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        極小子群半正規(guī)的有限群

        2017-10-23 10:35:10高建玲
        關(guān)鍵詞:任意性反例充分條件

        高建玲

        (大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,山西大同 037009)

        極小子群半正規(guī)的有限群

        高建玲

        (大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,山西大同 037009)

        本文分析了極小子群半正規(guī)的有限群,通過對有限群G的階的素因子分情況討論,應(yīng)用極小反例法與內(nèi)p-冪零群的結(jié)構(gòu)相結(jié)合,給出了有限群是p-冪零的幾個(gè)條件。

        半正規(guī)子群;p-冪零群;p階子群

        蘇向盈[1]在1988年引入了半正規(guī)的概念,得到了有限群超可解性的若干結(jié)果.王品超[2]在蘇向盈的基礎(chǔ)上又得到了一系列新的結(jié)果.王品超,楊兆興[3]利用子群的半正規(guī)性,得到了有限群成為可解群與超可解群的條件及超可解又內(nèi)冪零群的結(jié)構(gòu),并推廣了Ito定理.曾凡輝,李世榮[4]利用某些半正規(guī)或c-正規(guī)子群刻畫有限群結(jié)構(gòu),得到有限群超可解的若干充分條件.

        近年來,借助極小子群性質(zhì)來研究有限群結(jié)構(gòu)的也有大量結(jié)果.例如任永才[5]利用每個(gè)素?cái)?shù)階子群和4階循環(huán)子群在G中擬正規(guī)來研究有限群,討論了極大子群是PQN-群的有限群的結(jié)構(gòu),并確定了2-極大子群是PQN-群的有限非Abel單群.薛瑞,王品超[6]利用極小子群的弱c-正規(guī)性來研究群的結(jié)構(gòu),得到了有限群超可解的一些充分條件.王麗芳[7]借助素?cái)?shù)階子群和4階循環(huán)子群的s-半置換性得到了冪零群的若干充分條件.

        1 預(yù)備知識

        定義1 群G的子群A稱為在G中半正規(guī),若存在子群B,滿足G=AB,且對任一B1

        性質(zhì)2[1]若子群A在G中半正規(guī),則對?x∈G,Ax在G中半正規(guī)且SG(Ax)=SG(A).若B∈SG(A),則對?y∈G,By∈SG(A).

        引理1[8]若p是最小素因子,P∈Sylp(G),且P循環(huán),則G有正規(guī)p-補(bǔ).

        2 主要結(jié)果

        定理1 若G的每個(gè)2階與4階循環(huán)子群在G中半正規(guī),則G是2-冪零群.

        可以應(yīng)用痕跡檢驗(yàn)方法檢驗(yàn)油漆附著物,在發(fā)生多車碰撞交通事故的情況下,可以對同一部位印壓、刮擦痕上的油漆附著物進(jìn)行檢驗(yàn),從而明確碰撞順序。具體而言,交通事故往往發(fā)生于瞬間,車輛相互作用力較大,車表面在外力的相互作用下容易出現(xiàn)破損、變形等情況。車輛表面往往會具有裝飾、保護(hù)功能的漆膜,因外力作用可能發(fā)生脫落、破損等狀況,遺落在其它相關(guān)車輛表面?;诖?,當(dāng)發(fā)生多車碰撞的事故時(shí),以著力點(diǎn)為中心,進(jìn)行痕跡檢驗(yàn),對油漆附著情況進(jìn)行分析,即最上層所附著的油漆,為車輛最后碰撞所留,依次展開分析,有助于交通事故處理人員判斷車輛碰撞順序。

        證明 取G是極小反例.

        任取H

        可見,極小反例不存在,所以G是2-冪零群.

        定理2 設(shè)P∈Syl2(G),若P是交換群,且P的所有2階子群在G中半正規(guī),則G是2-冪零群.

        證明 取G是極小反例.

        由性質(zhì)1(1)知,定理2的條件是子群遺傳的,故G的所有真子群是2-冪零群,從而G是內(nèi)2-冪零群.由文獻(xiàn)[10]Ⅷ的定理3.4可知:

        (ⅱ)如果P為非交換群,則Z(P)=Φ(P)=P′;如果P為交換群,則P為初等交換群.

        由題設(shè)P是交換群,所以P是初等交換群,從而exp(P)=2.任取P的任一非單位元x,則o(x)=2.由題設(shè)存在B≤G,使得G=〈x〉B,且對任一B1

        可見,極小反例不存在,所以G是2-冪零群.

        證明 取G是極小反例.

        由性質(zhì)1(1)知,定理3的條件是子群遺傳的,故G的每個(gè)真子群為p-冪零群,從而G為內(nèi)p-冪零群,由文獻(xiàn)[10]Ⅷ的定理3.4可知

        (ⅰ)G=GpGq,其中Gp和Gq分別為G的p-Sylow子群和q-Sylow子群,Gq循環(huán);

        (ⅱ)當(dāng)p=2時(shí),exp(Gp)≤4;當(dāng)p>2時(shí),exp(Gp)=p.

        可見,極小反例不存在,所以G是p-冪零群.

        推論1 設(shè)p是最小素因子且p>2.若G的所有p階子群在G中半正規(guī),則G是p-冪零群.

        證明 任取x∈G,x≠1,且xp=1.以下分兩種情形討論:

        (ⅰ)若〈x〉=Gp,由引理2可知G為p-冪零群;

        (ⅱ)若〈x〉

        可見,G為p-冪零群.

        [1]蘇向盈.有限群的半正規(guī)子群[J].數(shù)學(xué)雜志,1988(1):5-9.

        [2]王品超.超可解群的若干充分條件[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1990(4):480-485.

        [3]王品超,楊兆興.有限群的某些定理[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展,1995(6):547-549.

        [4]曾凡輝,李世榮.半正規(guī)、C-正規(guī)對群超可解性的影響[J].廣西科學(xué),2003(3):161-164,168.

        [5]任永才.二次極大子群中極小子群和4階循環(huán)子群擬正規(guī)的有限單群[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1990(6):798-803.

        [6]薛瑞,王品超.有限群超可解的若干充分條件[J].揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào),2005(4):9-11,19.

        [7]王麗芳.s-半置換子群對群的冪零性的影響[J].山西師范大學(xué)學(xué)報(bào),2006(4):6-9.

        [8]徐明曜.有限群導(dǎo)引(上)[M].北京:科學(xué)出版社,1999.

        [9]韋華全.子群特性與有限群結(jié)構(gòu)[D].廣州:中山大學(xué),2006.

        [10]徐明曜,黃建華,李慧陵,等.有限群導(dǎo)引(下)[M].北京:科學(xué)出版社,2001.

        FiniteGroupsWithSemi-normalMinimalSubgroups

        GAO Jian-ling

        (School of Mathematics and Computer Sciences, Datong University, Datong Shanxi 037009, China)

        This paper analyses finite groups whose minimal subgroups are semi-normal. By discussing the prime factors of the order of finite groups and combining the minimal counter-example with the structure of innerp-nilpotent groups, we give some conditions that finite groups arep-nilpotent groups.

        semi-normal subgroups;p-nilpotent groups; subgroups of orderp

        O152.1

        A

        2095-7602(2017)10-0004-03

        2017-03-31

        高建玲(1981- ),女,講師,碩士,從事群論研究。

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