張 俞,洪廣文,馮衛(wèi)兵

(1.河海大學(xué)海岸與海洋工程研究所,江蘇南京 210098;2.河海大學(xué)港口海岸與近海工程學(xué)院,江蘇南京 210098)

目前波浪傳播模型主要沿著完全頻散性的線性緩坡方程(MSE)[1]及其擴(kuò)展(EMSE)[2-5]與弱頻散性的非線性Boussinesq型方程[6]及其擴(kuò)展[7-8]2種典型模型不斷發(fā)展.完全頻散性的線性緩坡方程及其擴(kuò)展模型主要應(yīng)用于大范圍水域波浪傳播計(jì)算,其優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)便,可計(jì)算大范圍水域,缺點(diǎn)是對(duì)淺水域、非線性作用強(qiáng)的區(qū)域特別是破碎區(qū)域難以有效模擬.Boussinesq型方程及其擴(kuò)展模型主要用于淺水水域波浪的變形計(jì)算,能夠很好地反映其非線性特性,但是計(jì)算難度大,較難應(yīng)用于深水域的波浪計(jì)算.為此,能夠同時(shí)兼顧頻散特性和淺水非線性特性,較全面、精確模擬波浪傳播的全水深方程波浪傳播模型成為新型的波浪模擬途徑.

全水深方程波浪傳播模型最早由Nadaoka等[9-10]提出,但其只適用于無(wú)流情況且未考慮能耗與地形因子影響.洪廣文等[11-12]基于格林公式和變分法提出了含有能量系數(shù)的水流中聯(lián)合折射-繞射線性模型,隨后擴(kuò)展為緩變流場(chǎng)、水位和水深的非線性模型,并證明在淺水域可以轉(zhuǎn)化為Boussinesq型方程、KdV方程、Airy淺水波方程,在深水域可化為非線性緩坡方程.吳中等[13]利用該非線性模型進(jìn)行了較系統(tǒng)的計(jì)算驗(yàn)證;張俞等[14]也利用其計(jì)算了考慮波浪破碎及摩阻損耗的單坡地形上波浪傳播,考慮了反映地形坡度與曲率因子J的影響.

本文在長(zhǎng)波上非線性重力表面波傳播數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上建立了保留了三階項(xiàng)的數(shù)學(xué)模型及其求解模式,并且在方程中(kη)2項(xiàng)近似取為2.采用Berkhoff試驗(yàn)地形和用于驗(yàn)證Boussinesq型方程模型的單坡地形進(jìn)行模擬計(jì)算,并將結(jié)果與試驗(yàn)值及線性、二階模型結(jié)果相比較,驗(yàn)證三階全水深非線性數(shù)學(xué)模型的計(jì)算精度及適用性.

1 全水深非線性波傳播數(shù)值模型

1.1 三階非線性數(shù)學(xué)模型

基于長(zhǎng)波上非線性重力表面波傳播數(shù)學(xué)模型[12],保留三階項(xiàng)可得無(wú)流情況下三階非線性數(shù)學(xué)模型,控制方程如下:

其中

式中:x,y——平面坐標(biāo),置于靜水面處;z——垂直坐標(biāo),豎直向上為正;h——當(dāng)?shù)厮?Φ——二維復(fù)值波動(dòng)勢(shì)函數(shù);η——復(fù)值波面函數(shù);W*——能量系數(shù),包括能量輸入與能量損耗(包括摩阻損耗和破波損耗);J——反映水底地形坡度與曲率有關(guān)的參數(shù)[12,14];k——波數(shù),～c,～cg,～σ——波速、波群速和考慮能耗的相對(duì)圓頻率;ω——絕對(duì)圓頻率;g——重力加速度.

1.2 二階非線性模型

1.3 線性傳播數(shù)值模型

略去高階項(xiàng),由方程(1),(2)可得如下線性模式控制方程:

1.4 邊界條件

為了使得入射條件與非線性模型控制方程組相匹配,本文的入射邊界采用Stokes二階形式:

式中:y=y0——入射邊界;θ0——入射波的波向與 x軸的夾角;a——入射波的振幅;k0——波數(shù).出流邊界采用消波層消波與統(tǒng)一出流邊界相結(jié)合的方式[14].

1.5 初值條件

初始情況(t=0)除入射邊界外,其余水域 Φ,η均為0.

1.6 控制方程的數(shù)值解法

采用可變網(wǎng)格的預(yù)測(cè)-校正-迭代的Crank-Nicolson算法[14].為了增加計(jì)算的穩(wěn)定性,本文程序設(shè)計(jì)上采用將線性項(xiàng)與非線性項(xiàng)分離,先由線性模型計(jì)算至穩(wěn)定,再將線性結(jié)果作為非線性初值進(jìn)行迭代計(jì)算.

2 模型驗(yàn)證與分析

2.1 橢圓淺灘地形

1982年,Berkhoff[1]在水力實(shí)驗(yàn)室針對(duì)均勻斜坡上布置一橢圓形淺灘的地形進(jìn)行了波浪物理模型試驗(yàn),以驗(yàn)證線性緩坡方程的計(jì)算結(jié)果.試驗(yàn)采用的波周期為T(mén)=1.0s,入射波高為H0=0.0464m,并取得了8個(gè)斷面的實(shí)測(cè)資料.

Berkhoff試驗(yàn)地形如圖1所示,本文的計(jì)算區(qū)域?yàn)?0 m＜x＜21.5m,0m＜y＜20m,波浪垂直y斷面正向入射.將該計(jì)算區(qū)域坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到橢圓中心,可得

在新坐標(biāo)系中斜坡上水深:

斜坡加上橢圓淺灘后的地形為

圖1 Berkhoff橢圓淺灘地形試驗(yàn)水深等值線及斷面分布Fig.1 Sketch of Berkhoff's test bathymetry

模型中空間網(wǎng)格步長(zhǎng)為Δx=Δy=0.1,時(shí)間步長(zhǎng)取Δt=T/60,計(jì)算總時(shí)長(zhǎng)為32T.非線性模式入射邊界 Φ采用Stokes二階波的形式給定,線性模式 Φ采用Stokes一階波的形式 Φ1給定,即 Φ=Φ1;左右邊界及出流邊界均采用消波層與統(tǒng)一邊界條件進(jìn)行處理,消波層長(zhǎng)度為波長(zhǎng)的2倍;計(jì)算達(dá)到穩(wěn)定后對(duì)各計(jì)算點(diǎn)波面時(shí)間過(guò)程線采用上跨零點(diǎn)法求取波高.各斷面的相對(duì)波高結(jié)果見(jiàn)圖2(圖中H為波高,H0為各組況下的入射波高).圖3和圖4為整個(gè)水域的波高等值線圖及波面影像圖.

圖2 1～8號(hào)斷面相對(duì)波高計(jì)算值與試驗(yàn)值比較Fig.2 Comparison between measured and computed relative wave heights for section No.1—No.8

圖3 數(shù)值模擬的相對(duì)波高等值線(單位:m)Fig.3 Contours of simulated relative waveheights(unit:m)

圖4 t=32T瞬時(shí)波面影像Fig.4 Instantaneous wavesurface elevation for t=32T

由圖2可見(jiàn),本文模型的結(jié)果優(yōu)于二階模型及線性模型結(jié)果,特別是在水深較淺的5號(hào)以及6～8號(hào)的淺水處.由圖3和圖4明顯可以看出,隨著水深變淺,波向朝著垂直于等深線的方向傳播,且在橢圓地形附近發(fā)生輻聚,符合波浪的變形趨勢(shì).

2.2 單坡地形

采用文獻(xiàn)[7]中為驗(yàn)證Boussinesq型方程擴(kuò)展模型進(jìn)行的單坡水槽波浪傳播試驗(yàn)資料作為驗(yàn)證依據(jù),其試驗(yàn)?zāi)Ｐ筒贾萌鐖D5所示.該水槽有效長(zhǎng)度30m、水深0.36m,在水槽末端設(shè)1∶34.26的斜坡.入射波采用表1中給出的5種破波形態(tài)的波要素.

圖5 Hansen與 Svendesen試驗(yàn)地形Fig.5 Layout of Hansen and Svendesen's test bathymetry

表1 Hansen與Svendesn試驗(yàn)入射波參數(shù)Table1 Parameters of incident waves for Hansen and Svendesen's tests

本文模型中入射處采用非線性入射條件,出流邊界處采用消波層與統(tǒng)一邊界條件相結(jié)合的方式處理.各模型中的空間步長(zhǎng)隨該水深處對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)呈連續(xù)性變化,Li/Δxi≥7,Δt=T/50～T/100.

波浪破碎采用試算的方法先確定最初的破碎點(diǎn).破碎點(diǎn)確定后,破碎點(diǎn)后采用公式

式中 ω為絕對(duì)圓頻率;系數(shù)S參照文獻(xiàn)[15]和Bettjes等[16]破碎公式調(diào)試確定.對(duì)于表1中所取5組波要素,S依次取0.6496,0.6496,0.4974,0.2210,0.1240,破碎點(diǎn)前=0,重新進(jìn)行整個(gè)水域 Φ,η的計(jì)算,得到波高值.破碎后的波參數(shù)與試驗(yàn)結(jié)果吻合良好.

由圖6結(jié)果可以看出,斜坡上水深較深段,線性模型結(jié)果尚能滿足要求,但隨著水深變淺,線性模型結(jié)果明顯偏小,不能有效體現(xiàn)波浪的傳播變形規(guī)律;本文模型與二階模型計(jì)算結(jié)果相當(dāng),與試驗(yàn)值吻合良好,說(shuō)明該三階修正是合理的.值得一提的是,Kirby對(duì)線性緩坡方程進(jìn)行非線性擴(kuò)展[2],其模型對(duì)Berkhoff試驗(yàn)地形驗(yàn)證后得到了很好的結(jié)果,但是該修正用于計(jì)算單坡地形,結(jié)果并不理想.

圖6 計(jì)算波高與試驗(yàn)值比較Fig.6 Comparison between measured and computed wave heights

3 結(jié) 論

a.本文模型能同時(shí)兼顧非線性與頻散性特性,模型中W*能考慮能量的輸入與耗散.

b.本文模型對(duì)“長(zhǎng)波上非線性重力表面波傳播數(shù)學(xué)模型”保留至3階精度,并用2替代 η2,采用含有松弛因子的Crank-Nicklson算法,入射邊界采用Stokes非線性波輸入改善與模式的匹配性,出流條件采用消波層與統(tǒng)一邊界條件相結(jié)合的方法,模型計(jì)算后獲得穩(wěn)定的波高結(jié)果.

c.Berkhoff試驗(yàn)地形驗(yàn)證結(jié)果表明,本文模型與試驗(yàn)值吻合度有所提高,其效果類(lèi)似于Kirby修正;單坡地形驗(yàn)證結(jié)果表明,本文模型能模擬波浪由深水至淺水直至破碎的過(guò)程,所作的修正是合理的.

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