趙古田, 董玉革, 宋智燕

(合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院,安徽 合肥 230009)

目前,主要有2種方法對(duì)可靠性進(jìn)行分析:一種是隨機(jī)的方法;另一種是在20世紀(jì)80年代中后期,隨著模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展提出了模糊可靠性方法,包括模糊概率理論[1-3]及模糊截集的方法[4-9]。因此,隨機(jī)方法與模糊方法等價(jià)性的研究有利于2種方法的統(tǒng)一[4]。本文首先將隨機(jī)變量轉(zhuǎn)化為模糊變量,采用2種方法分析其可靠性:①利用將隸屬函數(shù)轉(zhuǎn)化為該閾值λ時(shí)的區(qū)間數(shù),并利用區(qū)間數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算失效概率;②參照隨機(jī)應(yīng)力強(qiáng)度干涉模型,建立模糊應(yīng)力強(qiáng)度干涉模型,結(jié)合概率論計(jì)算出極限狀態(tài)變量的聯(lián)合分布密度函數(shù),最后算出失效概率。

本文將提供隨機(jī)可靠性問(wèn)題分析的新方法,為今后建立隨機(jī)可靠性、模糊可靠性和非概率可靠性混合模型的分析方法提供參考依據(jù),這對(duì)在已有信息的條件下獲得最合理的可靠性分析結(jié)果,豐富機(jī)械產(chǎn)品可靠性的設(shè)計(jì)理論與方法,有重要意義。

1 隨機(jī)變量與模糊變量的互換通式

通過(guò)把模糊變量變換為當(dāng)量隨機(jī)變量,可用傳統(tǒng)可靠性理論分析模糊可靠性問(wèn)題。與此相對(duì)應(yīng),通過(guò)把隨機(jī)變量變換為模糊變量的逆變換,應(yīng)該可用模糊數(shù)學(xué)方法計(jì)算傳統(tǒng)可靠性問(wèn)題。為從理論上討論用模糊數(shù)學(xué)方法計(jì)算傳統(tǒng)可靠性問(wèn)題的方法,推導(dǎo)相應(yīng)的可靠性計(jì)算公式,首先給出隨機(jī)變量與模糊變量的互換公式。

記模糊變量隸屬函數(shù)[6]為:

其中,aλ、bλ為隸屬函數(shù)的λ截集,即

相應(yīng)地,設(shè)隨機(jī)變量 x的概率密度函數(shù)為fx(x),則其變換為當(dāng)量模糊變量后,隸屬度函數(shù)為[10]:

2 隨機(jī)可靠性問(wèn)題及變量互換

2.1 隨機(jī)可靠性計(jì)算

為便于分析比較,不失一般性,設(shè)隨機(jī)強(qiáng)度和隨機(jī)應(yīng)力分別服從(4)式和(5)式的分布形式,即

根據(jù)傳統(tǒng)可靠性分析的隨機(jī)應(yīng)力強(qiáng)度干涉模型,可計(jì)算失效概率為[11]:

在上述條件下:

2.2 隨機(jī)變量變換為模糊變量的表達(dá)式

根據(jù)(3)式的隨機(jī)變量變換轉(zhuǎn)化為模糊變量的關(guān)系式,可將(4)式和(5)式的概率密度函數(shù)變換為隸屬函數(shù),具體表達(dá)式分別為:

在把隨機(jī)強(qiáng)度和隨機(jī)應(yīng)力變換為模糊強(qiáng)度和模糊應(yīng)力后,本文討論用模糊數(shù)學(xué)方法分析上述隨機(jī)可靠性問(wèn)題。

3 基于模糊理論的隨機(jī)可靠性分析

對(duì)強(qiáng)度和應(yīng)力均為模糊變量的可靠性分析,所用到的模糊理論是模糊數(shù)學(xué)中的截集概念,即給定一閾值λ,可將隸屬函數(shù)轉(zhuǎn)化為該閾值λ時(shí)的區(qū)間數(shù)。在獲得給定閾值λ時(shí)模糊強(qiáng)度的區(qū)間數(shù)和模糊應(yīng)力的區(qū)間數(shù)后,利用區(qū)間數(shù)運(yùn)算法則獲得模糊干涉變量~Z=的區(qū)間數(shù),然后根據(jù)截集的概念,認(rèn)為干涉變量在該區(qū)間內(nèi)為服從均勻分布的隨機(jī)變量,在閾值為λ時(shí)的失效概率為:

其中

λ的取值范圍為[0,λ*],總失效概率[12]為:

代入相關(guān)參數(shù)并化簡(jiǎn),得:

在(9)式的計(jì)算過(guò)程中,λ*按下列方法獲得。

令 μ~r(x)=μ~s(x),得 :

經(jīng)對(duì)多個(gè)算例的失效概率計(jì)算結(jié)果分析,該方法計(jì)算的失效概率與按隨機(jī)變量計(jì)算的結(jié)果相比,誤差較大(詳見(jiàn)文末算例)。從理論上分析其原因,可以給出這樣的解釋:在給定閾值λ時(shí)獲得模糊強(qiáng)度的區(qū)間數(shù)和模糊應(yīng)力的區(qū)間數(shù)后,可以認(rèn)為強(qiáng)度和應(yīng)力在各自的區(qū)間內(nèi)服從均勻分布,根據(jù)概率論的知識(shí),干涉變量=將不服從均勻分布。而上述方法在利用區(qū)間數(shù)的運(yùn)算法則,獲得干涉變量的區(qū)間數(shù)后,再把干涉變量取為該區(qū)間內(nèi)的均勻分布的隨機(jī)變量,顯然與真實(shí)情況不同。

上述方法雖然計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單,但是計(jì)算結(jié)果誤差太大,不宜采用。

通過(guò)分析,需要對(duì)上述方法進(jìn)行改進(jìn)。在給定閾值λ時(shí)獲得模糊強(qiáng)度的區(qū)間數(shù)=[aλ,bλ]和模糊應(yīng)力的區(qū)間數(shù)λ=[cλ,dλ]后,可以認(rèn)為強(qiáng)度和應(yīng)力在各自的區(qū)間內(nèi)服從均勻分布。

設(shè) h=bλ-aλ,l=dλ-cλ,當(dāng) h ＜l時(shí)(h ≥l時(shí) ,將其中所有的l與h互換),則在給定閾值λ時(shí)干涉變量z的概率密度函數(shù)為:

其圖形如圖1所示。

圖1 給定閾值λ時(shí)干涉變量的概率密度函數(shù)

總失效概率為:

其中,λ*由(10)式得到。

(6)式與(13)式相比,仍有差異,需要對(duì)(13)式結(jié)果的方法進(jìn)行改進(jìn)。經(jīng)分析,把模糊強(qiáng)度和模糊應(yīng)力各自變換為區(qū)間數(shù)時(shí),因采用同一閾值λ,缺乏足夠的理論支持。

顯然,在實(shí)際問(wèn)題中相互獨(dú)立的應(yīng)力和強(qiáng)度應(yīng)采用不同的閾值,因此需要用2個(gè)相互獨(dú)立的閾值λr和λs,把模糊強(qiáng)度和模糊應(yīng)力轉(zhuǎn)換為服從均勻分布的隨機(jī)變量。

其中,h=bλr-aλr,l=dλs-cλs,上式為當(dāng) h ＜l時(shí)(h＞l時(shí)將式中所有的l與h互換)所得到的閾值為λr和λs時(shí)的失效概率為:

由隸屬度函數(shù)μr(r)、μs(s)性質(zhì)和圖2所示的干 涉 模 型, 給 定 λr,r ∈ [aλr,bλr];λs,s∈[cλs,dλs] 。

總失效概率為:

圖2 模糊應(yīng)力強(qiáng)度干涉模型

4 不同極限狀態(tài)變量的隨機(jī)可靠性分析

當(dāng)h＜l時(shí),概率密度函數(shù)為:

4.1 可靠性分析

為了使研究更具一般性,通過(guò)分析另一個(gè)極

其概率密度函數(shù)的圖形,如圖3所示。

圖3 狀態(tài)變量的概率密度函數(shù)

總失效概率為:

(18)式化簡(jiǎn)結(jié)果與(15)式完全一致。

4.2 失效概率比較

不同方法計(jì)算的失效概率比較,見(jiàn)表1所列。

表1 不同方法計(jì)算的失效概率比較

由表1可知,(13)式有一定誤差,(9)式誤差較大。

5 結(jié)束語(yǔ)

(1)基于隨機(jī)變量變換為模糊變量,可以利用模糊理論分析隨機(jī)可靠性問(wèn)題。

(2)本文分別利用傳統(tǒng)可靠性分析方法、基于模糊理論的區(qū)間數(shù)法、基于模糊理論在同一閾值λ下和不同閾值λ的取得區(qū)間數(shù)的聯(lián)合概率密度函數(shù)求可靠性的方法,通過(guò)分析在不同閾值下求得的結(jié)果與傳統(tǒng)可靠性相同。

(3)本文用不同的極限狀態(tài)方程驗(yàn)證方法的有效性。通過(guò)分析,極限狀態(tài)方程應(yīng)盡可能簡(jiǎn)單。

[1] 吳杰明.存在模糊信息的可靠性計(jì)算[J].機(jī)械設(shè)計(jì),1987,4(2):7-12.

[2] 黃洪鐘.隨機(jī)應(yīng)力模糊強(qiáng)度時(shí)的模糊可靠性分析[J].機(jī)械強(qiáng)度,2001,23(3):305-307.

[3] 董玉革.機(jī)械模糊可靠性設(shè)計(jì)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2001:15-65.

[4] 江 濤.隨機(jī)應(yīng)力模糊強(qiáng)度時(shí)模糊可靠性計(jì)算理論的等價(jià)性研究[J].機(jī)械強(qiáng)度,2006,28(1):61-64.

[5] 董玉革.模糊強(qiáng)度隨機(jī)應(yīng)力時(shí)機(jī)械零件模糊可靠性設(shè)計(jì)方法的研究[J].機(jī)械設(shè)計(jì),1999,16(3):11-13.

[6] 董玉革,朱文予,陳心昭.機(jī)械模糊可靠性指標(biāo)計(jì)算方法的研究[J].系統(tǒng)工程學(xué)報(bào),2000,15(1):7-12.

[7] 董玉革.隨機(jī)變量和模糊變量組合時(shí)的模糊可靠性設(shè)計(jì)[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2000,36(6):25-29.

[8] Dong Yuge,Chen Xinzhao,Cho H,et al.Simulation of fuzzy reliability indexes[J].KSME(The Korean Society of Mechanical Engineers)International Journal,2003,17(4):492-500.

[9] Jiang Qimi,Chen C H.A numerical algorithm of fuzzy reliability[J].Reliability Engineering&System Safety,2003,80:299-307.

[10] 董玉革,高 亮,祁型紅.傳統(tǒng)可靠性分析的模糊方法[J].機(jī)械工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)化與質(zhì)量,2006,31(4):21-23.

[11] 朱文予.機(jī)械概率設(shè)計(jì)與模糊設(shè)計(jì)[M].北京:高等教育出版社,2001:46-158.

[12] 楊倫標(biāo),高英儀.模糊數(shù)學(xué)原理及應(yīng)用[M].廣州:華南理工大學(xué)出版社,2001:183-185.