劉顯宗

(棗莊學院 物理與電子工程系,山東 棗莊 277160)

力學的基本概念(2)動量是雙質點系獨有的力學量

劉顯宗

(棗莊學院 物理與電子工程系,山東 棗莊 277160)

動量是雙質點系在連線方向所具有的力學量,動量的定義式只能取雙質點系的一個質點為參考系.只有牛頓力作用的動量定理是作定向運動的雙質點在連線方向上的一種力學規(guī)律.＊

慣性系動量定義式;質心系動量定義式;相對參考系動量定義式;客觀動量

0 引言

動量是經典力學中又一個概念不清的骨干量,(第一個不清的概念是動能,但文章中沒有標明“力學基本概念(1)”,特此說明.詳見本刊2009年第5期)動量的概念來自動量的定義式,傳統(tǒng)的動量定義式不能給出一個清晰的等量概念.經典力學的動量定義式可分三類:一是只能用于雙質點系的相對參考系動量定義式,同一時刻其值是唯一的;二是適用任何質點系的質心系動量定義式,任何時刻其值均為零;第三類是適用任何系統(tǒng)和質點的慣性系動量定義式,任何時刻其值可以任意假設.不同參考系不同力學體系動量定義式的取值范圍可用表一表示.

本文先論證表一中各種參考系,各種力學體系動量定義式的取值范圍是存在的,后闡明:慣性系和質心系動量定義式不能如實地反映客觀動量的值,只有相對參考系動量定義式才能如實地反映客觀動量的值.

1 不同參考系動量定義式的取值范圍

1.1 質心系的動量定義式的值恒為零

任何質點系中都有這樣一個空間點 C,如果把各質點的質量及其受的外力都集中到C點上,則 C點遵守牛頓力學的核心方程 (牛頓第二定律).C點稱為質點系的質心.原點取在質心上,坐標軸不轉動的參考系 Cxyz稱為質心系.本文中,與運動有關的力學量的符號右下角有兩個標號,左邊的標號表示運動質點,右邊的標號表示參考點,如 →a12、→a1c、→a1o分別表示質點1對質點2、對質心C、對慣性系原點O的加速度.速度、位矢、動量的符號類同,質心 C對慣性系位矢的定義式為:

∑mi表示任何系統(tǒng)的總動量,式 (1)說明:任何系統(tǒng)質心系動量的定義式恒為零.

1.2 慣性系動量定義式的假設性

要說明慣性系動量定義式不能反映客觀動量的值,只要說明在慣性系動量定理的方程式中動量定義式的值是隨意假設的就夠了.下面先看實例,再作理論分析.

1.2.1 實例說明

如圖所示,質量為m1=4kg和m2=6kg的兩個質點(平動剛體),在光滑的水平面上沿同一直線作相向運動,過程始末兩質點的相向速率為 10m s-1和 12m s-1,它們受的內力不變,外力分別為 5N和 7N,運行時間為 2s,試用假設已知動量的方法求相互作用力.

圖1

此題涉及的作相對運動的點是:質點1和2及質心C和慣性系原點O.規(guī)定向右的方向為正,則此題的已知量均與慣性系無關,如何用慣性系求解呢?因慣性系沒有具體參考物,所以與慣性系對應的運動量均可以任意假設.設則由相對運動和質點的動量定理得

解得

p→1o的值可以假設為數(shù)軸上的任何數(shù),求出的相互作用力的絕對值均為 2.2N也可以用假設質點 2的動量或總動量的方法求相互作用力,請自試.這說明質點對慣性系的動量定義式是不客觀的.

1.2.2 理論分析

為什么質點和質點系的動量定義式的值可以任意假設呢?下面從理論上進行分析由任何時刻三點運動的相對關系系得

又知質心對慣性系Oxyz作勻變速直線運動,過程末了的速度為

式(3)化為

其中 m1→vco在上式中不起任何作用,其值可以任意假設.又知

故上式化為

同理得質點 2對慣性系的動量定理方程式為

若例 1的方向規(guī)定不變,將已知量代入式 (3)′(4)′得

上面的分析說明:在慣性系動量定理中,過程始末每個質點對慣性系的動量定義式均可分為相同部分和不同部分,相同部分的值沒有具體參考物,其值可以任意假設.不同部分的值是由客觀實物決定的,同一時刻的值是唯一的、真實的、不可假設的.所以無論相同部分的值是多大,其變化量恒為零,而不同部分變化量的值仍然是唯一的、真實的.這就是為什么用慣性系動量定理解題,可以任意假設質點動量定義式的值的原因.

1.3 相對參考系動量定義式的唯一性

2 相對參考系動量定理

慣性系動量定理中沒有內力只有外力,所以方程比較簡單,相對參考系動量定理中既有外力,也有內力,所以方程比較復雜.

2.1 相對參考系動量定理的一般形式

符號的規(guī)定同例1,并假設兩質點的連線方向不變.兩質點對慣性系的加速度表示式為將上兩式代入三點的相對加速度關系式 →a12=→a1o-→a2o得

及

(7)的成份和慣性系動量定理的成份完全相同.但 (7)不具備動量定理的形式,可將 (7)化為

(8)可稱為相對動量定理的一般形式,它和慣性系動量定理的方程式有四點不同,一是力學體系不同,前者是雙質點系,后者是任何力學體系 (單質點,雙質點系,多質點系);二是受的力不同,前者既有外力又有內力,而后者只有外力;三是參考系不同,前者是有客觀參考物的,而后者沒有具體參考物;四是動量的值不同,前者是唯一值,后者是無定值.(8)是否正確可用例 1驗證.將例 1的數(shù)值代入 (8)得

這個結果和用慣性系動量定理求得的結果完全相同,同時可以看到:用 (8)解題只需一個方程,過程非常簡單.說明一般形式不但是正確的,而且便于使用.

2.2 相對動量定理的特殊形式

2.2.1 兩質點受的兩個合力大小相等方向相反

(9)～ (11)和慣性系動量定理的形式完全相同,是最簡單的相對動量定理,理論力學只在二體問題中講到 (9)式,沒有談到 (10)(11)兩式.

2.2.2 其中一個質點受的合力為零

2.2.3 三個力中有一個為零

三個力中有兩個外力,一個內力,共有兩種特殊形式

要強調的是 (7)～(15)都是絕對正確的,且用(7)～(15)解題同一過程只需其中一個方程,而用慣性系力學規(guī)律解雙質點系的力學問題,同一過程一般要兩個以上的方程,再

例 2 若例 1的過程 ①中,→F1m1m2→v12不變,→F2=0、→f12=0,6秒鐘后 F1消失,后來兩物體發(fā)生完全非彈性碰撞,碰撞時間 t2=0.1s,求碰撞力 →f12

由(12)得過程 ①末了的動量為

又知過程 ②開始和末了的動量為

這個結果和用慣性系求得的結果相同,請自行驗證.

2.3 相對動量定理的近似形式

(8)是在內外力共同作用下相對動量定理的一般形式,當m2→∞,無論受的合力是多大,均有則 (8)化為

(16)就是相對動量定理的近似形式,(16)的含義是質量趨于無窮大的質點 (如地球)和其他任何小質量的質點(如在地球表面運動的物體)組成的雙質點系的相對動量定理的方程式,均可化為小質點對所謂近似慣性系動量定理方程式,特別應當提出,不應當把 (16)理解為質點對近似慣性系動量定理方程式,因為根本就不存在質點對慣性系動量定理方程式(3).實際上不是先有 (3)后有 (16),而是先有 (16)后來在使用過程把 (16)寫成 (3).

2.4 相對動量定理對應的運動狀態(tài)

(7)～(15)的特點是:在受力過程中兩質點的連線必須保持方向不變,這是為什么呢?從相對參考系的角度看,雙質點系的自身有兩種運動狀態(tài):一種是兩質點的連線方向不變,稱定向運動狀態(tài),另一種是兩質點連線的方向不斷變化,稱為變向運動狀態(tài).兩種狀態(tài)在連線方向均有相對動量,定向運動狀態(tài)在連線方向沒有慣性離心力,而變向運動在連線方向每個質點均有慣性離心力,所以變向運動在連線方向相對動量定理不單決定牛頓力的作用,還要考慮慣性離心力的影響.而(7)～(15)沒有慣性離心力,所以說(7)～(15)只能用于雙質點的定向運動狀態(tài).對于變向運動狀態(tài)的相對動量定理將另文討論.

3 客觀動量的概念

由上面的分析可知:用相對參考系動量定理解題和用慣性系動量定理解題的結果是相同的,但在慣性系動量定理方程式中過程始末動量定義式的值是隨意假設的,而在相對參考系動量定理方程式中,過程始末動量定義式的值是由兩質點共同決定的,是不可假設的、真實的.所以說慣性系動量定義式不能反映客觀動量,相對參考系動量定義式可以如實的反映客觀動量.還有質心系動量定義式的值也不能反映客觀動量,因為其值恒為零,當然也沒有質心系動量定理.由相對參考系動量定義式的真實性可以得出動量的概念:動量是雙質點系在連線方向獨有的力學量,動量的值等于雙質點的折合質量與在連線方向上的相對速度之積.

[1]程守洙,江之永.普通物理學第一冊[M].北京:高等教育出版社,1982.

[2]趙凱華,羅蔚茵.力學[M].北京:高等教育出版社,1995.

[3]漆安慎,杜嬋英.力學[M].北京:高等教育出版社,1997.

[4]洛強斯基,路爾葉.理論力學教程[M].北京:人民教育出版社,1956.

[責任編輯:陳慶朋]

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1004-7077(2010)02-0001-05

2010-02-16

劉顯宗(1938-),男,山東青島人,棗莊學院物理與電子工程系教授,主要從事力學研究.