王韻夏

(蘇州市滄浪區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué),江蘇蘇州 215006)

論小學(xué)數(shù)學(xué)中的開(kāi)放題教學(xué)

王韻夏

(蘇州市滄浪區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué),江蘇蘇州 215006)

在中國(guó)大步走向開(kāi)放的形勢(shì)下,數(shù)學(xué)教學(xué)界也提出了一種新的教學(xué)模式:數(shù)學(xué)開(kāi)放題教學(xué)。它強(qiáng)調(diào)學(xué)生獲得解答的過(guò)程,體現(xiàn)了學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中的真正主體地位,極大地提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,是對(duì)學(xué)生進(jìn)行素質(zhì)教育的有效途徑。因此,研究數(shù)學(xué)開(kāi)放題的編制并用之于數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

開(kāi)放題;教育意義;開(kāi)放題的編制與教學(xué)

0 引言

在應(yīng)試教育背景下,傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式易使學(xué)生形成思維定勢(shì),對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生了一定的消極影響。開(kāi)放題作為一種富有教育價(jià)值的新題型進(jìn)入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂后,逐漸成為數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一個(gè)熱點(diǎn)。開(kāi)放題可以切實(shí)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維,加強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。其功能決定了其教育價(jià)值,因而它是實(shí)施素質(zhì)教育的有效途徑。因此,研究數(shù)學(xué)開(kāi)放題并用之于數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

1 開(kāi)放題的定義

從理論角度分析,“什么是開(kāi)放題”尚無(wú)定論,但我們可以從開(kāi)放題所具有的一些共性給開(kāi)放題一個(gè)描述性定義,它包括以下要點(diǎn):

1.1 開(kāi)放題的答案是不唯一的

1.1.1 答案不唯一是開(kāi)放題的基本特征

“開(kāi)放題”是相對(duì)于傳統(tǒng)封閉題而言的。封閉題的共同特征為:問(wèn)題組織良好,答案只有正確和不正確 (包括不完整)兩種,并且正確答案是唯一的。而開(kāi)放題的答案往往有兩種以上,或沒(méi)有答案,或有無(wú)數(shù)種。

1.1.2 “答案不唯一”與“結(jié)論不唯一”有區(qū)別

“數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案”和“數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)論”是兩個(gè)不同的概念,如“請(qǐng)你盡可能用各種不同的方式來(lái)計(jì)算 125×88”,125×88作為一種確定的運(yùn)算“結(jié)論”是唯一的,但這個(gè)問(wèn)題的答案是多種多樣的。戴再平先生認(rèn)為:問(wèn)題的“結(jié)論”是問(wèn)題系統(tǒng)內(nèi)部相對(duì)于問(wèn)題的“條件”而言,問(wèn)題的“答案 (解法)”是相對(duì)于整個(gè)問(wèn)題而言的。[1]

1.1.3 答案不唯一與自身知識(shí)儲(chǔ)備有關(guān)

美國(guó)一位小學(xué)老師給學(xué)生提出了這樣一個(gè)問(wèn)題:每箱可樂(lè)裝有 24罐,要使全年級(jí) 250名學(xué)生人手一罐,需要多少箱?對(duì)于已會(huì)使用除法的學(xué)生來(lái)說(shuō),這不能算是一道開(kāi)放題,但對(duì)從未學(xué)過(guò)除法的學(xué)生而言,他會(huì)有一番思考探索,因而方法也會(huì)多樣:有的同學(xué)用加法:對(duì) 24連加直至 250;有的學(xué)生用減法:從 250減去 24直至 0;還有的學(xué)生提出:100包括 4個(gè) 25,由于 250是 2個(gè) 100再加上半個(gè) 100,因此,如果每箱可樂(lè)都裝 25罐,相對(duì)應(yīng)的結(jié)果就是四個(gè)四箱再加上兩箱,但現(xiàn)在每箱只有 24罐,每箱少一罐,必須在第 11箱中補(bǔ)取十罐……這題就變成一道不折不扣的開(kāi)放題。

1.2 開(kāi)放題的設(shè)問(wèn)方式是多方指向的

一道數(shù)學(xué)題的開(kāi)放性很大程度上取決于這道題的設(shè)問(wèn)方式。即使是一道傳統(tǒng)的封閉數(shù)學(xué)題,改變其設(shè)問(wèn)方式就能轉(zhuǎn)換成一道開(kāi)放題[2]。如圖 1:四條直線交于一點(diǎn),圖中有多少個(gè)角?

圖1 多條直線交于一點(diǎn)示意圖

顯然這是一道封閉題,其答案是唯一的。如果把設(shè)問(wèn)方式改為“你能找到多少個(gè)角?”,那么它并不要求你回答“事實(shí)上存在多少個(gè)角”,而是要求回答“你找到了多少個(gè)角”。不論你找到了多少個(gè)角 (小于等于實(shí)際數(shù)目)都是正確答案,之間的差異只是解答的層次不同。

1.3 開(kāi)放題的條件往往是不完備的

條件不完備也是開(kāi)放題重要的特征之一。如:媽媽買(mǎi)了相同價(jià)格的糖,付了 40元,售貨員阿姨找回她 4元,你知道媽媽買(mǎi)了幾盒糖嗎?由于題中“一盒糖的價(jià)格”條件的缺失,需要學(xué)生根據(jù)實(shí)際情況及“糖的盒數(shù)是正整數(shù)”這一隱蔽條件進(jìn)行合理的猜想,補(bǔ)充合理的條件。

綜上所述,我認(rèn)為,開(kāi)放題,相對(duì)于封閉題而言,是條件不完備,答案不唯一,可以從多層次、多角度,用多種策略來(lái)解決問(wèn)題的問(wèn)題。

2 開(kāi)放題的編制

2.1 編制的方法

哥德說(shuō)得好:要得到聰明的回答,就要提出聰明的問(wèn)題。因此設(shè)計(jì)能調(diào)動(dòng)學(xué)生積極思考、綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的開(kāi)放題就顯得尤為重要。下面我將具體談?wù)勯_(kāi)放題的編制:

2.1.1 轉(zhuǎn)變陳題

1)弱化已知條件,使其結(jié)論多樣化

原題:小明與小玲的家和學(xué)校在同一條路上,小明的家在學(xué)校東面 300米,小玲的家在學(xué)校東面 500米,小明的家和小玲的家距離是多少?

現(xiàn)改為:小明的家離學(xué)校 300米,小玲的家離學(xué)校 500米,小明的家離小玲的家距離是多少?

很顯然,因?yàn)槿狈π∶鞯募液托×岬募揖唧w的方位,所以他們的距離是不定的,學(xué)生的思考角度從單純的加減數(shù)字變?yōu)楣烙?jì)他們兩家可能的方位,從而促使他們積極思考,大膽猜想。

2)隱去原題結(jié)論,使其指向多樣化

不少封閉型的陳題,其條件充分,結(jié)論明確而且單一化,在很多情況下,只要隱去其結(jié)論,就成為結(jié)論多樣化的開(kāi)放題。[3]

原題:做一個(gè)高 4米,池口一周 6.28米的圓柱形蓄水池,它的容積為多少?

隱去結(jié)論,該為“根據(jù)這些條件,能提出并解答什么問(wèn)題?”

那么除了求水池的容積,至少還有以下答案:

a.水池占地的面積

b.給水池涂上水泥,需要涂多少面積?

c.用水泵向池內(nèi)注水,每分鐘進(jìn)水 2立方米,全部注滿需用多少時(shí)間?

3)改變提問(wèn)方式,使策略使用多樣化

郝心利老師在 2000年第九期的《中小學(xué)數(shù)學(xué)》中介紹過(guò)這么一題:

做同種零件,王師傅 2小時(shí)做 15個(gè),李師傅3小時(shí)做 20個(gè),誰(shuí)做的更快一點(diǎn)?(化為帶分?jǐn)?shù)后再比較)

學(xué)生的做法如出一轍:“15÷2=7(個(gè)),20÷3=6(個(gè)),因?yàn)?7>6,所以王師傅做的快一點(diǎn)?！?/p>

究其原因,是學(xué)生剛學(xué)完帶分?jǐn)?shù),題目又要求“化為帶分?jǐn)?shù)后再比較”

郝老師把括號(hào)里的附加條件去掉,讓學(xué)生用不同的方法解。之后學(xué)生們的解題思路之多,之妙讓人驚訝:

策略一:15 ÷2=7.5(個(gè) ),7.5 ×3=22.5(個(gè) )。

相同的時(shí)間內(nèi),李師傅 20個(gè),王師傅做 22.5個(gè),即王師傅做得快。

策略二:假設(shè)王師傅和李師傅都做 60個(gè)零件,王師傅需要 2×(60÷15)=8(小時(shí)),李師傅需要3×(60÷20)=9(小時(shí)),可見(jiàn)王師傅做的快。

策略三:假設(shè)王師傅和李師傅都做 6小時(shí),王師傅可做 15×(6÷2)=45(個(gè)),李師傅可做20×(6÷3)=40(個(gè)),可見(jiàn)王師傅做得快。

策略四:2÷15≈ 0.13(小時(shí) ),3÷20≈0.15(小時(shí)),王師傅做一個(gè)零件用的時(shí)間比李師傅少,所以王師傅做得快。

對(duì)數(shù)學(xué)而言,獲得正確的結(jié)果當(dāng)然重要,但是否能靈活運(yùn)用各種策略來(lái)得到結(jié)果是解題過(guò)程中最關(guān)鍵的一部分。

4)結(jié)論條件互換,尋求結(jié)論成立的條件

傳統(tǒng)題:長(zhǎng)方形長(zhǎng)是 30厘米,寬是 15厘米,求它的面積。

開(kāi)放題:媽媽要做一塊面積為 450平方厘米的玻璃,這塊玻璃的長(zhǎng)和寬為多少?(長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度為整數(shù))

學(xué)生尋求答案的過(guò)程表現(xiàn)為逆向思維的過(guò)程。在這道題里的體現(xiàn)為:兩個(gè)數(shù)的乘積→積分解成兩個(gè)數(shù),所需的工具為分解質(zhì)因數(shù)的技能。這有利于學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)清條件與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系。

2.1.2 另辟蹊徑,創(chuàng)造開(kāi)放題

1)比較某些對(duì)象的共同特點(diǎn)

發(fā)現(xiàn)某些對(duì)象的共同特點(diǎn)和相異點(diǎn),是學(xué)生自主性創(chuàng)造的思維活動(dòng)。對(duì)一些數(shù)學(xué)對(duì)象,或比較它們的異同,或加以分類(lèi),是編制開(kāi)放題的視角之一。

中小學(xué)數(shù)學(xué)開(kāi)放題叢書(shū)之一《小學(xué)生開(kāi)放題集 (上 )》(2000年 5月第 1版 )第 1.1題:“在 2,4,6,7,10這五個(gè)數(shù)中,哪一個(gè)與眾不同?”就是一個(gè)比較正整數(shù)異同的例子。

2)既定條件中求不同解法

給出既定條件,尋找多種解法與理論,是編制開(kāi)放題一個(gè)重要方法。

如:怎樣用兩塊一套的三角板畫(huà)出 15°角?

有以下多種做法:先畫(huà)出 30°角,再將它對(duì)折:先畫(huà)出 60°角,在內(nèi)部畫(huà)出 45°角,剩下就為15°;先畫(huà)出 60°角 ,在內(nèi)部去除 45°后即可 ;畫(huà)出90°角 ,在內(nèi)部依次去掉 45°和 30°角 ;畫(huà)出 60°和45°兩個(gè)角的和,再減去一個(gè)直角;等等。

3)創(chuàng)設(shè)實(shí)際情景解決問(wèn)題

當(dāng)今社會(huì),數(shù)學(xué)的理論和方法已經(jīng)滲透到社會(huì)各個(gè)層面,純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)之間的距離在縮小。所以有必要在小學(xué)數(shù)學(xué)教育中滲透生活中的數(shù)學(xué)應(yīng)用。

籃球教練選主力問(wèn)題:李教練要從王兵和施華兩人中選一人作為學(xué)?；@球隊(duì)主力,兩人在過(guò)去每場(chǎng)球賽中的得分情況如下:

王兵:12 10 8 6

施華:4 14 3 6 16 17

由于兩人賽過(guò)的場(chǎng)次不同,教練應(yīng)選拔誰(shuí)為主力?

可以從這幾個(gè)方面考慮:

a.王兵的平均進(jìn)球 9個(gè),施華為 10個(gè),選施華。

b.他們進(jìn)球的穩(wěn)定性,與平均數(shù)之間差的和的平均數(shù) (即σ的變形),王兵為 2個(gè),施華為 6.7個(gè)左右,顯然施華發(fā)揮不穩(wěn)定,應(yīng)選王兵。

c.近期表現(xiàn),王兵成績(jī)?cè)谙禄?而施華在上升,選施華。

d.從比賽場(chǎng)次上看,施華比賽經(jīng)驗(yàn)要比王兵豐富,選施華。

從不同的角度考慮,更是貫穿了統(tǒng)計(jì)的思想,使學(xué)生的判斷力從感性向理性轉(zhuǎn)變,從直覺(jué)向以具體數(shù)據(jù)為依據(jù)轉(zhuǎn)變。

2.2 編制的原則

編制足夠多的開(kāi)放題,是進(jìn)行數(shù)學(xué)開(kāi)放題教學(xué)的基礎(chǔ)。但我們不能因求多而忽視開(kāi)放題的質(zhì)量,本人認(rèn)為開(kāi)放題的編制應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題:

2.2.1 不應(yīng)為“放”而“放”

有一些關(guān)于數(shù)學(xué)名詞名稱(chēng)或一些顯而易見(jiàn)的規(guī)則和定理,如:圓各部分的名稱(chēng);字母與數(shù)字相乘,數(shù)字應(yīng)寫(xiě)在字母前面的規(guī)定;同分母相加減的運(yùn)算法則等,教師只需要作陳述或簡(jiǎn)單介紹,不必設(shè)計(jì)此類(lèi)開(kāi)放題來(lái)“難為”學(xué)生。

2.2.2 要適應(yīng)不同層次的學(xué)生

由于學(xué)生的主體本身具有不同的層次性和差異性。設(shè)計(jì)開(kāi)放題要面向全體學(xué)生,要能適應(yīng)不同層次的學(xué)生。應(yīng)具有一定的發(fā)展余地,可由一個(gè)開(kāi)放題引出新問(wèn)題和啟動(dòng)新思考。通過(guò)解題,讓所有的學(xué)生都認(rèn)為“自己能行”,“其實(shí)自己并不笨”,從而體現(xiàn)“人人掌握數(shù)學(xué)”和“不同的人學(xué)習(xí)不同樣的數(shù)學(xué)”。同時(shí)要對(duì)學(xué)生進(jìn)行客觀評(píng)價(jià)。

2.2.3 開(kāi)放題的中心應(yīng)為數(shù)學(xué)

當(dāng)前許多教師認(rèn)為開(kāi)放題開(kāi)放的內(nèi)容應(yīng)寬廣,不僅僅涉及數(shù)學(xué)內(nèi)容,而且應(yīng)該涉及其他學(xué)科及社會(huì)活動(dòng)。本著這種想法,一位教師設(shè)計(jì)了一道兩地之間鋪水管的問(wèn)題:請(qǐng)學(xué)生幫她算一下需用多少費(fèi)用[4]。這道題一方面離學(xué)生生活實(shí)際和已有經(jīng)驗(yàn)太遠(yuǎn),學(xué)校家庭兩點(diǎn)一線、衣食無(wú)憂的孩子們鮮有關(guān)心鋪水管之類(lèi)的問(wèn)題,也不會(huì)了解人工費(fèi)用,水管費(fèi)用等細(xì)節(jié)的測(cè)算;另一方面,題中除了兩地距離外包含的數(shù)學(xué)知識(shí)太少,不足以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識(shí),建立新的數(shù)學(xué)模型。相比之下,筆者認(rèn)為自己設(shè)計(jì)的“籃球教練選主力問(wèn)題”(見(jiàn)上一節(jié) (3)創(chuàng)設(shè)實(shí)際情景解決問(wèn)題)更有教學(xué)上的意義:既聯(lián)系學(xué)生的實(shí)際,又滲透了平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)。因此,我認(rèn)為數(shù)學(xué)開(kāi)放題的核心還應(yīng)是數(shù)學(xué)問(wèn)題,不應(yīng)脫離數(shù)學(xué)本身。

綜上所述,我們可以看到,“數(shù)學(xué)開(kāi)放題”是一種特殊的數(shù)學(xué)問(wèn)題,它不是一個(gè)純數(shù)學(xué)范圍的概念,而是一個(gè)教育范疇的概念。數(shù)學(xué)開(kāi)放題不是普通的數(shù)學(xué)問(wèn)題,而是為了達(dá)到一定教育目的而精心設(shè)計(jì)編制的數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)學(xué)開(kāi)放題的教育價(jià)值在于培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的積極態(tài)度,在于尋求解答的過(guò)程中主體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重建,在于能激起多數(shù)學(xué)生的好奇心,全體學(xué)生都可以參與解答過(guò)程而不管他屬于何種程度和水平。在學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)再創(chuàng)造的過(guò)程中,培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識(shí)和探索能力。第一屆東亞數(shù)學(xué)教育會(huì)議指出,中國(guó)在“一題多解”“一題多變”的教學(xué)中有許多好的經(jīng)驗(yàn),但是還沒(méi)有提高到開(kāi)放性教學(xué)的高度來(lái)認(rèn)識(shí)。因此,研究數(shù)學(xué)開(kāi)放題并用之于數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要的現(xiàn)實(shí)意義,廣大數(shù)學(xué)教師應(yīng)該對(duì)自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行總結(jié),主動(dòng)接受建構(gòu)主義教學(xué)理論的指導(dǎo),構(gòu)建中國(guó)式的數(shù)學(xué)開(kāi)放題教學(xué)模式。

[1]龔雷.數(shù)學(xué)開(kāi)放題的設(shè)問(wèn)方式.[EB/OL].http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-SXXJ1998050 02.htm.

[2]李玉萍.開(kāi)放題問(wèn)題設(shè)計(jì)原則[J].中小學(xué)教育·小學(xué)版,2000(12):20.

[3]戴再平.開(kāi)放題——數(shù)學(xué)教學(xué)的新模式 [M].上海:上海教育出版社,2004(1):4-6.

[4]儲(chǔ)冬生.關(guān)于開(kāi)放題的開(kāi)放性思考[J].中小學(xué)教育·小學(xué)版,2002(6):2-3.

D iscussion aboutOpeningMath Questions for Pupils

WANG Yun-xia
(ChanglangDistrict Experimental Primary School,Suzhou Jiangsu Province,215006,China)

While China is open to the world,a new teaching method has been come into being in math field,which is teaching about openingmath question.It emphasizes on the process of ans wering,which present the students’main position in teaching activity,being a useful method of education.So it’s meaningful to preparation and applying it in math teaching.

opening question;educational significant;preparation and applying

G62

A

1671-6876(2010)04-0357-04

2010-06-30

王韻夏 (1982-),女,江蘇蘇州人,小教一級(jí),主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)和評(píng)價(jià)研究。

[責(zé)任編輯:仇海燕 ]