李尚龍

(渭南職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)理科學(xué)系,陜西渭南 714000)

關(guān)于一類不定方程正整數(shù)解的問題

李尚龍

(渭南職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)理科學(xué)系,陜西渭南 714000)

利用初等數(shù)論知識推導(dǎo)并證明了不定方程的正整數(shù)解的一般公式,并且推導(dǎo)出了不定方程的全部正整數(shù)解,并對不定方程是否有正整數(shù)解做了討論,解決了這一類不定方程的正整數(shù)解的問題.

不定方程; 正整數(shù)解; 初等數(shù)論

1 引言及預(yù)備

不定方程是變量個數(shù)多于方程個數(shù),且取整數(shù)值的方程.不定方程又稱為丟番圖方程,是數(shù)論的重要分支學(xué)科,也是最活躍的數(shù)學(xué)領(lǐng)域之一.1980年,著名的數(shù)學(xué)家柯召和孫琦在我國出版了第一部專門研究不定方程的專著《談?wù)劜欢ǚ匠獭?在這部專著的基礎(chǔ)上,曹珍富于1987年完成了全面總結(jié)與系統(tǒng)研究不定方程的成果和方法的手稿《丟番圖方程引論》.最近十余年,不定方程不僅自身的發(fā)展異?；钴S,而且全面應(yīng)用于數(shù)學(xué)的其他各個領(lǐng)域 (見文獻(xiàn) [1]-[5]).本文在已有研究的基礎(chǔ)上,給出了不定方程的正整數(shù)解的一般表達(dá)式,得到了不定方程的全部正整數(shù)解,證明了不定方程(n≥3,n∈N＊)無正整數(shù)解.

為了完成定理的證明,需要用到以下幾個引理.

引理1[2]不定方程 ab=w2(w＞0,a＞0,b＞0,(a,b)=1)的一切正整數(shù)解可表示成:a=m2,b= n2,w=mn,m ＞0,n＞0,m,n∈N,(m,n)=1.

引理2[2]不定方程x2+y2=z2的適合條件x＞0,y＞0,z＞0,(x,y)=1,2|x的一切正整數(shù)解可由下面的公式來表示:x=2mn,y=m2-n2,z=m2+n2,m＞ n,m,n∈N＊,(m,n)=1,2?(m+n).

引理3[3](費(fèi)馬大定理)當(dāng) n是一個大于2的整數(shù)時,不定方程 xn+yn=zn沒有正整數(shù)解.

2 主要結(jié)論及證明

反之,可直接驗(yàn)證由 a=mnt+m2t,b=mnt+n2t,c=mnt.(m,n)=1,m,n,t∈N＊所給出的任一組數(shù)a,b,c都適合方程因此方程的所有正整數(shù)解可由a=mnt+m2t,b=mnt+n2t, c=mnt.(m,n)=1,m,n,t∈N＊來表示.

證明 (1)在證明定理2之前先給出以下兩個說明:

(ⅰ)由于(±a)2= a2,(±b)2=b2,(±c)2=c2.(a,b,c＞0)故可只研究方程的正整數(shù)解.

(ⅱ)由于(a2,b2,c2)=(a,b,c)2,若(a,b,c)= d＞1得a= a1d,d=b1d,c=故可先設(shè)

(ⅰ)先證 a≠1且 b≠1.若不然,則左邊 ＞1,右邊 ≤1.顯然左邊 ≠右邊.

(ⅲ)設(shè)(a,b)=d＞1.a=a1d,b=b1d,(a1,b1)=1.由(ⅱ)的證明容易得到1.則由所以又因?yàn)樗愿鶕?jù)引理2得:所以

其中m,n∈N＊,m＞n,(m,n)=1,2?(m+n)(即 m,n一奇一偶)t∈N＊.

反之,可直接驗(yàn)證由 a=2mn(m2+n2)t,b=(m2-n2)(m2+n2)t,所給出的任一數(shù)組 a,b,c都適合方程因此方程的所有正整數(shù)解可表示為:(即m,n一奇一偶),t∈N＊.證畢.

[1]劉榮武.不定方程的一種簡便解法 [J].洛陽師專學(xué)報,1999,(5):28-31.

[2]柯召,孫琦.數(shù)論講義 (第2版)[M].北京:高等教育出版社,2003.

[3]張文鵬.初等數(shù)論 [M].西安:陜西師范大學(xué)出版社,2007.

[4]馬文波.幾類特殊的不定方程問題初探 [D].武漢:武漢理工大學(xué),2006.

[5]彭葉輝,補(bǔ)愛軍.解不適應(yīng)算子方程的多不正則化梯度法 [J].懷化學(xué)院學(xué)報,2008,(3):15-17.

Abstract:This paper used the knowledge of elementary number theory to deduce and prove the general formulas of positive integral solution to the indeterminate equationThis paper also has deduced and afforded us to obtain all positive integral solution to the indeterminate equationand has made a discussion if it has positive integral solution to indeterminate equationThus it has solved the problem to positive integral solution of the kind indeterminate equation.

Key words:indeterminate equation; positive integral solution; elementary number theory

On the Problem of an Positive Integral Solution of One Kind Indeterminate Equation

LI Shang-long

(Department of Mathematics and Physical Science,Weinan Vocational and Technical College,Weinan,Shanxi 714000)

O156.2

A

1671-9743(2010)05-0031-03

2010-05-17

陜西省教育廳基金項目 (09JK432).

李尚龍 (1964-),男,陜西合陽人,渭南職業(yè)技術(shù)學(xué)院副教授,主要研究代數(shù)理論.