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        一維淺水波方程有限體積流通量限制方法的數(shù)值研究

        2010-12-22 11:45:52劉紅霞趙彥普
        關(guān)鍵詞:流通量限制器淺水

        劉紅霞 趙彥普

        (1.東莞職業(yè)技術(shù)學(xué)院,廣東東莞 523808)

        (2.中國科學(xué)院深圳先進(jìn)技術(shù)研究院,深圳 518055)

        淺水波方程是水動(dòng)力學(xué)中一個(gè)重要模型,在地球大氣、海洋、環(huán)境及水利工程、清潔能源的開發(fā)利用等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用.由于該模型是非線性守恒方程組,其解的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜,需借助于數(shù)值模擬的方法進(jìn)行求解.本文要討論的1維齊次淺水波模型方程為:

        其中h代表水流高度,u代表水流速度,g代表重力加速度.上述方程組中第一個(gè)方程表示質(zhì)量守恒,第二個(gè)方程表示動(dòng)量守恒.

        有限體積法又稱為控制體積法.由該方法得到的離散方程,就是狀態(tài)變量在控制體積中的守恒原理.有限體積方法構(gòu)造守恒數(shù)值格式,在求解守恒方程方面有先天的優(yōu)勢(shì).本文將針對(duì)幾種簡單實(shí)用的數(shù)值流通量以及幾種常用的流通量限制器之間的組合搭配進(jìn)行討論,以期得到針對(duì)一維淺水波方程組的更精確的數(shù)值求解計(jì)算方法.

        1 有限體積方法以及算法實(shí)現(xiàn)

        1.1 有限體積方法

        設(shè)我們要求解的標(biāo)量或者向量雙曲守恒方程為:

        1.2 數(shù)值流通量

        有限體積方法的格式設(shè)計(jì)緊密依賴于數(shù)值流通量 fi+1/2(t)的選取,對(duì)于一維淺水波方程組,將用到以下幾種數(shù)值流通量:

        1)Lax-Fridrichs(LF)數(shù)值流通量

        2)Roe數(shù)值流通量

        3)HLLE數(shù)值流通量

        4)FORCE數(shù)值流通量

        5)基于Lax-Wendroff格式和Roe線性化的數(shù)值流通量

        1.3 數(shù)值算法

        本文采用的數(shù)值流通量的一般形式為:

        流通量限制器函數(shù)φ()θ定義為:

        2 數(shù)值算例

        2.1 一維潰壩問題

        我們選取三種不同的淺水波方程(見表 1)來檢驗(yàn)本文方法的效果.以下重力加速度選取為g= 1,空間區(qū)域取為(-5,5),邊界條件為Dirichlet邊界.

        表1 三種不同的淺水波方程

        2.2 模擬結(jié)果

        以下計(jì)算結(jié)果均為計(jì)算到終止時(shí)間 t=1,均勻空間網(wǎng)格,單元數(shù)量為100.

        圖1 問題I,固定數(shù)值流通量,不同流通量限制器函數(shù)下的計(jì)算結(jié)果

        從圖1可以看出,對(duì)于問題I,在固定LF流通量,選取不同的限制器函數(shù)時(shí),選取的流通量限制方法均能達(dá)到較好的抑制大梯度區(qū)域的非物理振蕩的效果.從局部放大效果來看,除Minmod限制器函數(shù)之外的三個(gè)限制器函數(shù)更能保持解在激波附近的大梯度變化.

        圖2 問題I,固定流通量限制器函數(shù),選取不同數(shù)值流通量的計(jì)算結(jié)果

        從圖2可以看出,對(duì)于問題I,在固定van Leer限制器,F(xiàn)ORCE數(shù)值流通量計(jì)算結(jié)果在 2-激波的間斷附近出現(xiàn)了些許振蕩,其余幾個(gè)流通量函數(shù)表現(xiàn)相當(dāng)且沒有出現(xiàn)激波位置的振蕩,這說明FORCE數(shù)值耗散在5個(gè)流通量中最弱,但同時(shí)FORCE數(shù)值最能保持解在間斷附近的陡峭變化.LF數(shù)值流通量是這5個(gè)數(shù)值流通量中數(shù)值耗散作用最強(qiáng)的.

        圖3 問題II,固定數(shù)值流通量,選取不同流通量限制器函數(shù)的計(jì)算結(jié)果

        從圖3可以看出,對(duì)于問題II,在固定Roe流通量,選取不同的限制器函數(shù)時(shí),所選取的方法均能達(dá)到抑制大梯度區(qū)域的非物理振蕩的效果;MC限制器函數(shù)最能保持解的大梯度變化;Superbee限制器下的數(shù)值解在x=-1附近出現(xiàn)了小的振蕩.

        圖4 問題II,固定流通量限制器函數(shù),選取不同數(shù)值流通量的計(jì)算結(jié)果

        從圖4可以看出,對(duì)于問題II,在固定van Leer限制器,選取不同的數(shù)值流通量時(shí):FORCE數(shù)值流通量計(jì)算結(jié)果在 2-激波的間斷附近出現(xiàn)了微小振蕩,其余幾個(gè)流通量函數(shù)表現(xiàn)相近且沒有出現(xiàn)激波位置的振蕩;對(duì)于不同的限制器函數(shù),HLLE數(shù)值流通量計(jì)算結(jié)果比較精確.

        圖5 問題III,固定數(shù)值流通量,選取不同流通量限制器函數(shù)的計(jì)算結(jié)果

        從圖 5可以看出,對(duì)于問題 III,在固定 Roe流通量,選取不同的限制器函數(shù)時(shí),此方法均能達(dá)到較好的抑制大梯度區(qū)域的非物理振蕩的效果;從局部放大效果來看,Superbee限制器函數(shù)更能保持解的銳利圖形.

        圖6 問題III,固定流通量限制器函數(shù),選取不同數(shù)值流通量的計(jì)算結(jié)果

        從圖6可以看出,對(duì)于問題III,在固定van Leer限制器,選取不同的數(shù)值流通量時(shí),均能得到較精確的計(jì)算結(jié)果.其中FORCE數(shù)值流通量在1-稀疏波與 2-稀疏波之間的常值區(qū)域出現(xiàn)了一些小的波動(dòng),其余幾個(gè)流通量函數(shù)結(jié)果相近.另外對(duì)于該初值問題,對(duì)于不同的限制器函數(shù),LLF數(shù)值流通量表現(xiàn)比較準(zhǔn)確.

        3 結(jié) 論

        本文采用基于流通量限制器的有限體積方法,通過限制器函數(shù)使低階數(shù)值流通量與高階數(shù)值流通量得到有效結(jié)合.并且通過3個(gè)特殊的淺水波方程初值問題,對(duì)該方法的效果進(jìn)行了數(shù)值比較.比較結(jié)果顯示該方法能較好地計(jì)算出激波,稀疏波的結(jié)構(gòu);對(duì)于不同初值,不同的限制器與不同的數(shù)值流通量有不同的表現(xiàn);LLF流通量和Superbee的組合是數(shù)值耗散最弱的同時(shí)也能有效抑制非物理振蕩.

        [1]汪繼文,劉儒勛.間斷解問題的有限體積法[J].計(jì)算物理,2001,18(2):97-105.

        [2]韓濤,逢勇,翟金波.基于間斷有限元求解淺水方程[J].西安交通大學(xué)學(xué)報(bào),2007(3):377-379.

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