夏立新陳翠云袁盼盼

(1．河南科技大學(xué) 物理系,河南 洛陽 471003；2．河南科技大學(xué) 藝術(shù)學(xué)院,河南 洛陽 471003)

0. 言

在量子力學(xué)中，算符的不對易給量子系統(tǒng)的數(shù)學(xué)處理帶來了復(fù)雜性與困難，有什么方法能使普通數(shù)與算符在數(shù)學(xué)處理上的差距縮小呢? 如何把量子力學(xué)中抽象的符號法變得淺顯易懂，變得更實(shí)用呢? 這是我們需要研究的課題。

在符號表示方法上，突出的是狄拉克,通過結(jié)合薛定諤波函數(shù)的物理思想，他開創(chuàng)性地引入了態(tài)矢這一概念，并建立了q數(shù)與態(tài)矢的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，狄拉克進(jìn)一步用抽象的方式直接處理一些有重要意義的物理量。狄拉克的符號法不只是非常有用的數(shù)學(xué)方法，更為重要的是它能深入事物的本質(zhì)，可用簡潔精煉的方式來表達(dá)物理規(guī)律。在物理觀念上, 符號法對量子力學(xué)的發(fā)展具有革命性的貢獻(xiàn)[1]。

從狄拉克提出符號法以來,符號法已引起了許多研究者的關(guān)注[2-6]。特別是范洪義教授，他從解決積分系統(tǒng)地建立了有序算符積分法理論，他相繼出版了三部重要的學(xué)術(shù)專著[2-4]，為符號法的發(fā)展做出了貢獻(xiàn)，取得了重要的成果。在看似已非常完善的量子力學(xué)理論體系中，解決了多年來懸而未決的若干問題，開辟了一個全新的研究方向，發(fā)展了量子力學(xué)的表象與變換理論[2]。該積分法在量子光學(xué)、群表示論、固體理論，耦合振子動力學(xué)、Wigner函數(shù)、經(jīng)典力學(xué)向量子力學(xué)的過渡、統(tǒng)計(jì)力學(xué)、相干態(tài)與壓縮態(tài)等方面發(fā)揮了積極的作用。在有序算符積分法的基礎(chǔ)上，范教授也系統(tǒng)地建立了量子力學(xué)的糾纏態(tài)表象，并介紹了它在量子光學(xué)、固體物理、熱場動力學(xué)和量子場論等方面的應(yīng)用[3]。同時，范教授進(jìn)一步地建立了量子力學(xué)的連續(xù)糾纏態(tài)表象，使量子光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)理論得到了更新的發(fā)展，對相干態(tài)、壓縮態(tài)、相位算符，以及量子主方程等理論都有嶄新的闡述，深化了量子糾纏的思想。還給出了若干糾纏態(tài)表象、量子幺正變換等變換理論，促進(jìn)了對傅利葉光學(xué)理論的研究[4]。

本文主要介紹了量子力學(xué)中玻色子算符正規(guī)乘積算符的積分方法。特別是，對正規(guī)乘積算符積分法及其應(yīng)用的教學(xué)給出了簡單的探討。在量子力學(xué)的教學(xué)中，期望該積分法引起廣泛的關(guān)注，它有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。

1.規(guī)乘積及其性質(zhì)

對于波色子算符a和 a+，由其所構(gòu)成的任何函數(shù)或算符f( a,a+)，可寫為

其中，j,k,l,???,m是正整數(shù)或零。利用算符a和a+的對易關(guān)系[ a, a+]=1，可將任意算符(1)中的產(chǎn)生算符 a+都移到所有湮滅算符a的左邊，這時，我們稱算符 f( a,a+)已被排列成了正規(guī)乘積形式，并用︰︰標(biāo)記。算符的正規(guī)乘積在量子場論、量子光學(xué)、固體物理等理論的描述中都被廣泛采用。算符有序乘積有三種常見的形式，分別為正規(guī)乘積、反常乘積和對稱乘積。其中，正規(guī)乘積具有非常重要的性質(zhì)，它們是發(fā)展狄拉克的符號法以及表象理論的重要形式[1]。本文以正規(guī)乘積為例。首先，我們參考文獻(xiàn)[2-4]寫出八條正規(guī)乘積的性質(zhì)，它們給出如下

① 正規(guī)乘積內(nèi)，玻色子算符相互對易。

② 對于c數(shù)(普通數(shù))，它可自由出入正規(guī)乘積記號。

③ 對于正規(guī)乘積內(nèi)的c數(shù)，可進(jìn)行積分(或微分)運(yùn)算，只要積分是收斂的。

④ 正規(guī)乘積內(nèi)部的函數(shù)的和差可以分拆,即,︰W±V︰ =︰W︰±︰V︰。

⑤ 厄米共軛操作可進(jìn)入︰︰內(nèi)，也就是，

(︰W???V︰)+=︰(W???V)+︰。

⑥ 正規(guī)乘積內(nèi)的正規(guī)乘積記號可以取消；或在︰︰內(nèi)部的任意兩個算符(相鄰或不相鄰的)緊外邊可以加上正規(guī)乘積記號。

（2）菌種馴化將活化后的乳酸菌接種到山羊乳中訓(xùn)化增殖，依次調(diào)整菌種接種量為8%，4%，2%，40℃恒溫培養(yǎng)至凝乳，保證菌種活力能在4 h內(nèi)凝乳。

⑦ 正規(guī)乘積內(nèi)，以下兩個等式成立：

對單模情形，表示為

在教學(xué)中，我們要逐一地將這八個性質(zhì)詳細(xì)地介紹給學(xué)生，讓他們能夠很好地理解，并能靈活運(yùn)用它們。

2.本算符的正規(guī)乘積表示

這一節(jié)，我們介紹兩個基本算符的正規(guī)乘積表示。首先，給出真空投影算符00的正規(guī)乘積展開形式

這是容易證明的。根據(jù)文獻(xiàn)[2]的方法，由粒子態(tài)的完備性，可得

在具體的計(jì)算中，公式(2)和(6)是兩個重要算符的正規(guī)乘積表示。在教學(xué)中，不僅要介紹給學(xué)生，同時還要學(xué)生會證明。證明過程對理解算符正規(guī)乘積的性質(zhì)是很有幫助的。

3.規(guī)乘積算符積分法

對于玻色算符, 正規(guī)乘積算符積分法，這個理論充分注意并應(yīng)用了正規(guī)乘積的性質(zhì)，其基本思想[2-4]可表述為：利用正規(guī)乘積內(nèi)部玻色算符相互對易的特點(diǎn),只要把原本并不對易的玻色算符變?yōu)檎?guī)乘積形式，就可在對互不為共軛量的投影型積分算符積分時，可把算符視為互相對易的(c數(shù))參量，這樣，積分就可以順利進(jìn)行。最后，把積分結(jié)果取消其正規(guī)乘積形式，從而可恢復(fù)算符明顯的不對易性。

在教學(xué)中，最好用一個簡單的例子來說明正規(guī)乘積算符積分法，這樣使學(xué)生更容易理解。

上面，只說明了正規(guī)乘積積分法。算符的排序還有反正規(guī)乘積和對稱乘積，相應(yīng)的就有反正規(guī)乘積和對稱乘積積分法，有興趣的讀者可參考文獻(xiàn)[2-4]。上述三種積分法可統(tǒng)稱為有序乘積積分法。

4.單應(yīng)用

為了對正規(guī)乘積算符積分法有一個更深的認(rèn)識, 本節(jié)中，我們舉文獻(xiàn)[2]中的兩個例子來說明該積分法的應(yīng)用。

其中, ︰e?a+︰a的左邊是產(chǎn)生算符,右邊是湮滅算符。因此，整個被積的算符函數(shù)已被排成正規(guī)乘積。所以，可把左邊的︰移到第一個指數(shù)左邊，并把右邊的︰移到第三個指數(shù)的右邊。根據(jù)性質(zhì)①，玻色算符在︰︰內(nèi)對易,三個exp指數(shù)函數(shù)的指數(shù)可直接相加，(8)式變成

5.束語

總之，本文介紹了正規(guī)乘積算符積分法及其應(yīng)用的教學(xué)探討。正規(guī)乘積算符積分法使狄拉克的符號法更完美、更具體，而且能更好地表達(dá)物理規(guī)律。

在教學(xué)中，正規(guī)乘積算符積分法的關(guān)鍵是如何利用正規(guī)乘積算符的八個性質(zhì)，以及兩個基本公式(2)和(6)。符號法知識的教學(xué)是非常重要的，期望該積分法引起廣泛的關(guān)注，它有利于本科學(xué)生加強(qiáng)基本功、擴(kuò)大知識面，以及有利于培養(yǎng)他們發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。

[1]P.A. Dirac, The Principle of Quantum Mechanics[M], Oxford:Oxford University Press，1958.

[2]范洪義,量子力學(xué)表象與變換論----狄拉克符號法進(jìn)展[M],上海:上?？茖W(xué)出版社, 1997.

[3]范洪義,量子力學(xué)糾纏態(tài)表象及應(yīng)用[M],上海:上海交通大學(xué)出版社,2001.

[4]范洪義,從量子力學(xué)到量子光學(xué)---數(shù)理進(jìn)展[M],上海:上海交通出版社,2005.

[5]W.Y. Louisell,Quantum Statistical Properties ofRadiation[M],New York:John Wiley Press,1973.

[6]M.O. Scully, M.S. Zubairy, Quantum Optics[M], Cambridge:Cambridge University Press, 2000.