梅 紅,孫澤信

(河海大學地球科學與工程學院,江蘇南京 210098)

壩堤的變形分析與預測,在壩堤的建設和使用過程中極為重要.目前針對這類問題的研究理論和方法都很多,在沉降變形的小樣本監(jiān)測離散數(shù)列方面,灰色GM(1,1)模型以其特有的優(yōu)勢得到了很好的應用.灰色GM(1,1)模型對數(shù)據的處理,不是求得數(shù)據的概率分布和統(tǒng)計規(guī)律,而是根據數(shù)據的處理方法找出數(shù)據間的規(guī)律,因而只需較少的數(shù)據[1-2].大量文獻表明,灰色GM(1,1)存在一些預測精度不高的情況,因此,對灰色GM(1,1)模型進行深入的研究,找出影響模型精度的關鍵性因素并進行改進,提高灰色GM(1,1)預測模型的精度,具有非常重要的理論意義和實際價值.

本文從非等間距GM(1,1)模型的基本原理出發(fā),在對模型精度的主要影響因素進行分析的基礎上,對模型初值選取以及背景值的構造2個方面進行改進,最后結合某壩堤沉降監(jiān)測實例進行預測分析.

1 非等間距GM(1,1)模型的建模過程

傳統(tǒng)的灰色GM(1,1)模型是以等間隔數(shù)列為基礎的,但在實際工程的變形監(jiān)測中,觀測數(shù)據的時間間隔往往呈現(xiàn)非等間隔的狀態(tài),這就限制了傳統(tǒng)灰色GM(1,1)模型的應用.這時,需要把非等時間間隔轉化為等時間間隔序列.本文主要采用單位時段差系數(shù)修正法對原數(shù)據進行處理,再進行一次累加生成處理,進而形成非等間距GM(1,1)模型[3-5].

設X(0)={x(0)(ti)i=1,2,…,n},ti∈R,ti與ti+1之間為任意非等間距,即 Δti=ti+1-ti不為常數(shù).則平均時間間隔Δt0為

單位時間差系數(shù) μ(ti)為

于是得到等間隔序列為

將x(1)1(t)擬合成一階線性微分方程,即

式中:a,u為待定常數(shù).a稱為發(fā)展系數(shù),其大小反映了序列 x(0)的增長速度;u稱為灰色作用量.則可得到方程組:

其中

其法方程組為

則最小二乘解為

得到時間響應函數(shù)為

還原為非等間距數(shù)列中與時間t有關的函數(shù)(t為距首次周期的時間間隔)為

則

將預測時間t代入式(12),即可求得預測值.

2 非等間距GM(1,1)模型精度檢驗

建模的主要目的在于預測.為了評價預測的精度和效果,有必要對所建模型精度進行檢驗.灰色模型的精度通常采用后驗差方法檢驗,其基本過程如下[6]:

a.計算殘差.記k 時刻 x(0)(k)與(0)(k)之差為

b.計算原始數(shù)列和殘差數(shù)列的方差:

其中

c.計算后驗差比值C和小誤差概率p:

d.模型精度評定.指標C越小越好,C越小,表示S1越大而S2越小.S1大,表示原始數(shù)據離散程度大;S2小,表示殘差離散程度小.指標p越大越好,p越大,表明殘差與殘差平均值之差小于給定值0.6745S1的數(shù)據比較多.根據C與p 2個指標,可綜合評定模型精度.模型精度評定標準如表1所示.

3 非等間距GM(1,1)模型精度影響因素分析

由非等間距GM(1,1)模型的建立過程及其基本原理可知,影響該模型預測精度的因素主要有以下幾個方面:(a)原始數(shù)據的選取.構成非等間距GM(1,1)模型的原始數(shù)據必須在正常的類似條件下得到,否則擬合所得的模型不具有較強的規(guī)律性.(b)初值的選取.在傳統(tǒng)的GM(1,1)預測模型中,取 x(0)(1)作為初值顯然不太合理,因為模型的最佳擬合曲線有可能不通過 x(1)序列中任何一個數(shù)據[7-8].(c)模型背景值的構造.傳統(tǒng)的灰色GM(1,1)預測模型是基于對積分函數(shù)的近似,與實際情況不符.(d)非等間距GM(1,1)模型是一指數(shù)模型,它反映的是變形體單純隨時效的變化情況.如果有其他外界因素對變形或沉降產生較大影響,如荷載的突然變化,則會大大影響所建模型的精度[9-10].(e)數(shù)據維數(shù)的影響.灰色模型針對不同的實際情況,存在著不同的最佳維數(shù),只有選擇了合適的維數(shù),才可以使模型精度達到最佳[11-12].

表1 模型精度評定標準Table 1 Assessment criteria for model precision

4 非等間距GM(1,1)模型的改進

4.1 初值的改進

在傳統(tǒng)的灰色GM(1,1)模型中,取x(0)(1)作為初值.但是由于模型的最佳擬合曲線有可能不通過 x(1)序列中任何一個數(shù)據,因此,x(0)(1)作為初值并不合理,故須對其改進.若要提高模型的精度,必須使殘差數(shù)列的方差最小,故本文利用最小二乘法對初值進行改進.即使達到最小.

求解方程

其中

4.2 背景值構造的改進

由式(6)可得

其中

稱為模型背景值.但在傳統(tǒng)的灰色GM(1,1)模型中,其背景值的構造采用

從式(20)可以看出背景值z(1)(k+1)是x(1)(t)在區(qū)間(k,k+1)上的定積分,而傳統(tǒng)的背景值實際上是該定積分的近似算法,把x(1)(t)近似成一條直線.近似公式的誤差有可能很大,導致模型預測的精度較低.因此,在其他條件不變的情況下,若要提高模型的預測精度,只有盡可能減少模型中背景值的計算誤差.

從非等間距GM(1,1)模型的求解結果來看,可設

式中 m,p,q為3個獨立的未知數(shù).由此可知,每3個相鄰的 x(1)(t)即可確定一個(1)(t)函數(shù),即(1)(k),x(1)(k+1),x(1)(k+2)確定(1)(k+1),這樣就可以把整個 x(1)(t)擬合成 n-1個獨立的指數(shù)函數(shù).這將大大減少背景值構造計算誤差,從而提高模型的預測精度.

則背景值計算公式為

其中

5 實例分析

某壩堤位于地質條件很差的軟土地區(qū),需要在壩堤全部施工階段進行沉降觀測,并通過變形分析和預報調節(jié)施工速度,以保證壩堤的施工安全.表2為壩堤某一沉降監(jiān)測點的部分觀測數(shù)據.

按照本文改進方法進行建模,并用改進的非等間距GM(1,1)模型對沉降進行預測分析.所建模型精度與改進前模型比較結果如表3所示.對模型進行不同的改進,改進后模型的精度等級如表4所示,沉降預測結果如表5所示.

表2 沉降觀測數(shù)據Table 2 Observed data of settlement

表3 模型精度比較Table3 Comparative results of model precision

表4 模型的改進與精度等級Table4 Improvement and accuracy grade of model

從表3可以看出,非等間距GM(1,1)模型改進后擬合值與實測值更加接近,改進前平均相對誤差為1.04%,改進后平均相對誤差為0.76%,模型的擬合精度有較大提高;從表4可以看出,所建的非等間距GM(1,1)模型的精度等級為一級,對模型進行改進后,后驗差比值C變小,表明模型的改進是有效的;從表5預測結果來看,預測值和實測值相當接近,改進前預測值的最大相對誤差為5.61%,最小相對誤差為0.73%,平均相對誤差為2.40%,改進后預測值的最大相對誤差為2.76%,最小相對誤差為0.34%,平均相對誤差為1.07%,表明改進后的非等間距GM(1,1)模型可靠性更強,精度更高.

表5 沉降預測結果Table5 Results of predicted settlement

6 結 論

a.從根據某壩堤沉降監(jiān)測的5組數(shù)據所建模型的精度等級來看,非等間距GM(1,1)模型比較適合小樣本離散數(shù)據的處理,利用很少數(shù)據即可進行較為準確的預測分析.

b.對某壩堤沉降的預測分析結果表明:非等間距GM(1,1)模型初值的選取及背景值的構造方法,都是影響GM(1,1)模型預測精度的重要因素;改進后模型的預測精度有了更大的提高.

c.運用改進后的非等間距GM(1,1)模型對后續(xù)5個觀測時間的累積沉降量進行了預測,預測值較模型改進前與實測值更加接近,表明改進后的模型可靠性更強,精度更高,更適用于壩堤的沉降預測分析.

[1]鄧聚龍.灰理論基礎[M].武漢:華中科技大學出版社,2002.

[2]XIE Nai-ming,LIU Si-feng.Research on discretegrey model and its mechanism[C]//Systems,Man and Cybernetics,2005Proceedingof the IEEE International Conference.Piscataway:IEEE Xplore Digital Library,2005:606-610.

[3]黃聲享,李志成.工程建筑沉降預測的非等間距灰色建模[J].地理空間信息,2004,2(1):41-43.(HUANGSheng-xiang,LIZhicheng.Grey modeling of non-equidistant data sepuent for forecasting subsidence of the engineering buildings[J].Geospatial Information,2004,2(1):41-43.(in Chinese))

[4]謝乃明,劉思峰.離散GM(1,1)模型與灰色預測模型建模機理[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2005,25(1):93-99.(XIE Nai-ming,LIUSi-feng.Discrete GM(1,1)and mechanism of grey forecasting model[J].Systems Engineering-Theory&Practice,2005,25(1):93-99.(in Chinese))

[5]郭麗萍,孫偉,鄭克仁,等.非等時距GM(1,1)直接模型及其在材料試驗數(shù)據處理中的應用[J].東南大學學報:自然科學版,2004,34(6):833-837.(GUO Li-ping,SUN Wei,ZHENG Ke-ren,et al.Non-equal interval GM(1,1)direct model and its application in processing of materials experimental data[J].Journal of Southeast University:Natural Science Edition,2004,34(6):833-837.(in Chinese))

[6]袁嘉祖.灰色系統(tǒng)理論及其應用[M].北京:科學出版社,1991.

[7]張大海,江世芳,史開泉.灰色預測公式的理論缺陷及改進[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2002,22(8):140-142.(ZHANGDa-hai,JIANGShi-fang,SHI Kai-quan.Theoretical defect of grey prediction formula and its improvement[J].Systems Engineering-Theory&Practice,2002,22(8):140-142.(in Chinese))

[8]唐萬梅.幾個預測方法及模型的研究[D].呼和浩特:內蒙古大學,2006.

[9]譚冠軍.GM(1,1)模型的背景值構造方法和應用[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2000,20(4):98-103.(TAN Guan-jun.The structure method and application of background valuein grey system GM(1,1)model[J].Systems Engineering-Theory&Practice,2000,20(4):98-103.(in Chinese))

[10]WANG Z G,WU C D.The establishment and application of an improved GM(1,1)model[J].Mathematics in Practice and Theory,2003,33(9):20-25.

[11]朱華吉,馬少娟.非等時空距GM(1,1)模型在建筑物沉降預測中的應用[J].測繪工程,2001,10(4):39-41.(ZHU Hua-ji,MA Shao-juan.Application of non-equal interval gray model to forecast of building subsidence[J].Engineering of Surveying and Mapping,2001,10(4):39-41.

[12]HUANG Y P.The identificationof fuzzy grey prediction system by genetic algorithm[J].International Journal of System Science,1999,29(4):547-588.