黃燕平

（湖南科技學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，湖南 永州 425100）

不定積分的計(jì)算常用的方法有：直接積分法、換元積分法和分部積分法，計(jì)算不定積分，一般都是根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)來選擇具體的方法?？墒?，我們在大量計(jì)算中發(fā)現(xiàn)，有些不定積分不能直接運(yùn)用以上幾種方法，而是要將被積函數(shù)適當(dāng)變形以后才能計(jì)算，所以，我們有必要對被積函數(shù)的變形方法進(jìn)行研究。當(dāng)然，被積函數(shù)變形的方法和技巧有很多，本文主要探討的是在不定積分的計(jì)算中如何巧妙地運(yùn)用“1”，將被積函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)刈冃?，從而達(dá)到簡化積分的目的。

一、將“1”用sin 2 x +c os2x代替

三角函數(shù)的積分，計(jì)算非常靈活，在以上幾種基本方法的基礎(chǔ)上，還有一些其他方法，比如：配對積分法、分項(xiàng)積分法和萬能變換法等等。其中，運(yùn)用萬能公式，通過三角變換總可以將一個(gè)三角函數(shù)有理式化為一個(gè)有理函數(shù)。因此，這就提供了一個(gè)求三角函數(shù)有理式積分的固定方法，但是我們知道，這種方法計(jì)算比較繁瑣。所以，對于某些特殊的三角函數(shù)的積分，我們可以采取將被積函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)刈冃?，再選擇用基本方法來計(jì)算。下面我們探討的是將被積函數(shù)中的“1”用sin2x+co s2x 來代替，從而達(dá)到被積函數(shù)變形的目的。

二、分子加“1”減“1”

上面我們是通過將被積函數(shù)中的“1” 用sin2x+cos2x 來代替，從而將被積函數(shù)適當(dāng)變形，達(dá)到便于積分的目的。下面，我們介紹的方法是根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)，在被積函數(shù)的分子上加“1”減“1”，然后將被積函數(shù)拆成幾項(xiàng)，再分別求積分。

在例題9中既用到了在被積函數(shù)的分子上加“1”減“1”的方法，又用了將“1” 用sin2x +c os2x來代替的方法。

三、將1適當(dāng)拆分

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2007.

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[3]梁漢光.三角函數(shù)有理式積分[J].廣西民族大學(xué)學(xué)報(bào)2006（12）.

[4]薛秋.不定積分常用技巧初探[J].高教視野,2009,(1).