李坤全 ，康 琰，文 睿

(1.河南工程學(xué)院 機械工程系，河南 鄭州 451191；2.河南工程學(xué)院 土木工程系，河南 鄭州 451191)

機構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計是保證機構(gòu)性能的重要手段，成功地設(shè)計一個機器人系統(tǒng)的關(guān)鍵因素是在滿足預(yù)先給定的性能技術(shù)指標的前提下，充分考慮其運動學(xué)與動力學(xué)性能.由于六維減振平臺是復(fù)雜的機電系統(tǒng)，機構(gòu)參數(shù)和控制參數(shù)之間存在著耦合現(xiàn)象，為提高減振平臺系統(tǒng)的性能指標，本文從機構(gòu)與控制同步優(yōu)化的觀點出發(fā)[1-4]，對以6-RSS并聯(lián)機器人為主體機構(gòu)的減振平臺的參數(shù)進行了優(yōu)化設(shè)計，通過計算仿真驗證了六維減振平臺的控制和機構(gòu)同步優(yōu)化的有效性.

1 機構(gòu)優(yōu)化設(shè)計目標函數(shù)的建立

6-RSS并聯(lián)機構(gòu)單支鏈的結(jié)構(gòu)如圖1所示，支鏈與靜、動平臺分別通過轉(zhuǎn)動副和球鉸相連，通過控制變位執(zhí)行器上的伺服電機，確保各變位執(zhí)行器所需的角度，從而實現(xiàn)動平臺高精度的大位移減振.減振平臺主體機構(gòu)動平臺中心點的位置和姿態(tài)坐標可表示為：

P=(px，py，pz，θx，θy，θz)，

這里，px，py，pz和θx，θy，θz分別表示動平臺原點在靜平臺固定坐標系的位置和轉(zhuǎn)動分量，且動平臺原點為O.關(guān)于并聯(lián)機構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計，相關(guān)的學(xué)者提出了各種各樣的優(yōu)化設(shè)計目標函數(shù)，但普遍認為，雅克比矩陣的條件數(shù)是作為運動學(xué)性能最優(yōu)的較為理想的目標函數(shù)，原因表述如下：

圖1 6-RSS 支鏈簡圖Fig.1 6-RSS ranched-chain diagram

6-RSS并聯(lián)機構(gòu)支鏈驅(qū)動桿運動角速度與動平臺運動速度的關(guān)系為：

(1)

(2)

(3)

式中，‖·‖表示矩陣或向量的模.由式(3)可以看出，‖J‖·‖J-1‖剛好為Jacobian條件數(shù)，記為：

C(J)=‖J‖·‖J-1‖.

仔細研究可知，雅克比矩陣條件數(shù)剛好也可看為支鏈驅(qū)動桿運動角速度的相對誤差引起動平臺速度相對誤差的放大系數(shù).因此，Jacobian矩陣的條件數(shù)可作為提高減振平臺主體機構(gòu)動平臺軌跡運動精度的優(yōu)化設(shè)計目標函數(shù).而且，由式(3)可以看出，若想獲得最優(yōu)的運動性能，Jacobian矩陣的條件數(shù)必須最小，同時考慮到機構(gòu)不能奇異.因此，優(yōu)化目標函數(shù)為：

(4)

det(J)>0，

這里，n為運動軌跡空間離散的點數(shù).

2 控制優(yōu)化設(shè)計目標函數(shù)的建立

六維減振平臺主體機構(gòu)的動力學(xué)方程式可表示為：

(5)

這里的J為雅克比變換矩陣，m為動平臺質(zhì)量，G(·)為系統(tǒng)非線性項，由阻尼矩陣和剛度矩陣組成，l1i為支鏈中CiBi的長度，l2i為支鏈中BiAi的長度，i=1，2…，6，F(xiàn)′ 為動平臺中心點所受的外力，M′ 為動平臺中心點所受的外力矩，τ為控制輸入向量.

式(5)表明，通過控制輸入向量τ，可使動平臺按照預(yù)先的規(guī)劃軌跡在空間運動.從控制的角度來講，就是如何合理地構(gòu)造出輸出使得系統(tǒng)的上升時間、輸出超調(diào)量和調(diào)整時間性能達到最小，而這些控制指標可以由下面的函數(shù)表示[5]：

(6)

式中，△P1=P-Pd表示動平臺位姿誤差.當反饋時間△t取為常量時，可得到控制性能為目標的函數(shù)離散表達式

(7)

由上面的推導(dǎo)過程，可以看出，式(5)表示系統(tǒng)輸出向量P是由控制量向量τ和結(jié)構(gòu)設(shè)計參數(shù)共同決定的，這說明結(jié)構(gòu)和控制是相互耦合的.因此，為得到系統(tǒng)良好的輸出品質(zhì)，有必要對結(jié)構(gòu)和控制同步優(yōu)化.

3 6-RSS并聯(lián)機器人的同步優(yōu)化

3.1 系統(tǒng)同步優(yōu)化的目標函數(shù)

由于結(jié)構(gòu)設(shè)計者和控制設(shè)計者所關(guān)注的目標不同，相對應(yīng)的指標優(yōu)化函數(shù)也是不同的，這里考慮到機構(gòu)奇異性約束的影響[6]，將控制與結(jié)構(gòu)設(shè)計兩個領(lǐng)域內(nèi)的目標統(tǒng)一為一個單目標優(yōu)化函數(shù)

(8)

其中，a1，a2為平衡因子，這是因為矩陣的條件數(shù)的數(shù)值較大，而誤差的值較小，為了防止優(yōu)化計算中出現(xiàn)大數(shù)“吃掉”小數(shù)的情況，通過平衡因子將兩者處于同一數(shù)量級，本次仿真中取a1=10-3，a2=103.H為懲罰項.式(8)是一個既包含結(jié)構(gòu)優(yōu)化函數(shù)又包含控制優(yōu)化函數(shù)為的優(yōu)化模型.我們將其中的變量定義為V=[V1，V2]，并且V1為結(jié)構(gòu)設(shè)計變量組成的向量，V2為控制設(shè)計變量組成的向量.那么，其敏度為：

(9)

對式C(J)=‖J‖·‖J-1‖中的V變量求偏導(dǎo)得：

由△P1=P-Pd，可知式(9)等號右邊的 ?△P1(t)/?V可以寫成如下形式：

(10)

Pd在這里為理論規(guī)劃值，即有?Pd/?V=0. 理論上?P/?V的值可以通過式(5)對設(shè)計變量偏導(dǎo)數(shù)求得.

(11)

但是，在實際中很難從式(11)中獲得?P/?V的數(shù)值解，這是因為對于式(5)來說，只能得到P的數(shù)值解，而?P/?V值無法直接求得，雖然非線性項G(·)的表達式是明確的，但它對參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的表達式很難獲得，推導(dǎo)過程非常復(fù)雜，其符號表達式很難顯式給出.也正因為如此，有些參考文獻將復(fù)雜系統(tǒng)的敏度分析列為結(jié)構(gòu)設(shè)計與控制設(shè)計同步優(yōu)化的難點之一.此外，在控制算法中，輸入力矩τ通常為誤差或系統(tǒng)狀態(tài)變量所組成的函數(shù)，基于上面原因我們知道?τ/?V的值也是很難獲得的.為了避免非線性項G(·)在求偏導(dǎo)數(shù)所帶來的困難，很多學(xué)者采用不需要知道導(dǎo)數(shù)信息的優(yōu)化算法進行計算，如遺傳算法[7].但是，由于結(jié)構(gòu)與控制同步優(yōu)化中含有大量的設(shè)計變量，使得這些算法計算效率很低.因此，目前文獻給出的算例僅能對一些簡單的非線性結(jié)構(gòu)進行結(jié)構(gòu)與控制的同步優(yōu)化.

3.2 減振平臺滑?？刂破鞯脑O(shè)計

為了解決在計算非線性矩陣G(·)求導(dǎo)過程中帶來的問題，這里我們構(gòu)造6-RSS減振平臺的滑?？刂破鳎』Ｃ鏋椋?/p>

S=T2△P2+T1△P1，

(12)

式中， △P1=P-Pd， △P2=P-Pd，T1=diag[t1i]6×6，T2=diag[t2i]6×6(i=1，2，…，6)且t1i>0和t2i>0均為可調(diào)參數(shù).將式(12)對時間求導(dǎo)得：

(13)

(14)

將式(14)代入式(5)，并經(jīng)過一系列變換，得

(15)

這里，式(15)和式(5)是完全等效的，通過比較，可以看到式(15)為簡單的線性表達式，非線性項G(·)被抵消，于是，對復(fù)雜非線性方程式(5)的敏度分析就轉(zhuǎn)化為對線性方程式(15)的分析，這無疑簡化了對參數(shù)敏度分析的難度.

3.3 系統(tǒng)優(yōu)化目標函數(shù)的敏度求解

式(15)對V求導(dǎo)得：

(16)

(3) 將?△P1/?V數(shù)值和式(16)代入式(9)，得到f3對參數(shù)的敏度值，這樣就可以利用優(yōu)化算法對參數(shù)進行優(yōu)化[8].

4 計算仿真

機構(gòu)參數(shù)為6-RSS并聯(lián)機構(gòu)上、下6個鉸接點的坐標，如果直接對這些變量進行優(yōu)化，將使得動、靜平臺的6個鉸接點不共面，這非常不利于機械制造.為了便于制造，我們假設(shè)轉(zhuǎn)動副和球面鉸的鉸接點Ci，Ai分別位于同心圓上，鉸接點分為3組，每組夾角相同，組與組之間夾角為120°. 這樣機構(gòu)的設(shè)計變量由36個簡化為4個(rC，rA，φ1，φ2).

首先，用傳統(tǒng)的機電設(shè)計方法，即先確定結(jié)構(gòu)參數(shù)，結(jié)構(gòu)參數(shù)已知的情況下進行控制器的設(shè)計，之后再用本文方法分別對減振平臺主體機構(gòu)進行優(yōu)化設(shè)計，仿真時減振平臺動平臺運行軌跡為一個高度為0.5 m、半徑為0.15 m的水平圓，通過比較兩種方法的位置跟蹤誤差說明結(jié)構(gòu)和控制同步優(yōu)化設(shè)計的有效性.

對于以6-RSS并聯(lián)機構(gòu)為主體機構(gòu)的減振平臺來說，傳統(tǒng)機電設(shè)計方法首先僅考慮在其運行軌跡內(nèi)運動性能指標函數(shù)f1，求機構(gòu)參數(shù)的取值使得6-RSS并聯(lián)機構(gòu)的雅克比矩陣條件數(shù)之和f1最小(f1=4.986×106).該部分不需要求解動力方程，結(jié)構(gòu)參數(shù)確定后，僅對控制參數(shù)進行敏度分析，使調(diào)整參數(shù)T1，T2的值達到最優(yōu)，整個過程中結(jié)構(gòu)和控制參數(shù)是分別進行的.而本文所述機構(gòu)與控制設(shè)計同步優(yōu)化在結(jié)構(gòu)參數(shù)確定時考慮了控制的影響，同時，控制參數(shù)的確定也考慮了結(jié)構(gòu)方面的因素.因此，結(jié)構(gòu)與控制參數(shù)的取值必然相互制約，這一點可以從兩種不同設(shè)計方法的設(shè)計參數(shù)優(yōu)化結(jié)果中看出，如表1，表2，表3所示.

表1 機構(gòu)參數(shù)對比表Tab.1 Structural design parameters comparison table

表2 控制參數(shù)T1對比表Tab.2 Control design parameters T1 comparison table

表3 控制參數(shù)T2對比表Tab.3 Control design parameters T2 comparison table

在兩組不同參數(shù)下，動平臺位置的跟蹤圖、仿真結(jié)果見圖2.

圖2是用傳統(tǒng)機電設(shè)計方法得到的位置軌跡跟蹤及其誤差圖，其中第一排分別表示x,y,z三個方向上的軌跡跟蹤情況，第二排則是三個方向上相應(yīng)的位置誤差.圖3是用本文提出方法得到的跟蹤及其誤差圖，圖中的含義與圖2相同.

圖2 傳統(tǒng)機電設(shè)計方法下跟蹤與誤差Fig.2 Tracking and error of the traditional mechanical and electrical design methods

圖3 同步優(yōu)化方法跟蹤與誤差Fig.3 Title in English tracking and error of the integrated optimal methods

采用結(jié)構(gòu)與控制同步優(yōu)化方法盡管在系統(tǒng)的某個方面取值可能并不是最優(yōu)，但對于整個系統(tǒng)輸出而言，對比兩種不同設(shè)計方法仿真得到的誤差圖可以看出，采用同步優(yōu)化的方法使動平臺的位置誤差大大下降，可見采用結(jié)構(gòu)與控制同步優(yōu)化的思想更能夠提高系統(tǒng)的綜合性能.

5 結(jié) 論

(1) 通過構(gòu)造適當?shù)目刂破?，將?fù)雜的非線性方程等效化簡為簡單的線性方程，將非線性方程的敏度分析轉(zhuǎn)化為線性方程的敏度分析，化簡了復(fù)雜系統(tǒng)求敏度的難題.

(2) 為并聯(lián)機構(gòu)中多目標函數(shù)參數(shù)的優(yōu)化提供了一種思路.

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