魏 杰，董

（蘭州工業(yè)高等?？茖W(xué)校，甘肅 蘭州 730050）

談如何將醫(yī)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題

（蘭州工業(yè)高等?？茖W(xué)校，甘肅 蘭州 730050）

對于醫(yī)學(xué)中的大量實(shí)際問題，可通過分析和篩選，剔除次要因素，突出主要因素，做適當(dāng)抽象和簡化，將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而利用數(shù)學(xué)方法解決。

高等數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)模型；數(shù)學(xué)教學(xué)；醫(yī)學(xué)

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和計(jì)算機(jī)的應(yīng)用與普及，醫(yī)學(xué)逐步由傳統(tǒng)的定性描述階段向定性、定量分析相結(jié)合的新階段發(fā)展，即從能夠有效探索醫(yī)學(xué)科學(xué)領(lǐng)域中物質(zhì)的量與量關(guān)系的規(guī)律性，向定量、精確、可計(jì)算、可預(yù)測、可控制的方向發(fā)展。而數(shù)學(xué)模型正是有助于醫(yī)學(xué)家及生物學(xué)家將某些變量隔離出來、預(yù)測未來實(shí)驗(yàn)結(jié)果或推論無法測量的種種關(guān)系的強(qiáng)有力的工具。因此，數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)理論與方法在醫(yī)學(xué)中的應(yīng)用日益廣泛和深入。最引人注目的是醫(yī)療診斷專家系統(tǒng)[1]及1974年丹麥免疫學(xué)家Niels K.Jerne在其論文《關(guān)于免疫系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)學(xué)說》中揭示的現(xiàn)代醫(yī)學(xué)科研新模式：醫(yī)學(xué)問題—數(shù)學(xué)化（定量分析）—數(shù)學(xué)模型—反饋修正（實(shí)踐檢驗(yàn)）—定性理論。還有一些作者在預(yù)防醫(yī)學(xué)、基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)和臨床醫(yī)學(xué)等傳統(tǒng)學(xué)科試圖建立數(shù)學(xué)模型和運(yùn)用數(shù)學(xué)理論與方法來探索其數(shù)量規(guī)律[2]。

而目前大多數(shù)醫(yī)學(xué)院校僅開設(shè)高等數(shù)學(xué)課程，并沒有開設(shè)數(shù)學(xué)建模課程，使得數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容與醫(yī)學(xué)嚴(yán)重脫節(jié)，沒有注意訓(xùn)練學(xué)生如何從實(shí)際醫(yī)學(xué)問題中提煉出數(shù)學(xué)模型，以及如何將數(shù)學(xué)分析的結(jié)果用來解決實(shí)際問題，其結(jié)果是學(xué)生學(xué)了不少數(shù)學(xué)知識(shí)，但不會(huì)應(yīng)用。所以高等數(shù)學(xué)作為醫(yī)學(xué)院校的一門基礎(chǔ)課程，應(yīng)將數(shù)學(xué)建模思想滲透到教學(xué)內(nèi)容中[3～6]。但由于高等數(shù)學(xué)的高度抽象性和嚴(yán)密邏輯性，往往會(huì)給學(xué)生的學(xué)習(xí)和教師的授課帶來一定困難。為了使學(xué)生能更好地掌握這門課程并能用高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)解決醫(yī)學(xué)中的一些實(shí)際問題，正確理解和鞏固所學(xué)知識(shí)，強(qiáng)化其應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的意識(shí)，我們結(jié)合一些具體的醫(yī)學(xué)問題，分析和討論數(shù)學(xué)模型方法的應(yīng)用。

用數(shù)學(xué)方法解決醫(yī)學(xué)問題的關(guān)鍵是如何將醫(yī)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即如何在兩者之間建立一座橋梁（建模）。我們根據(jù)多年的數(shù)學(xué)建模教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，分析、討論如何建模并給出一些醫(yī)學(xué)問題的數(shù)學(xué)模型。

1 如何將醫(yī)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題

建立一個(gè)醫(yī)學(xué)問題的數(shù)學(xué)模型，除需要必須的醫(yī)學(xué)專業(yè)知識(shí)外，還需要一定的洞察力和想象力，以便篩選、剔除次要因素，突出主要因素，并作出適當(dāng)?shù)某橄蠛秃喕?。全過程一般分為表述、求解、解釋、驗(yàn)證幾個(gè)階段，通過這些階段完成從現(xiàn)實(shí)對

象到數(shù)學(xué)模型、再從數(shù)學(xué)模型到現(xiàn)實(shí)對象的循環(huán)（見圖1）。

圖1 醫(yī)學(xué)問題建立數(shù)學(xué)模型流程

其中表述即將醫(yī)學(xué)問題翻譯成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)語言確切表達(dá)出來。這是一個(gè)關(guān)鍵的過程，需要對實(shí)際醫(yī)學(xué)問題進(jìn)行分析，甚至要調(diào)查研究，查找資料，對問題進(jìn)行簡化、假設(shè)、數(shù)學(xué)抽象，運(yùn)用有關(guān)的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)表達(dá)式去表現(xiàn)醫(yī)學(xué)對象及其關(guān)系。求解即選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ蟮脭?shù)學(xué)模型的解答。解釋即為將數(shù)學(xué)解答用普通人能聽懂的語言翻譯為現(xiàn)實(shí)對象。最后通過實(shí)踐驗(yàn)證解答的合理性。

由于醫(yī)學(xué)問題的復(fù)雜性，建立數(shù)學(xué)模型不一定一次就能成功。一次建模不成功時(shí)，可以先剔除實(shí)際醫(yī)學(xué)問題中的次要因素，建立比較簡單的數(shù)學(xué)模型。然后逐次修改并逐漸強(qiáng)化條件，從而建立比較符合實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型。

2 模型實(shí)例

2.1 以血管中單位時(shí)間的血流量問題為例討論如何將醫(yī)學(xué)問題表述成數(shù)學(xué)問題

雖然血管呈現(xiàn)出一個(gè)不規(guī)則的幾何形狀，但其類似于圓柱體。首先在合理的假設(shè)下結(jié)合本問題所涉及到的專業(yè)知識(shí)建立一個(gè)粗略的模型，將血管看成一個(gè)圓柱形的管子去考慮。設(shè)其橫截面的半徑為R（cm），管中的血流平行于血管的中心軸。由于血管中血液在各點(diǎn)處的流速v是各點(diǎn)與血管中心距離r的函數(shù)，即v=v（r），故此時(shí)血流量等于流速乘以面積。而已知距離中心軸r處血的流速為：

其中 η 為血液的粘滯系數(shù)，L 為血管長度，P1、P2（P1＞P2）為血管左、右端的血壓。

然后求出單位時(shí)間內(nèi)通過的血流量Q，但這只是粗略的近似值。那么如何才能得到精確的答案呢？聯(lián)想到高等數(shù)學(xué)中在求不規(guī)則立體體積時(shí)使用的微元法，在取定的橫截面任取一個(gè)內(nèi)徑為r，外徑為r+dr（圓心在血管中心）的小圓環(huán)作為研究問題的微元（見圖2），它的面積近似于2πrdr，在單位時(shí)間內(nèi)，通過小環(huán)面的血流量dQ近似為：

單位時(shí)間內(nèi)通過該小環(huán)面的血流量為：

即為本問題的數(shù)學(xué)模型。

圖2 血管中單位時(shí)間內(nèi)血流量問題數(shù)學(xué)模型

2.2 以傳染病模型[7]為例討論如何由粗到細(xì)建模

傳染病傳播涉及的因素很多，如傳染病患者的多少、易感人群的多少、傳染率的大小、排除率的大小、人口的出生和死亡，以及人員的遷入和遷出、潛伏期的長短、預(yù)防疾病的宣傳等因素的影響。如果一開始就把所有因素考慮在內(nèi)，很難建立比較合理的數(shù)學(xué)模型，因此應(yīng)先剔除眾多次要因素，抓住主要因素，把問題簡化，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；然后將所得結(jié)果與實(shí)際比較，找出問題，逐步修改原有假設(shè)，再建立一個(gè)與實(shí)際比較吻合的數(shù)學(xué)模型。

可大致通過以下4方面來考慮：描述傳播過程，分析感染人數(shù)的變化，預(yù)報(bào)傳染高峰時(shí)刻，制定相應(yīng)的群體免疫與預(yù)防措施。傳染的主體是人，傳播是由于患者在被收治隔離前與其他人的傳染接觸而發(fā)生的，所以可通過對人群分類來建立數(shù)學(xué)模型分析傳染病傳播過程的一般規(guī)律，以達(dá)到預(yù)防與控制疾病的目的。

2.2.1 考慮最簡單的情形（Malthus模型）設(shè)某地區(qū)共有n+1人，最初共有i人感染此病，t時(shí)刻已感染的患者數(shù)為i（t），假定每一已感染者在單位時(shí)間內(nèi)將疾病傳播給k個(gè)人（k稱為該疾病的傳染強(qiáng)度），且設(shè)此疾病既不導(dǎo)致死亡也不會(huì)康復(fù)，可導(dǎo)出：

此模型即Malthus模型，它大體反映了傳染病流行初期的患者增長情況，在醫(yī)學(xué)上有一定的參考價(jià)值，但隨著時(shí)間的推移，將越來越偏離實(shí)際情況。

原因在于已感染者與尚未感染者之間存在明顯區(qū)別，有必要將人群劃分為已感染者與尚未感染的易感染者，改進(jìn)如下。

2.2.2 考慮SI模型設(shè)t時(shí)刻的患者數(shù)與易感染人數(shù)分別為i（t）與s（t），初始時(shí)刻的患者數(shù)為i0，根據(jù)患者不死亡也不會(huì)康復(fù)的假設(shè)，可得：

統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，（2）預(yù)報(bào)結(jié)果比（1）更接近實(shí)際情況。醫(yī)學(xué)上稱曲線為傳染病曲線，由此模型可得出傳染病的流行高峰值。此值與傳染病的實(shí)際高峰期非常接近，可用作醫(yī)學(xué)上的預(yù)報(bào)公式。但SI模型仍有不足之處，它無法解釋醫(yī)生發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象，且當(dāng)時(shí)間趨于無窮時(shí)，模型預(yù)測最終所有人都將患病，與實(shí)際情況不符。為解釋醫(yī)生發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象，再次修改假設(shè)條件，建立新的數(shù)學(xué)模型。

2.2.3 考慮SIR模型 將人群劃分為3類：易感染者、已感染者和已恢復(fù)者。分別記t時(shí)刻的3類人數(shù)為s（t）、（it）和 （rt），可得：

此外，根據(jù)2003年對SARS等傳染病的認(rèn)識(shí)，人群中可能還有疑似患者、潛伏期患者等。所以如果將人群分得更細(xì)，例如將人群分為：t時(shí)刻的易感染人數(shù)s（t），潛伏期人數(shù) （it），疑似人數(shù)e（t），確診人數(shù)p（t），治愈人數(shù) （rt），可得下面更加精細(xì)的模型。

2.2.4 考慮GSIR模型

其中k為傳染率，l為疑似率，r為治愈率，μ為死亡率，α為疑似病例中每天被排除的確定為健康的人數(shù)占疑似病例的比例，β為疑似病例中每天確診的人數(shù)占疑似病例的比例，T為疾病的潛伏期，e為自由帶菌者轉(zhuǎn)為患者的日轉(zhuǎn)化率，γ為自由帶菌者中每天被發(fā)現(xiàn)疑似病例的比例。

通過不斷深入研究，不僅能使學(xué)生對數(shù)學(xué)模型有較深入和全面的理解，還能使學(xué)生明白一個(gè)好的數(shù)學(xué)模型不是一次就能完成的，而是要通過不斷實(shí)踐、修改、校正才能逐步接近現(xiàn)實(shí)。另外，傳染病模型還可以應(yīng)用于人口增長模型、新產(chǎn)品的銷售等。

總之，在醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中融入數(shù)學(xué)建模思想的同時(shí)，教會(huì)學(xué)生如何將實(shí)際醫(yī)學(xué)問題利用數(shù)學(xué)方法轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而逐步建立一個(gè)比較完善的數(shù)學(xué)模型，并通過對數(shù)學(xué)問題的解決從理論上說明實(shí)際醫(yī)學(xué)問題，使學(xué)生對數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用產(chǎn)生興趣，逐步提高醫(yī)療水平。另外，還應(yīng)使教師轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，更新教學(xué)方法，使數(shù)學(xué)教學(xué)從與醫(yī)學(xué)脫節(jié)的理論傳授模式向醫(yī)學(xué)實(shí)際的應(yīng)用數(shù)學(xué)模式轉(zhuǎn)變。

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[2]萬志超，蔣善麗.對醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的探討與思考[J].中國醫(yī)學(xué)教育技術(shù)，2006，20（6）：462～463.

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1671-1246（2010）03-0065-03

注：本文為甘肅省教育廳資助項(xiàng)目（0813B-01）