，所以-1

三、 二次求導(dǎo)法

例3： （2010年安徽高考題第 17題）設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=ex-2x+2a，x∈R。(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(Ⅱ)求證：當(dāng)a>ln2-1且x>0時(shí)，ex>x2-2ax+1。

分析：（Ⅰ）中可通過(guò)解不等式求函數(shù)單調(diào)區(qū)間。 (Ⅱ)中構(gòu)造函數(shù)g(x)后我們發(fā)現(xiàn)不等式g(x)>0不可解，直接定號(hào)法也失去了它的效用，因此考慮二次求導(dǎo)法，有利于問(wèn)題解決。解：(Ⅰ)由題意知，f'(x)=ex-2，令f'(x)>0得x>ln2，∴f(x)在區(qū)間(ln2，+∞)上遞增，在區(qū)間(-∞，ln2)上遞減。且當(dāng)x=ln2時(shí)，(f(x))極小值=2-2ln2+2a，無(wú)極大值。(Ⅱ)當(dāng)x>0時(shí)，令g(x)=ex-x2+2ax-1，∴g'(x)=ex-x2+2a 。由(Ⅰ)知，(g(x))min=2-2ln2+2a>2-2ln2+2(ln2-1)=0，∴g'(x)>0在，即g(x)在(0，+∞)上遞增，又g(0)=0，∴x>0時(shí)，g(x)>g(0)，即ex-2+2ax-1>0，∴ex>x2-2ax+1。評(píng)注：本題若將第一問(wèn)去除，則給解題增加不少難度。不少同學(xué)都知道構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)去求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間，但該題中不等式g'(x)>0不可解，所以我們考慮二次求導(dǎo)，目的是通過(guò)再次求導(dǎo)判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)（恒正），即可得原函數(shù)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，于是問(wèn)題迎刃而解。

四、 部分求導(dǎo)法

例4:（2010年全國(guó)卷2第22題第一問(wèn)）設(shè)函數(shù)f(x)=1-e-x。證明：當(dāng)x>-1時(shí)，f(x)≥。

分析：此題常規(guī)思維是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求新函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，此題和上一題一樣遭遇相同困境，無(wú)法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，且直接定號(hào)法，二次求導(dǎo)法均不可行。能否有別的出路？證明：f(x)-=.令g(x)=ex-x-1，∴g'(x)=ex-1，令g'(x)>0，得x>0，∴g(x)在(0，+∞)上遞增，在（-1，0）上遞減?！鄃(x)在x=0處取得最小值，因而當(dāng)x>-1時(shí)，g(x)≥g(0)，而g(0)=0，∴ex-x-1≥0，∴f(x)-≥0，即f(x)≥。

總之，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是高中階段討論函數(shù)“變化”的最基本的方法，教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注重學(xué)生的參與，引發(fā)認(rèn)知沖突，教會(huì)學(xué)生思考問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性、靈活性，激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，培養(yǎng)其探究能力，讓學(xué)生充分體驗(yàn)成功的喜悅。

（南通市天星湖中學(xué)）