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        談如何將醫(yī)學問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題

        2010-10-27 09:10:10杰,董
        衛(wèi)生職業(yè)教育 2010年3期
        關(guān)鍵詞:感染者數(shù)學模型傳染病

        魏 杰,董

        (蘭州工業(yè)高等專科學校,甘肅 蘭州 730050)

        談如何將醫(yī)學問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題

        (蘭州工業(yè)高等??茖W校,甘肅 蘭州 730050)

        對于醫(yī)學中的大量實際問題,可通過分析和篩選,剔除次要因素,突出主要因素,做適當抽象和簡化,將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,進而利用數(shù)學方法解決。

        高等數(shù)學;數(shù)學模型;數(shù)學教學;醫(yī)學

        隨著科學技術(shù)的發(fā)展和計算機的應用與普及,醫(yī)學逐步由傳統(tǒng)的定性描述階段向定性、定量分析相結(jié)合的新階段發(fā)展,即從能夠有效探索醫(yī)學科學領(lǐng)域中物質(zhì)的量與量關(guān)系的規(guī)律性,向定量、精確、可計算、可預測、可控制的方向發(fā)展。而數(shù)學模型正是有助于醫(yī)學家及生物學家將某些變量隔離出來、預測未來實驗結(jié)果或推論無法測量的種種關(guān)系的強有力的工具。因此,數(shù)學模型及數(shù)學理論與方法在醫(yī)學中的應用日益廣泛和深入。最引人注目的是醫(yī)療診斷專家系統(tǒng)[1]及1974年丹麥免疫學家Niels K.Jerne在其論文《關(guān)于免疫系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)學說》中揭示的現(xiàn)代醫(yī)學科研新模式:醫(yī)學問題—數(shù)學化(定量分析)—數(shù)學模型—反饋修正(實踐檢驗)—定性理論。還有一些作者在預防醫(yī)學、基礎(chǔ)醫(yī)學和臨床醫(yī)學等傳統(tǒng)學科試圖建立數(shù)學模型和運用數(shù)學理論與方法來探索其數(shù)量規(guī)律[2]。

        而目前大多數(shù)醫(yī)學院校僅開設(shè)高等數(shù)學課程,并沒有開設(shè)數(shù)學建模課程,使得數(shù)學教學內(nèi)容與醫(yī)學嚴重脫節(jié),沒有注意訓練學生如何從實際醫(yī)學問題中提煉出數(shù)學模型,以及如何將數(shù)學分析的結(jié)果用來解決實際問題,其結(jié)果是學生學了不少數(shù)學知識,但不會應用。所以高等數(shù)學作為醫(yī)學院校的一門基礎(chǔ)課程,應將數(shù)學建模思想滲透到教學內(nèi)容中[3~6]。但由于高等數(shù)學的高度抽象性和嚴密邏輯性,往往會給學生的學習和教師的授課帶來一定困難。為了使學生能更好地掌握這門課程并能用高等數(shù)學基礎(chǔ)知識解決醫(yī)學中的一些實際問題,正確理解和鞏固所學知識,強化其應用數(shù)學解決實際問題的意識,我們結(jié)合一些具體的醫(yī)學問題,分析和討論數(shù)學模型方法的應用。

        用數(shù)學方法解決醫(yī)學問題的關(guān)鍵是如何將醫(yī)學問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,即如何在兩者之間建立一座橋梁(建模)。我們根據(jù)多年的數(shù)學建模教學經(jīng)驗,分析、討論如何建模并給出一些醫(yī)學問題的數(shù)學模型。

        1 如何將醫(yī)學問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題

        建立一個醫(yī)學問題的數(shù)學模型,除需要必須的醫(yī)學專業(yè)知識外,還需要一定的洞察力和想象力,以便篩選、剔除次要因素,突出主要因素,并作出適當?shù)某橄蠛秃喕?。全過程一般分為表述、求解、解釋、驗證幾個階段,通過這些階段完成從現(xiàn)實對

        象到數(shù)學模型、再從數(shù)學模型到現(xiàn)實對象的循環(huán)(見圖1)。

        圖1 醫(yī)學問題建立數(shù)學模型流程

        其中表述即將醫(yī)學問題翻譯成數(shù)學問題,用數(shù)學語言確切表達出來。這是一個關(guān)鍵的過程,需要對實際醫(yī)學問題進行分析,甚至要調(diào)查研究,查找資料,對問題進行簡化、假設(shè)、數(shù)學抽象,運用有關(guān)的數(shù)學概念、數(shù)學符號和數(shù)學表達式去表現(xiàn)醫(yī)學對象及其關(guān)系。求解即選擇恰當?shù)姆椒?,求得?shù)學模型的解答。解釋即為將數(shù)學解答用普通人能聽懂的語言翻譯為現(xiàn)實對象。最后通過實踐驗證解答的合理性。

        由于醫(yī)學問題的復雜性,建立數(shù)學模型不一定一次就能成功。一次建模不成功時,可以先剔除實際醫(yī)學問題中的次要因素,建立比較簡單的數(shù)學模型。然后逐次修改并逐漸強化條件,從而建立比較符合實際問題的數(shù)學模型。

        2 模型實例

        2.1 以血管中單位時間的血流量問題為例討論如何將醫(yī)學問題表述成數(shù)學問題

        雖然血管呈現(xiàn)出一個不規(guī)則的幾何形狀,但其類似于圓柱體。首先在合理的假設(shè)下結(jié)合本問題所涉及到的專業(yè)知識建立一個粗略的模型,將血管看成一個圓柱形的管子去考慮。設(shè)其橫截面的半徑為R(cm),管中的血流平行于血管的中心軸。由于血管中血液在各點處的流速v是各點與血管中心距離r的函數(shù),即v=v(r),故此時血流量等于流速乘以面積。而已知距離中心軸r處血的流速為:

        其中 η 為血液的粘滯系數(shù),L 為血管長度,P1、P2(P1>P2)為血管左、右端的血壓。

        然后求出單位時間內(nèi)通過的血流量Q,但這只是粗略的近似值。那么如何才能得到精確的答案呢?聯(lián)想到高等數(shù)學中在求不規(guī)則立體體積時使用的微元法,在取定的橫截面任取一個內(nèi)徑為r,外徑為r+dr(圓心在血管中心)的小圓環(huán)作為研究問題的微元(見圖2),它的面積近似于2πrdr,在單位時間內(nèi),通過小環(huán)面的血流量dQ近似為:

        單位時間內(nèi)通過該小環(huán)面的血流量為:

        即為本問題的數(shù)學模型。

        圖2 血管中單位時間內(nèi)血流量問題數(shù)學模型

        2.2 以傳染病模型[7]為例討論如何由粗到細建模

        傳染病傳播涉及的因素很多,如傳染病患者的多少、易感人群的多少、傳染率的大小、排除率的大小、人口的出生和死亡,以及人員的遷入和遷出、潛伏期的長短、預防疾病的宣傳等因素的影響。如果一開始就把所有因素考慮在內(nèi),很難建立比較合理的數(shù)學模型,因此應先剔除眾多次要因素,抓住主要因素,把問題簡化,建立相應的數(shù)學模型;然后將所得結(jié)果與實際比較,找出問題,逐步修改原有假設(shè),再建立一個與實際比較吻合的數(shù)學模型。

        可大致通過以下4方面來考慮:描述傳播過程,分析感染人數(shù)的變化,預報傳染高峰時刻,制定相應的群體免疫與預防措施。傳染的主體是人,傳播是由于患者在被收治隔離前與其他人的傳染接觸而發(fā)生的,所以可通過對人群分類來建立數(shù)學模型分析傳染病傳播過程的一般規(guī)律,以達到預防與控制疾病的目的。

        2.2.1 考慮最簡單的情形(Malthus模型)設(shè)某地區(qū)共有n+1人,最初共有i人感染此病,t時刻已感染的患者數(shù)為i(t),假定每一已感染者在單位時間內(nèi)將疾病傳播給k個人(k稱為該疾病的傳染強度),且設(shè)此疾病既不導致死亡也不會康復,可導出:

        此模型即Malthus模型,它大體反映了傳染病流行初期的患者增長情況,在醫(yī)學上有一定的參考價值,但隨著時間的推移,將越來越偏離實際情況。

        原因在于已感染者與尚未感染者之間存在明顯區(qū)別,有必要將人群劃分為已感染者與尚未感染的易感染者,改進如下。

        2.2.2 考慮SI模型設(shè)t時刻的患者數(shù)與易感染人數(shù)分別為i(t)與s(t),初始時刻的患者數(shù)為i0,根據(jù)患者不死亡也不會康復的假設(shè),可得:

        統(tǒng)計結(jié)果顯示,(2)預報結(jié)果比(1)更接近實際情況。醫(yī)學上稱曲線為傳染病曲線,由此模型可得出傳染病的流行高峰值。此值與傳染病的實際高峰期非常接近,可用作醫(yī)學上的預報公式。但SI模型仍有不足之處,它無法解釋醫(yī)生發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象,且當時間趨于無窮時,模型預測最終所有人都將患病,與實際情況不符。為解釋醫(yī)生發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象,再次修改假設(shè)條件,建立新的數(shù)學模型。

        2.2.3 考慮SIR模型 將人群劃分為3類:易感染者、已感染者和已恢復者。分別記t時刻的3類人數(shù)為s(t)、(it)和 (rt),可得:

        此外,根據(jù)2003年對SARS等傳染病的認識,人群中可能還有疑似患者、潛伏期患者等。所以如果將人群分得更細,例如將人群分為:t時刻的易感染人數(shù)s(t),潛伏期人數(shù) (it),疑似人數(shù)e(t),確診人數(shù)p(t),治愈人數(shù) (rt),可得下面更加精細的模型。

        2.2.4 考慮GSIR模型

        其中k為傳染率,l為疑似率,r為治愈率,μ為死亡率,α為疑似病例中每天被排除的確定為健康的人數(shù)占疑似病例的比例,β為疑似病例中每天確診的人數(shù)占疑似病例的比例,T為疾病的潛伏期,e為自由帶菌者轉(zhuǎn)為患者的日轉(zhuǎn)化率,γ為自由帶菌者中每天被發(fā)現(xiàn)疑似病例的比例。

        通過不斷深入研究,不僅能使學生對數(shù)學模型有較深入和全面的理解,還能使學生明白一個好的數(shù)學模型不是一次就能完成的,而是要通過不斷實踐、修改、校正才能逐步接近現(xiàn)實。另外,傳染病模型還可以應用于人口增長模型、新產(chǎn)品的銷售等。

        總之,在醫(yī)學數(shù)學教學過程中融入數(shù)學建模思想的同時,教會學生如何將實際醫(yī)學問題利用數(shù)學方法轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,進而逐步建立一個比較完善的數(shù)學模型,并通過對數(shù)學問題的解決從理論上說明實際醫(yī)學問題,使學生對數(shù)學方法的運用產(chǎn)生興趣,逐步提高醫(yī)療水平。另外,還應使教師轉(zhuǎn)變教學觀念,更新教學方法,使數(shù)學教學從與醫(yī)學脫節(jié)的理論傳授模式向醫(yī)學實際的應用數(shù)學模式轉(zhuǎn)變。

        [1]易非易.論醫(yī)學數(shù)學化[J].數(shù)學理論與應用,2001,21(4):124~126.

        [2]萬志超,蔣善麗.對醫(yī)學數(shù)學教學的探討與思考[J].中國醫(yī)學教育技術(shù),2006,20(6):462~463.

        [3]蔣善麗,李兆強.醫(yī)學高等??茖W校數(shù)學教育改革初探[J].衛(wèi)生職業(yè)教育,2007,25(6):7~9.

        [4]羅萬春.醫(yī)學高等數(shù)學中滲透數(shù)學建模的實驗研究[J].衛(wèi)生職業(yè)教育,2007,25(6):5~7.

        [5]黃平.提高醫(yī)科高等數(shù)學課堂教學質(zhì)量的幾點體會[J].數(shù)理醫(yī)藥學雜志,2009,22(4):503~504.

        [6]韓明蓮,盧書成.高等數(shù)學教學中滲透數(shù)學建模思想[J].數(shù)理醫(yī)藥學雜志,2006,19(5):555~556.

        [7]姜啟源.數(shù)學建模[M].北京:高等教育出版社,2002.

        G421

        B

        1671-1246(2010)03-0065-03

        注:本文為甘肅省教育廳資助項目(0813B-01)

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