桑 龍1,2,陳 靜

(1.西北工業(yè)大學,西安 710072；2.海軍裝備部，西安 710054；3.西安科技大學，西安 710054)

1 引 言

模擬數(shù)字轉(zhuǎn)換器(ADC)是測控領域經(jīng)常使用的器件，只有當設計者對ADC器件的設計技巧及其工作特性十分清楚時才可以盡可能地捕捉模擬輸入信號中的有用信息，提高檢測、監(jiān)測的精度和速度。傳統(tǒng)ADC測試過程往往以直流信號作為檢測信號，通過全幅值范圍內(nèi)的測量來獲得ADC的特性指標。然而，隨著應用領域測量信號速度的不斷提高，以往以靜態(tài)測量為主的測試辦法已經(jīng)不適宜現(xiàn)在的測量過程[1-3]。

正弦曲線擬合方法常用于數(shù)據(jù)識別過程，其基本思想在于識別信號中存在的諧波分量。在IEEE 1241-2000中，正弦曲線擬合的ADC測試方法已被列為標準測試方法。如果正弦曲線的頻率未知，可以采用四參數(shù)法進行擬合，如果通過測量或者頻率發(fā)生器已知正弦頻率，則可以通過三參數(shù)法進行擬合。然而，在實際的測試過程中由于ADC自身的量化誤差干擾、采樣值之間不獨立等因素，使得正常的正弦曲線擬合方法不能夠滿足現(xiàn)實的應用。

2 ADC動態(tài)參數(shù)

在數(shù)字通信、超聲成像等領域，高速ADC的動態(tài)參數(shù)決定整個系統(tǒng)的可用度。SINAD、SNR、THD、ENOB等在很多情況下成為科研工作人員所關注的焦點。信噪失真比(Signal-to-noise and Distortion Ratio,SINAD)被定義為測試信號有效值與噪聲、諧波有效值之比：

(1)

(2)

有效位(Effect Number of Bits,ENOB)的定義式為

(3)

從以上表達式可以看出，對ADC動態(tài)參數(shù)的測定過程實際上可以表示為對測試正弦激勵信號參數(shù)進行估計的過程。

3 標準正弦曲線擬合方法

正弦曲線擬合的方法給出全局行為描述。正弦波曲線可以由幅度、頻率、相位、偏置電壓4個獨立參數(shù)共同去描述。ADC的正弦曲線擬合方法采用標準正弦信號

x(t)=Acos (2πfit+φ)+C

待估的參數(shù)為

P=[Acos (φ),Bsin (φ),C,ω]

(4)

其中:

(5)

式中，ω為待估信號角頻率，A、B為待估幅度值，C為待估偏置。在擬合過程中常采用三參數(shù)法或四參數(shù)法進行估計。如果信號由高精度頻率發(fā)生器產(chǎn)生或者通過示波器等已知待估信號的頻率則采用三參數(shù)法，否則利用四參數(shù)法進行估計。三參數(shù)算法具有閉合、非迭代、運算量少等特性，在工程上經(jīng)常采用。假設：

ym[A,B,C,ω]=Alcosωltn+Blsinωltn+C

(6)

則其代價函數(shù)為

(7)

因為Ψ中的列是線性無關的，因此它是滿秩矩陣?？梢缘玫剑?/p>

(8)

通過式(8)，就可以推知待測ADC的信噪比、有效位等動態(tài)參數(shù)。

4 基于Cramer-Rao下界的正弦信號估計

利用最小二乘法進行的估計實際上是在殘差的方差最小的情況下取得的，而方差是一個隨機變量，η落在它的均值Eη的鄰域內(nèi)的集中或分散程度一個度量，所以一個好的估計量η應該有盡可能小的方差。Cramer-Rao方法可以用于求這個下界。

對于

x(n)=Acos (2πfin+φ)+w[n]

n=0,1,…,N-1；w[n]～N(0,σ2)；θ=[A,fi,φ]T，其Fish信息可以表達為

(9)

對其進行簡化，對于i=0,1,2，有:

(10)

通過計算有:

(11)

通過對式(10)進行逆運算，可以得到：

(12)

通過式(12)可以看出，對于正弦信號的估計依賴于采樣值的大小，當采樣次數(shù)或者采樣頻率較大時估計值下限較小。

5 改進型正弦擬合算法

5.1 量化噪聲分析

在Widow的量化理論中，量化噪聲被設為隨機、均勻分布介于±Δ/2間的白噪聲，如果該假設成立，則當采樣次數(shù)足夠多時，前述標準正弦曲線擬合方法無疑可以獲得較高的測量精度。這就意味著只有當量化區(qū)間Δ必須充分小時才可以使得估計成為無偏估計[4]。然而在實際的測試過程中，ADC的量化區(qū)間是一定的。圖1和圖2為理想的3位ADC進行正弦信號測試的結果，可以看出量化誤差與輸入信號相關，其分布可以被視作由鋸齒波信號與正弦的峰值信號共同組成。而正弦的峰值部分恰好反映了待測信號的幅值和直流偏壓信號的特性。因此，標準的正弦曲線擬合方法會由于量化誤差的引入而造成估計值遠大于Cramer-Rao界，擬合出來的曲線幅值會低于原始信號(如圖3所示)。

圖1 原始正弦信號與量化曲線圖Fig.1 The initial sine wave and quantization process

圖2 量化誤差圖Fig.2 Quantization error

5.2 改進算法

正弦曲線的概率密度函數(shù)(PDF)為

(13)

可以看出，信號在峰值時誤差概率較大。標準正弦曲線擬合算法采用一般意義的最小二乘法進行估計時，忽略了量化誤差的非線性成分，將所有的采樣數(shù)據(jù)都視為有效數(shù)據(jù)。而在正弦的峰值時，量化誤差的分布是不均勻的，因此最小二乘法在這里實際上是不適用的。加權最小二乘法從誤差分布的角度出發(fā)，為每個采樣值分配不同的權值，從而可以降低量化誤差非線性對估計值的影響。

從式(12)中可以看出，在采樣次數(shù)一定，誤差方差σ2較小時估計的Cramer-Rao界較小，得到的估計值較好。計算估計值的相關函數(shù)

同樣證明了這個問題。從

可以看出，降低在峰值采樣值的權值可以降低估計誤差。在這里將量化后采樣值進行直方圖分析，為每個采樣值乘以直方圖系數(shù)的倒數(shù)，得到加權最小二乘法系數(shù)。

5.3 仿真結果分析

圖3和圖4是利用Matlab軟件對理想3位ADC進行曲線擬合測試的結果，其中原始測試信號頻率為1 MHz，采樣頻率為5 MHz。可以看出,改進方法的擬合精度遠大于標準方法。

從圖4可以看出，當測試信號同時施加了加性白噪聲時，改進的曲線擬合方法依舊可以給出很好的曲線擬合效果。因此，改進的曲線擬合方法根據(jù)式(1)和式(3)，能更好地代表ADC嵌入式系統(tǒng)的動態(tài)測量效果。

圖3 正弦信號以及擬合曲線仿真結果Fig.3 Sine input and the fitting result

圖4 施加了噪聲后的信號以及擬合曲線Fig.4 Noise added input and the fitting result

6 結 論

本文討論了ADC中的動態(tài)參數(shù)測試正弦曲線擬合方法，并給出了Camera-Rao的正弦曲線估計下界，通過分析找出了引起誤差的因素，并利用最小二乘法改進了標準正弦曲線擬合方法。仿真結果表明，該方法可以很好地改進擬合精度，從而提高ADC動態(tài)測量參數(shù)的精度。

參考文獻：

[1] Dallet D，Da Silva J M.Dynamic Characterization of Analogue-to-Digital Converters[M].[S.l.]：Springer，2005:66-69.

[2] Eulalia Balestrieri,Pasquale Daponte,Sergio Rapuano.A state of the art on ADC error compensation methods[J].IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement,2005,54(4):1388-1394.

[3] Kollár I,Blair J J.Improved Determination of the Best Fitting Sine Wave in ADC Testing[C]//Proceedings of IEEE Instrumentation and Measurement Technology Conference(IMTC) 2004.[S.l.]：IEEE,2004:829-834.

[4] Attila S′arhegyi,Istv′an Koll′ar.Robust sine wave fitting in ADC Testing[C]//Proceedings of IEEE Instrumentation and Measurement Technology Conference(IMTC) 2006.[S.l.]：IEEE,2006:914-919.