孫延彬, 梁聰剛

(平頂山學(xué)院新校區(qū)團(tuán)委,河南平頂山 467000)

冪線性空間的商空間

孫延彬, 梁聰剛

(平頂山學(xué)院新校區(qū)團(tuán)委,河南平頂山 467000)

討論類比商群、商空間的概念,提出了冪線性空間的商空間的概念.首先,給出冪線性空間和冪子空間的定義,并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造了冪線性空間上一個(gè)等價(jià)關(guān)系,對(duì)冪線性空間進(jìn)行分類,從而構(gòu)造出冪線性空間的商空間.最后研究了商空間上基、維數(shù)及同態(tài)的性質(zhì).

冪線性空間; 冪線性空間的子空間; 商集; 商空間; 基; 維數(shù); 同構(gòu)

近年來,隨著序結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的提升得到廣泛的應(yīng)用,代數(shù)結(jié)構(gòu)的提升也引起了越來越多人的關(guān)注. 1985年,李洪興教授首次提出冪群[1]的概念,隨后有關(guān)群的代數(shù)結(jié)構(gòu)的提升問題的研究異?；钴S.1988年,李洪興教授又提出了HX環(huán)[2,3]的概念,開始了環(huán)代數(shù)結(jié)構(gòu)的提升問題的研究,自此人們?cè)谶@方面也得到一系列具有深刻意義的結(jié)果.冪線性空間[4]是方剛提出來的,這是線性空間提升的問題.類比線性空間研究冪線性空間的主要性質(zhì)將是非常有意義的.

本文主要類比商群、商空間的概念,得到冪線性空間的商空間的概念.首先,文章引入了冪線性空間的定義,討論了冪線性空間的非空子集,對(duì)于冪線性空間上所定義的運(yùn)算也作成線性空間所具備的條件,從而引入冪線性空間的子空間的概念.由于希望通過冪線性空間的子空間對(duì)整個(gè)冪線性空間進(jìn)行分類,于是構(gòu)造冪線性空間上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系,這個(gè)等價(jià)關(guān)系即決定了冪線性空間的一個(gè)分類.接下來,把冪線性空間上所有的等價(jià)類的全體構(gòu)成的集合定義為商集,再定義其上的運(yùn)算,希望商集中的元素對(duì)于其運(yùn)算也作成線性空間,若作成線性空間,我們把這個(gè)線性空間叫做冪線性空間的商空間.最后,文章討論了商空間上的基、維數(shù)和同態(tài)的性質(zhì).

1 冪線性空間與冪線性空間的子空間

定義1.1[4]設(shè) P＊(V)是 P°(V)的非空子集,如果 P＊(V)關(guān)于運(yùn)算(1.1)與(1.1)作成線性空間,則稱P＊(V)為V上的冪線性空間,簡稱冪空間.其零元記為Q,P＊(V)中的元素A的負(fù)元記為-A.

例1 設(shè)V是數(shù)域F上的n維線性空間,則 P＊(V)={{a}|a∈V}是V上的冪線性空間,并稱為平凡冪線性空間或本原冪線性空間,其中冪零元素為:{0},{a}的負(fù)元為{-a}.

定義1.2[5]數(shù)域 F上的冪線性空間P＊(V)的一個(gè)非空子集合W＊,稱為 P＊(V)上的一個(gè)冪線性子空間(或簡稱冪子空間),如果W＊對(duì)于 P＊(V)上的兩種運(yùn)算也構(gòu)成數(shù)域 F上的線性空間.

非空子集W＊要滿足的條件為:

①如果W＊中包含A,那么W＊就一定包含數(shù)域 F中的數(shù)λ與A的數(shù)乘λA;

②如果W＊中包含A與B,那么W＊就同時(shí)包含A與B的和A+B;

③Q在W＊中;

④W＊中包含A,那么-A也在W＊中;

其實(shí)條件 ③④已包含在 ①②之中,因?yàn)??A∈W＊,當(dāng)λ=0時(shí),λA={0a|a∈A}=Q;當(dāng)λ=-1時(shí), λA={-a|a∈A}=-A.

定理1.1 如果冪線性空間P＊(V)的非空子集W＊,對(duì)于 P＊(V)的兩種運(yùn)算是封閉的,即滿足①②,那么W＊就是一個(gè)冪子空間.

2 冪線性空間的商空間

設(shè) P＊(V)是數(shù)域 F上的冪線性空間,W＊是 P＊(V)的一個(gè)冪子空間,利用W＊,我們規(guī)定 P＊(V)的冪向量間的關(guān)系～

定理2.1[6,9]～是 P＊(V)的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.

證明:反身性:?A∈P＊(V),有A-A∈W＊,所以A～A.

對(duì)稱性:?A,B∈P＊(V),若A～B,則A-B∈W＊,于是-(A-B)∈W＊,即B-A∈W＊,所以B～A.

傳遞性:?A,B,C∈P＊(V),若A～B且B～C,則A-B∈W＊,B-C∈W＊,于是A-C=(AB)+(B-C)∈W＊,所以A～C.

因此～是一個(gè)等價(jià)關(guān)系.

(證畢)

因此P＊(V)中每一個(gè)冪向量A必然屬于某一個(gè)等價(jià)類,而不同的等價(jià)類彼此不相交.于是冪線性空間可分為一些彼此不相交的等價(jià)類,這些等價(jià)類我們稱之為冪子空間的陪集,由于冪線性空間中的冪向量關(guān)于加法滿足交換律,故不必區(qū)分左右陪集.

定義2.1[7]數(shù)域 F上冪線性空間P＊(V)的所有等價(jià)類的全體組成的集合記為稱為 P＊(V)的商集.下面考慮商集中定義兩個(gè)運(yùn)算,

定理2.2[7]數(shù)域 F上冪線性空間P＊(V)的商集 P＊(V)/W＊對(duì)于如上定義的加法和數(shù)量乘法構(gòu)成 F上的一個(gè)線性空間,稱為 P＊(V)的商空間.

故 P＊(V)/W＊為數(shù)域 F上的一個(gè)線性空間,所以 P＊(V)/W＊為冪線性空間 P＊(V)的商空間. (證畢)

3 冪線性空間的商空間的基與維數(shù)

定義3.1[8]設(shè)數(shù)域 F上P＊(V)為線性空間V上的一個(gè)冪線性空間,且A,A1,A2,…,As∈P＊(V),若存在 k1,k2,…,ks∈F,使得 k1A1+k2A2+…+ksAs=A,則稱A可由冪向量組A1,A2,…,As冪線性表示.

定義3.2[8]設(shè)數(shù)域 F上P＊(V)為線性空間V的一個(gè)冪線性空間,且A1,A2,…,As∈P＊(V),若存在不全為零的數(shù) k1,k2,…,ks∈F,使得 k1A1+k2A2+…+ksAs=Q,則稱冪向量組A1,A2,…,As是冪線性相關(guān)的,否則稱為冪線性無關(guān).

定義3.3 如果冪線性空間 P＊(V)中有s個(gè)冪線性無關(guān)的冪向量,但沒有更多的冪線性無關(guān)的冪向量,那么P＊(V)就稱為s維的;如果在P＊(V)中可以找到任意多個(gè)冪線性無關(guān)的冪向量,那么P＊(V)就是無限維的.

定義3.4 設(shè)數(shù)域 F上P＊(V)為線性空間V的一個(gè)冪線性空間,且A1,A2,…,As∈P＊(V)滿足:

①A1,A2,…,As冪線性無關(guān);

②?A∈P＊(V),都可由冪向量組A1,A2,…,As冪線性表出;

則稱冪向量組A1,A2,…,As是冪線性空間P＊(V)的一組冪基,簡稱為基.并稱冪線性空間 P＊(V)為s維的,記為dim(P＊(V))=s.

例2 本原冪線性空間 P＊(V)的維數(shù)等于線性空間V的維數(shù).

證明:設(shè) a1,a2,…,an為線性空間V的一組基,令 k1{a1}+k2{a2}+…+kn{an}={0},則{k1a1+k2a2+…+knan}={0},于是k1a1+k2a2+…+knan=0,又a1,a2,…,an線性無關(guān),所以k1=k2= …=kn= 0,即:{a1},{a2},…,{an}線性無關(guān).

又對(duì)于 ?b∈V,?k1,k2,…,kn∈F,使得 b=k1a1+k2a2+…+knan,

于是

所以,{a1},{a2},…,{an}為 P＊(V)的一組基,即:

設(shè)A1,A2,…,As是冪線性空間的一組冪向量,則這組冪向量的所有可能的線性組合為k1A1+k2A2+…+ ksAs,因所成集合非空,而且對(duì)于冪線性空間上的兩種運(yùn)算是封閉的,因而是 P＊(V)的一個(gè)冪子空間,這個(gè)冪子空間叫做由A1,A2,…,As生成的冪子空間,記為L(A1,A2,…,As).

由冪子空間的定義可知,如果 P＊(V)的一個(gè)冪子空間包含冪向量A1,A2,…,As,那么就一定包含它們所有的線性組合.事實(shí)上,W＊是 P＊(V)的一個(gè)冪子空間,A1,A2,…,As是W＊的一組基,就有W=L(A1,A2,…,As).

定理3.1 設(shè)W＊是數(shù)域 F上冪線性空間P＊(V)的 m維子空間,A1,A2,…,Am是W＊的一組基,那么這組基必可擴(kuò)充為整個(gè)冪線性空間的基,也就是說,在 P＊(V)中必可以找到 n-m個(gè)冪向量Am+1,Am+2,…, An,使得A1,A2,…,An是P＊(V)的一組基.

證明:對(duì)維數(shù)差 n-m作歸納法.

當(dāng) n-m=0時(shí),定理顯然成立,因?yàn)锳1,A2,…,Am已是P＊(V)的基.

現(xiàn)假設(shè) n-m=k時(shí)定理成立,我們考慮 n-m=k+1的情形.既然A1,A2,…,Am還不是P＊(V)的基,它又是冪線性無關(guān)的,那么在 P＊(V)中必定有一冪向量Am+1不能被A1,A2,…,Am冪線性表出,把Am+1添加進(jìn)去,則A1,A2,…,Am,Am+1必是線性無關(guān)的,因此冪子空間W=L(A1,A2,…,Am+1)的維數(shù)為 m+1,因?yàn)閚-(m+1)=(n-m)-1=k+1-1=k,由歸納假設(shè),L(A1,A2,…,Am+1)的基A1,A2,…,Am,Am+1可以擴(kuò)充為整個(gè)空間的基.

由歸納法可知定理得證.

(證畢)

定理3.2[9]設(shè)W＊是冪線性空間 P＊(V)的一個(gè)s維子空間,dim(P＊(V))=n,則dim(P＊(V)/W＊) = n-s.

證明:設(shè)A1,A2,…,As是W＊的基,將它擴(kuò)充為 P＊(V)的一組基A1,A2,…,As,As+1,…,An.

則

于是

這樣可設(shè)

即

由于A1,A2,…,An是冪線性無關(guān)的,可得即冪線性無關(guān).

則

于是

(證畢)

所以dim(P＊(V)/W＊)=n-s.

4 冪線性空間的同態(tài)

定義4.1[5]數(shù)域 F上兩個(gè)冪線性空間P1(V),P2(V)稱為同態(tài)的,如果有 P1(V)到 P2(V)的一個(gè)滿射f,具有如下性質(zhì):

其中A,B是P1(V)為中任意數(shù),k為F中任意數(shù),這樣的映射稱為同態(tài)映射.

由定義可以看出,同態(tài)映射具有如下性質(zhì):

①f(Q)=Q′;(Q為P1(V)上的零向量,Q′為P2(V)上的零向量)

②f(-A)=-A;

③f(k1A1+k2A2+ …+knAn)= k1f(A1)+k2f(A2)+ …+knf(An).

定理4.1[6]數(shù)域 F上的冪線性空間P＊(V)同它的每一個(gè)商空間 P＊(V)/W＊同態(tài).

證明:我們定義從 P＊(V)到 P＊(V)/W＊的一個(gè)映射,f:A→ˉA,顯然f為P＊(V)到 P＊(V)/W＊的滿射.又對(duì)于 ?A,B∈P＊(V),k∈F有

即證.

(證畢)

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Abstract:In this paper,according to the concept of the quotient group and the quotient space,we introduce the concept of the quotient space of the power li-near space.Firstly,the concept of power linear space and power linear subspace are put forward,and then the quotient space of the power linear space is constr-ucted.Finally,we discuss some basic results of the quotient space.

Key words:power linear space; power linear subspace; quotient set; quotient space; base; diemension; isomorphism

The Quotient Space of the Power Linear Space

SUN Yan-bin, LIANG Cong-gang

(League Committee,Pingdingshan University,Pingdingshan,Henan 467000)

O177.3

A

1671-9743(2010)05-0026-05

2010-05-05

孫延彬 (1982-),男,河南平頂山人,平頂山學(xué)院碩士生,主要研究高等數(shù)學(xué);

梁聰剛 (1981-),男,河南平頂山人,平頂山學(xué)院講師,碩士生.