函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b圖像的變換有平移變換與伸縮變換。振幅、周期的變化涉及伸縮變換，而初相、圖像上下位置的變化涉及平移變換。由于y=Asin(ωx+φ)+b的圖像變換是三角知識中的重點與難點，是高考中的命題點，我們有必要搞清函數(shù)圖像的變換與函數(shù)解析式變化得對應(yīng)關(guān)系。筆者就函數(shù)圖像橫向的平移與伸縮變換和函數(shù)解析式中的自變量的變換之間的對應(yīng)關(guān)系介紹一些簡便的變換方法。

一、平移變換

平移變換包括橫向平移和縱向平移兩種:

(1)函數(shù)y=sin(x+φ)，x∈R(其中φ≠0)的圖像可以看作把正弦曲線上所有點向左(當φ>0時)或向右(當φ<0時)平移|φ|個單位長度而得到的，即所謂的“左加右減”。

函數(shù)圖像的左右平移對解析式的影響主要體現(xiàn)在自變量x的變化上(若x的系數(shù)不為1時，需提出系數(shù)后，由平移法則找出x的變換)，由自變量x的變換可得到平移變換后的函數(shù)解析式。

(2) 函數(shù)y=sinx+b，x∈R的圖像可以看作把正弦曲線上所有點向上(當b>0時)或向下(當b<0時)平移|b|個單位長度而得到的，即所謂的“上加下減”。

例1 (2009湖南卷理):將函數(shù)y=sinx的圖像向左平移φ(0≤φ<2π)的單位后，得到函數(shù)y=sin(x-)的圖像，則φ等于(D)

解析:由函數(shù)y=sinx向左平移φ的單位得到y(tǒng)=sin(x+φ)的圖像，由條件知函數(shù)y=sin(x+φ)可化為函數(shù)y=sin(x-)，易知比較各答案，只有y=sin(x+)=sin(x-)，所以選D項。

二、伸縮變換

(1)函數(shù)y=sinωx，x∈R(其中ω>0，ω≠1)的圖像可以看作把正弦曲線上所有點的橫坐標縮短(當ω>1時)或伸長(當0<ω<1時)到原來的倍而得到的。

函數(shù)y=sin(x+φ)，x∈R(其中φ≠0)圖像的左右伸縮變換對函數(shù)解析式的影響體現(xiàn)在自變量x的變化上，對初相φ則不發(fā)生變化。

要求函數(shù)f1(x)的圖像經(jīng)過左右伸縮變換后對函數(shù)f2(x)的解析式，只要看自變量x的變換，就可得到f2(x)的解析式。

(2)函數(shù)f(x)=Asinx(A>0)的圖像可以看作把正弦曲線上所有點的縱坐標縮短(當01)到原來的A倍而得到的。

例2:將函數(shù)y=3sin()圖像上的橫坐標伸長到原來的兩倍，縱坐標不變所得圖像對應(yīng)的解析式為_____。

解析:函數(shù)圖像上橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，只要將解析式中的x換成，就可得到變換后的函數(shù)表達式。

所以變換后的解析式為:y=3sin。

三、綜合變換

對于函數(shù)f1(x)=Asin(ω1x+φ1)+b與f2(x)=Asin(ω2x+φ2)+b，總可以將其中的一個函數(shù)經(jīng)過平移和伸縮變換得到另一個函數(shù)的圖像。要知道這兩個函數(shù)之間的變換，只要根據(jù)這兩個函數(shù)解析式的變化，看自變量x進行了怎樣的變換，就可以知道對應(yīng)的函數(shù)圖像進行了怎樣的平移和伸縮變換。

要注意的是:由一個函數(shù)圖像變換為另一個函數(shù)圖像時，可以先進行橫坐標的伸縮變換，再進行左右的平移變換，也可以先進行左右的平移變換，再進行橫坐標的伸縮變換，但兩次平移變換的長度一般是不同的。

例3:如何由f(x)=3sin(2x+)的圖像通過平移和伸縮變換得到f(x)=3sin()的圖像?

要弄清三角函數(shù)圖像平移及伸縮變換與解析式之間的對應(yīng)關(guān)系，關(guān)鍵是找到變換前后的兩函數(shù)自變量之間的變換關(guān)系，然后通過平移和伸縮法則，就可較快捷地解決好有關(guān)問題。

(承德縣六溝高中)