李艷芳

（福建師范大學(xué) 閩南科技學(xué)院 理工系，福建 泉州 362332）

中秋博餅中的數(shù)學(xué)問題

李艷芳

（福建師范大學(xué) 閩南科技學(xué)院 理工系，福建 泉州 362332）

博餅，是福建廈門三百年來獨(dú)有的中秋傳統(tǒng)活動(dòng)，是一種獨(dú)特的月餅文化，也是廈門人對(duì)歷史的一種傳承.相傳，中秋博餅，是鄭成功屯兵廈門時(shí)為解士兵的中秋相思之情、鼓舞士氣而發(fā)明的.于是，一代一代傳下來，就成了如今廈門獨(dú)具特色的民間習(xí)俗.本文從數(shù)學(xué)的角度，用古典概率和獨(dú)立性的理論計(jì)算各個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)中獎(jiǎng)的概率、哪個(gè)獎(jiǎng)最難中以及什么獎(jiǎng)都拿不到的概率，并分析獎(jiǎng)項(xiàng)設(shè)置的合理性助.

博餅；古典概率；獨(dú)立性

1 博餅規(guī)則

會(huì)餅一套，骰子一副（6個(gè)），大瓷碗一個(gè).每個(gè)人每次要把6個(gè)骰子一起投進(jìn)大瓷碗里，眾人依次投骰子，看骰子點(diǎn)數(shù)得餅（獎(jiǎng)品）.獎(jiǎng)項(xiàng)從大到小如下表所示（關(guān)于博餅規(guī)則，一秀到對(duì)堂是沒有爭(zhēng)議的；而對(duì)于狀元里面的分類和大小順序，各公司、單位及商場(chǎng)在執(zhí)行的時(shí)候略有不同，下表所示是常見的一種規(guī)則.規(guī)則是人為制定的，制定好后玩家共同遵守，重要的是享受游戲過程中的樂趣）：

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2 獎(jiǎng)品設(shè)置

一套中秋會(huì)餅中，共有大小不同的63塊餅.依大小順序分別為：狀元餅1塊；榜眼餅2塊；探花餅4塊；進(jìn)士餅8塊；舉人餅16塊；秀才餅32塊.博餅游戲延續(xù)到現(xiàn)代，會(huì)餅已經(jīng)被其他物品所替代，如日用品，食品，購(gòu)物卷等.這些物品按照會(huì)餅規(guī)定的數(shù)量組合.

3 說明

3.1 如果沒有出現(xiàn)上述排列組合中的任何一種情形，則投擲者什么也得不到；如果投擲過程中有骰子溢出瓷碗，則投擲者不僅什么也得不到，下一輪還要輪空；

3.2 如果一個(gè)排列組合可以符合多種情形時(shí)，按最大者，即按排在表中最上層者算，如兩粒紅四點(diǎn)，得二舉一個(gè)，而不能得一秀兩個(gè)；

3.3 在會(huì)餅全部分配完畢前，自第五個(gè)三紅得主起，后來的三紅得主均可以向游戲進(jìn)行的反方向離自己最近的三紅得主追繳三紅餅一個(gè)；同樣，自第三個(gè)對(duì)堂得主起，后來的對(duì)堂得主可以按游戲反方向順序追繳前面對(duì)堂得主的對(duì)堂餅一個(gè)；

3.4 狀元餅的分配，則按大小來算，排在表中上層的為大，如果同時(shí)出現(xiàn)五王或五子，則按剩下的那個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)來算，點(diǎn)數(shù)大者勝；如果同時(shí)出現(xiàn)多人有四粒紅四點(diǎn)，則按剩下的2粒骰子的點(diǎn)數(shù)之和的大小來算，大者勝；如果點(diǎn)數(shù)相同，則先擲出者勝；

3.5 同一博手兩次或兩次以上博到狀元，以最后一次算數(shù)，若該博手“祿骨”[同一博手兩次博到狀元但點(diǎn)數(shù)小于先前（先前的狀元大于其他博手），也小于其他博手，稱為祿骨]，狀元即被追繳，若是狀元插金花，所得的對(duì)堂不被追繳，只追繳狀元.

4 概率計(jì)算

假設(shè)骰子相互獨(dú)立（相當(dāng)6個(gè)骰子分開搖），得出表中所示骰面組合的理論概率；但實(shí)際6骰子一起搖，相互碰撞，獨(dú)立性假設(shè)存在一定誤差.

同時(shí)擲6只骰子，每一種擲法為一個(gè)基本事件，樣本空間是由所有可能的骰面組合構(gòu)成的集合，樣本空間中含有66=4665 6個(gè)樣本點(diǎn)，對(duì)于每個(gè)骰子而言，每個(gè)骰面被擲出的可能性相同，這是一個(gè)古典概率問題.表中列出的11種情況兩兩互不相容.

狀元插金花（4個(gè)4加2個(gè)1）：

p1=C46/66=15/4665 6≈0.0003 2;

六杯紅（6個(gè) 4）：p2=1/66=1/4665 6≈0.0000 21;

六杯黑（6個(gè)都一樣，但非6個(gè)4）：

p3=5/66=5/4665 6≈0.0001 07;

五王（5個(gè) 4，一個(gè)非 4）：

p4=C56×6/66=36/4665 6≈0.0007 72;

五子登科（5個(gè)一樣但不能為4，另外一個(gè)與其他 5個(gè)不同）：p5=C56×6×5/4665 6=180/4665 6≈0.0038 58;

普通狀元（4個(gè)4，另外兩個(gè)均非4，也不能同時(shí)為 1）：p6=C46×[5×5-1]/4665 6=360/4665 6≈0.0077 16;

對(duì)堂（1到6各一個(gè)）：

p7=C16C15C14C13C12C11/66=720/4665 6≈0.0154 32;

三紅（3個(gè)4，其他3個(gè)都非4）：

p8=C36×5×5×5/4665 6=2500/4665 6≈0.0535 84;

四進(jìn)[4個(gè)一樣的（非4），另外2個(gè)與其他4個(gè)不同]:p9=C46×5×5×5/66=1875/4665 6≈0.0401 88;

二舉[有2個(gè)4，另外4個(gè)中不能有4，并且還不能都一樣（否則成四進(jìn)了）]:p10=C26×(5×5×5×5-5)/66=9300/4665 6≈0.1993 31;

一秀[1個(gè)4，另外5個(gè)的狀況有點(diǎn)復(fù)雜，其中不能有4，不能都一樣（否則成五子登科了），不能有其中4個(gè)是一樣的（否則成四進(jìn)了），還不能分別是 1、2、3、5、6（否則就成對(duì)堂了）]:p11=C16×(5×5×5×5×5-5-C45×5×4-5!)/4665 6=1749 9/4665 6≈0.3729 42.

5 結(jié)果分析

計(jì)算結(jié)果如表1的左半部分所示.

5.1 六杯紅的概率其實(shí)是最小的，這個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)最難獲得，從概率的角度把六杯紅設(shè)置為最高獎(jiǎng)更合理；同樣如果按照概率小的級(jí)別高這樣一個(gè)原則，對(duì)原來的游戲規(guī)則進(jìn)行調(diào)整，各獎(jiǎng)項(xiàng)從大到小如上表右半部分所示.

表1

5.2 p1+p2+L+p11≈0.6942 73擲一次骰子能得獎(jiǎng)的概率為0.6942 73，假設(shè)一桌10人，那么一圈之后大概有7人能拿到獎(jiǎng)品，全部獎(jiǎng)品有63份，理論上9圈后獎(jiǎng)品差不多會(huì)分完.由于三紅和對(duì)堂可被追繳，所以實(shí)際圈數(shù)可能會(huì)增加.擲一次骰子什么獎(jiǎng)都得不到的概率為0.3057 27，9圈后沒有得到任何獎(jiǎng)品的概率為 0.3057 279≈0.0000 2，相當(dāng)于1/5000 0，這個(gè)概率非常小，所以基本上大家都能拿到獎(jiǎng)品.

5.3 博出狀元的概率為p1+p2+p3+p4+p5≈0.0127 96，約1/78，假設(shè)一桌10人，理論上，8圈之內(nèi)應(yīng)該會(huì)出狀元.

〔1〕盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：高等教育出版社，2001.

〔2〕陳魁.概率論統(tǒng)計(jì)輔導(dǎo)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2004.

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1673-260X（2010）12-0017-02