向以華

（重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，重慶萬州 404100）

近年來，經(jīng)典的變分不等式和相撲問題被推廣于大量的來源于力學(xué)、物理學(xué)、非線性規(guī)劃、經(jīng)濟(jì)與運(yùn)輸平衡、彈性接觸問題.[1-2]本文利用不動(dòng)點(diǎn)理論找出這類變分不等式問題解的存在性.并給出了一個(gè)特殊的結(jié)果.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)V是一個(gè)實(shí)的Hilbert空間，K?V是一個(gè)非空的閉凸集，假設(shè) A: V → V 強(qiáng)單調(diào)和Lipschitz連續(xù)， j: K → R 凸下半連續(xù).考慮下述變分不等式，找u∈K使得

并且解u是Lipschitz連續(xù)地依賴于f.

定義1.1 設(shè)V是一個(gè)賦范空間.一個(gè)子集合K?V稱為是凸的，如果

集合K?V稱為是閉的，如果｛vn｝?K且vn→ v ，集合K稱為弱閉的，如果｛vn｝?K且vn→v可推出v∈K,

定義 1.3 設(shè)K?V是一個(gè)凸集.一個(gè)函數(shù)f: K→ R 稱為是凸的，如果

函數(shù) f稱為是嚴(yán)格凸的，如果上式對(duì)u≠v,λ∈（0,1）時(shí)嚴(yán)格不等號(hào)成立.

引理 1.1 設(shè)是一個(gè)賦范空間.假設(shè)是固有的，凸下半連續(xù)的則存在一個(gè)連續(xù)線性泛函lj∈V′和一個(gè)常數(shù)cj∈ R 滿足

2 主要結(jié)果

定理 2.1 設(shè)V是一個(gè)實(shí)的Hilbert空間，K? V是一個(gè)非空的閉凸集，假設(shè) A:V → V強(qiáng)單調(diào)和Lipschitz連續(xù)， j: K → R凸下半連續(xù).則對(duì)任意f∈V,變分不等式

存在唯一解，并且解u是Lipschitz連續(xù)地依賴于f.

證明.先證解的唯一性.假設(shè)（2.1）有兩個(gè)解u1,u2∈ K.則成立

得 -（A（u1）-A（u2）,u1-u2）≥0.

由A的強(qiáng)單調(diào)性，我們推出 u1= u2.

再證解的存在性.

將問題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的不動(dòng)點(diǎn)問題.對(duì)任意的θ ＞0，問題（2.1）等價(jià)于

對(duì)任意的w∈K，考慮問題

這個(gè)變分不等式等價(jià)于極小值問題

其中

利用結(jié)論：泛函 j（ .）有一個(gè)有界的仿射泛函作為下界，即

其中l(wèi)j是V上的一個(gè)連續(xù)線性形，cj∈ R（見引理1.1），因此根據(jù)A,j,f上的假設(shè)條件，看到E嚴(yán)格凸，下半連續(xù)，且由性質(zhì)

應(yīng)用定理知道問題（2 .4 ），從而問題（2 .3）存在唯一解 w=Pθ（u）.

顯然投影算子 Pθ.的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)是問題（2.2）的一個(gè)解，可以看出對(duì)充分小的θ ＞0,Pθ是壓縮投影算子，由Banach不動(dòng)點(diǎn)定理，投影算子Pθ存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

對(duì)任意 u1,u2∈K,記 w1=Pθ（u1）,w2=Pθ（u2）.

則

于是得到

因此

而

于是對(duì) θ∈（0,2 c0M2）,投影算子Pθ是Hilbert空間V上的一個(gè)壓縮投影算子.

最后 f1,f2∈ V,記u1,u2為變分不等式（2.1）相應(yīng)的解.則

兩個(gè)不等式相加，得

故

即解u依賴于f的Lipschitz連續(xù)性.

考慮定理（2.1）的一種特殊情況，f （v）≡ 0, v ∈ K,則（2.1）簡(jiǎn)化為

作為定理2.1的一個(gè)推論有：

定理 2.2 設(shè)V是一個(gè)實(shí)的Hilbert空間，K? V是一個(gè)非空的閉凸集，假設(shè) A:V → V強(qiáng)單調(diào)和Lipschitz連續(xù)，則對(duì)任意f∈V,變分不等式（2.5）存在唯一解u∈K,這個(gè)解是Lipschitz連續(xù)地依賴于f.

定理2.2是研究線性橢圓型邊值問題唯一可解性的 Lax- Milg ram 引理的一個(gè)推廣.

[1]張石生.變分不等式和相撲問題理論及其應(yīng)用[M].上海：上海科技文獻(xiàn)出版社，1991.

[2]Noor M A.Optimization,1994,30:323-330.

[3]Banach空間中的廣義隨機(jī)混合似變分不等式問題[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1999（5）：829-833.