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        廣義加權(quán)二乘極小點(diǎn)的存在唯一性

        2010-12-22 11:46:06劉學(xué)飛
        關(guān)鍵詞:數(shù)域內(nèi)積恒等式

        劉學(xué)飛

        (重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,重慶萬(wàn)州 404100)

        在一維、二維、三維、向量空間上有關(guān)質(zhì)心及二乘極小點(diǎn)的討論已經(jīng)非常深入,如文[1];但在更廣泛的空間上,關(guān)于質(zhì)心及二乘極小點(diǎn)的討論還有待深入.本文在線性內(nèi)積空間上給出廣義質(zhì)心及加權(quán)二乘極小點(diǎn)的定義,得到了與質(zhì)心相關(guān)的一個(gè)恒等式,討論了加權(quán)二乘極小點(diǎn)的存在及唯一性.

        1 預(yù)備知識(shí)

        設(shè)(Ω,*)是線性內(nèi)積空間,二元代數(shù)“*”: ? x,y ∈Ω ,x * y =< x,y>表示x與y的內(nèi)積.“*”具有內(nèi)積的性質(zhì)

        1)x * y = y *x

        2)(kx) * y = k(y *x)

        3)(x1+ x2)*y =x1*y +x2*y

        4) x*x≥ 0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0,等號(hào)成立,記 x*x=x2(其中k∈數(shù)域P : 實(shí)數(shù)域或子域)

        定義2 ||x-y||叫做x與y的距離.

        顯然上述定理滿足距離的三個(gè)性質(zhì).

        2 主要結(jié)論

        定義3 設(shè) x1,x2,… ,xN∈Ω,在每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)

        為質(zhì)點(diǎn)系 x1,x2,… ,xN的質(zhì)心.

        定理 1 (廣義質(zhì)心恒等式)(Ω,*)是數(shù)域 P上的線性內(nèi)積空間, x1,x2,… ,xN∈Ω,x0是質(zhì)心,則?y∈Ω,有

        證明:由內(nèi)積空間的性質(zhì)及定義1,2,3有

        當(dāng)Ω= R3時(shí),上述結(jié)論就化歸文[1]的主要結(jié)論.

        推論1 設(shè) x1,x2,… ,xN∈Ω,x0由(1)式定義,當(dāng)mi∈R,且 ∑ mi>0,則?y∈Ω,有

        定義4 設(shè) x1,x2,… ,xN∈Ω,?mi∈R,且∑ mi>0,若?x0∈Ω,使?y∈Ω有

        則稱x0為質(zhì)點(diǎn)系 x1,x2,… ,xN關(guān)于權(quán)m1, m2,… ,mN的加權(quán)二乘極小點(diǎn).

        定理2 (Ω,*)是數(shù)域P上的線性內(nèi)積空間,?x1,x2,… ,xN∈Ω , ?m1,m2,…,mN∈R , 且∑ mi>0, 則 質(zhì) 點(diǎn) 系 x1,x2,…,xN關(guān) 于 權(quán)m1, m2,… ,mN的加權(quán)二乘極小點(diǎn)存在且唯一.

        證明 存在性有定義4及推論1立即可得.下證唯一 性 : 設(shè) y0是 x1,x2,… ,xN關(guān)于權(quán)m1, m2,… ,mN的加權(quán)二乘極小點(diǎn),按定義4,有

        注:如果在定義4中,若把 ∑ mi>0,改為∑ mi<0,同樣可以定義加權(quán)二乘極大點(diǎn)的概念,并討論其存在唯一性.

        ∑mi||xi-x ||2=C 的點(diǎn)x的軌跡是

        當(dāng)K>0,點(diǎn)x的軌跡是線性內(nèi)積空間廣義的球面域;當(dāng)K=0,則軌跡退化為單點(diǎn)集{x0};當(dāng)K< 0,其軌跡為虛球面域;這里x0按(1)式定義.

        證明:根據(jù)定理1很容易證明.

        例1 Gi(αi,βi,γi)是三維空間R3(i = 1,2,… ,

        其中

        其中

        各種具體內(nèi)積線性空間中,類似的例子還很多,此處就不再一一枚舉了.

        [1]續(xù)鐵權(quán).與質(zhì)心相關(guān)的一個(gè)恒等式[J].數(shù)學(xué)通報(bào),1998(11):38-40.

        [2]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)(第三版)[M].北京:高教出版社,2003.

        [3]張禾瑞,郝炳新.高等代數(shù)(第三版)[M].北京:高教出版社,1989.

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