郭曉梅

(遼寧工程技術(shù)大學(xué)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,遼寧阜新 123000)

非線性方程數(shù)值解法探究

郭曉梅

(遼寧工程技術(shù)大學(xué)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,遼寧阜新 123000)

本文主要介紹非線性方程的數(shù)值解法是直接從方程出發(fā),逐步縮小根的存在區(qū)間,或逐步將根的近似值精確化,直到滿足問題對精度的要求.主要做法有二分法,牛頓法和弦截法等三種方法.

非線性方程;二分法;牛頓法;弦截法＊

0 引言

在很多實際問題中,經(jīng)常需要求非線性方程f(x)=0的根。方程f(x)=0的根叫做函數(shù)f(x)的零點。由連續(xù)函數(shù)的特性知:若f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)·f(b)< 0,則f(x)=0在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個實根。這時稱[a,b]為方程f(x)=0的根的存在區(qū)間。本文主要對非線性方程的數(shù)值解法進行分析,并介紹了非線性方程數(shù)值解法的三種方法。

1 二分法

二分法的基本思想是將方程根的區(qū)間平分為兩個小區(qū)間,把有根的小區(qū)間再平分為兩個更小的區(qū)間,進一步考察根在哪個更小的區(qū)間內(nèi)。如此繼續(xù)下去,直到求出滿足精度要求的近似值。

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)·f(b)<0,則[a,b]是方程f(x)=0的根的存在區(qū)間,設(shè)其內(nèi)有一實根,記為x＊。取區(qū)間[a,b]的中點xk=(a+b),并計算f(x1),則必有下列三種情況之一成立:

(1)f(x1)=0,x1就是方程的根x＊;

(2)f(a)·f(x1)<0,方程的根x＊位于區(qū)間[a,x1]之中,此時令a1=a,b1=x1;

(3)f(x1)·f(b)<0,方程的根x＊位于區(qū)間[x1,b]之中,此時令a1=x1,b1=b。

所以,只要二分足夠次(即k足夠大),便有

二分法的優(yōu)點是算法簡單及近似根序列一定收斂,缺點是收斂速度比較慢。

2 牛頓法

牛頓法是求解非線性方程的一種迭代法。

迭代法的基本思想是將方程

化為等價的方程選擇方程根的某個猜測值x0,將它代入(2)式的右端,得到

然后再取x1作為根的猜測值,進一步得到

如此反復(fù)迭代。如果按迭代公式

確定的數(shù)列{xk}有極限

則稱迭代過程收斂。這時極限值x＊就是方程(1)的根。

牛頓法的基本思想是先設(shè)法將非線性方程f(x)=0轉(zhuǎn)化為某種線性方程,然后迭代求解。

設(shè)x0是方程f(x)=0的一個近似根,用函數(shù)f(x)在x0處的微分f′(x0)(x-x0)來近似代替函數(shù)的改變量f(x)-f(x0),即

則

于是得到原方程的近似方程

這是一個線性方程,設(shè)f′(x0)≠0解得

如果取x作為原方程的新的近似根x1,然后代入上式右端計算,這樣就形成一種迭代

這就是方程f(x)=0的牛頓迭代公式。

牛頓法的幾何意義:方程f(x)=0的根x＊在幾何上是曲線y=f(x)與x軸的交點的橫坐標(biāo)。設(shè)xk是x＊的某個近似值,曲線y=f(x)上點Pk(xk,f(xk))處的切線方程為

此切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)就是由牛頓迭代公式所確定的xk+1,所以牛頓法就是以曲線Pk處的切線與x軸的交點近似代替曲線與x軸的交點,因此,牛頓法又稱切線法。

定理 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上滿足下列條件:

(1)f(a)f(b)<0;

(2)f′(x)≠0;

(3)f′’(x)存在且不變號;

(4)取x0∈[a,b],使得f(x0)f′’(x0)>0,

則牛頓迭代公式產(chǎn)生的序列{xk}收斂于方程f(x)=0在區(qū)間[a,b]上的唯一根x＊。

如果函數(shù)f(x)不滿足定理的條件,特別是迭代初值x0偏離方程的根x＊較遠時,則迭代序列{xk}可能不收斂于x＊。

牛頓法的優(yōu)點是收斂速度快,缺點是對迭代初值的要求比較高。

3 弦截法

牛頓法雖然收斂速度快,但需要計算導(dǎo)數(shù)f′(x),如果函數(shù)f(x)比較復(fù)雜,就會帶來一些不便。因此要考慮一種能避開導(dǎo)數(shù)運算的迭代公式。

因為函數(shù)f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)

可以用平均變化率

來近似代替f′(x0)。

在牛頓迭代公式中,用

來近似代替f′(xk),就得到迭代公式

按這個公式進行迭代計算的方法就稱為弦截法。

弦截法的收斂速度比牛頓法慢得多,為了加快收斂速度,改用差商

來代替牛頓迭代公式中的導(dǎo)數(shù)f′(xk),于是得到下列快速弦截法的迭代公式

因為在計算xk+1時,用了前面兩步的信息xk和xk-1,所以收斂速度就提高了。

應(yīng)該注意,在使用快速弦截法迭代公式時,必須先給出兩個初始近似根x0和x1。

弦截法的優(yōu)點是收斂速度也相當(dāng)快。

4 結(jié)論

總之,通過對非線性方程的數(shù)值解法的分析得知:非線性方程的數(shù)值解法是直接從方程出發(fā),逐步縮小根的存在區(qū)間,或逐步將根的近似值精確化,直到滿足問題對精度的要求。具有相當(dāng)強的實際意義。

[1]趙文茹,彭秋艷。新編工程數(shù)學(xué)[M].大連:大連理工大學(xué)出版社,2005.

[2]王信峰,應(yīng)用學(xué)與計算機實訓(xùn)[M].北京:電子工業(yè)出版社,2000.

O 177

A

1004-7077(2010)02-0023-03

2009-12-11

郭曉梅(1965-),女,遼寧阜新人,講師,學(xué)士,研究方向為數(shù)學(xué)應(yīng)用及計算.

[責(zé)任編輯:陳慶朋]